Bonsoir,
comme est dense dans quelque soit le voisinage de dans cet ensemble il contient une infinité de termes de la suite .
Ce qui répond au premier point de c).
Pour le deuxième :
si on demande d'expliciter la suite, je ne vois pas d'autre moyen que d'utiliser les fractions réduites de
sinon, en vertu de la remarque précédente, quelque soit il existe une infinité de valeurs de telles que   on  prend   et on choisi une valeur de dans cet ensemble. La suite obtenue converge vers y.

Je ne vois pas que conclure.

Bonsoir,

y est quelconque dans [-1;1]. Il suffit de conclure que pour tout y dans l'intervalle, il est existe une sous-suite de u convergeant vers y. L'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite cos(n) est l'ensemble [-1;1].

En même temps, c'est le but du problème non?

Merci à vous deux, mais il y a des points que je ne comprend pas.

"comme u est dense dans [-1;1] quelque soit le voisinage de y dans cet ensemble il contient une infinité de termes de la suite u."
Ne faut-il pas le démontrer? Et comment au fait?

Pour le 2ème point du c), j'ai suivi verdurin (son 2ème tiret, car je n'ai aucune idée de ce que sont les fractions réduites de ) voici ce que j'ai fais, pouvez vous me dire si c'est juste?

On veut construire par récurrence extraite de u telle que , où est infini.

Pour n=0, comme est infini, on fixe un élément noté

Soit , supposons construit infini.
Mais après je ne sais pas comment "découper" pour avoir infini.

Et pouvez-vous m'aider aussi pour la question b)?

Merci.

Personne?

svp

G est un sous-groupe additif de . Il y est dense . Sinon il serait de la forme .a pour un a > 0 et comme 1 et sont dans G (donc de la forme p.a et q.a  , p et q dans ) serait rationnel. Ce qui n'est pas vrai.

Un théorème dit que si X est une partie dense de et f : est continue alors f(X) est dense dans f().

Cos est continue , cos() = [-1 , +1] (th des VI) , cos(G) = cos() donc cos() est dense dans [-1 , +1]

A tout à l'heure pour c.

Ok merci beaucoup pour la question b).

Je t'avais un peu oublié . Pour c donc :
On va montrer que pour tout y de [0 , 1] on peut trouver une suite s : , strictement croissante telle que cos o s y.

Pour cela je remarque que
1.  La suite n cos(n) est injective (donc cos() est infinie dénombrable).
En effet si p et q sont des entiers distincts 0 , on ne peut avoir cos(p) = cos(q), sans quoi on aurait p -q 2 ou bien p + q 2 ce qui entrainerait .

2.Si X est une partie dense d'un intervalle K de longueur > 0 alors X est au moins dénombrable et pour toute partie finie A de X ,  X \ A est encore dense dans K.
Soit en effet K un intervalle de longueur > 0 , A un ensemble fini contenu dans une partie X de K qui y est dense.
  Soit n = Card(A) , a₁,....,a_n réels tels que  A = {a₁,....,a_n } et a₁<....<a_n . Posons K₀ = K ]- , a₁[ , K_j = ]a_j , a_j+1[ pour  j {1,...,n-1} et K_n = ]a_n , +[.
Soit maintenant U un intervalle de longueur > o contenu dans X \ A et posons U_j = K_j U pour j {0,...,n} .
Les U_j sont des intervalles et l'un au moins est de longueur > 0 ;Soit V l'un de ceux-ci. Etant contenu dans K il rencontre X mais pas A .
Auutrement dit V (X \ A) et donc U (X \ A) .
Ce qui est souligné montre qu'on a  " U intervalle non négligeable contenu dans K on a U (X \ A) " ce qui est dire que X \ A est dense dans K.


Construction , pour chaque y de [0 , 1], d'une suite s : , strictement croissante telle que cos o s y.
  Soit y [0 , 1] et soit t : ]0 , +[ telle que t 0 (par exemple t : n 2^-n)
.J₀ = K [y - t(0) , y + t(0)] est un intervalle non négligeable contenu dans K donc
il existe au moins un entier dont le cosinus soit dans J₁.
On en choisit un qu'on appelle s(0).
.J₁ = K [y - t(1) , y + t(1)] est un intervalle non négligeable contenu dans K ; donc il rencontre {cos(k) | k < s(0)} et on peut donc trouver un entier v(1) > v(0) tel que |cos(v(1)) - y| t(1).
.....etc...
On voit ainsi qu'on peut construire s : , strictement croissante telle que pour tout entier n on ait  |cos(v(n)) - y| t(n). Il est clair que cos o v y.
C'est fait.