Niveau Maths sup

valeur d'une limite sans coup férir ?!??

Posté par
J-R 24-01-09 à 13:31

bonjour,

Citation :
déterminer $4$\bigint_{a}^b|sin(nt)|dt \longrightarrow_{n\to+\infty}$ ?

comment avoir, comment se faire une idée de la limite ?
je en veux résoudre l'écnoncé jsute faire cette approche que je n'ai pas su faire en khôlle...

merci

Posté par re : valeur d'une limite sans coup férir ?!?? 24-01-09 à 13:44

Bonjour,

Voici comment je construirai une conjecture.

On fait le changement de variable x=nt
$3$I_n=\frac{1}{n}\Bigint_{na}^{nb}|\sin x|\mathrm{d}x$

Quand n tend vers +oo, l'intervalle [na;nb] est de plus en plus large.
Or la fonction |sin| est périodique de période pi.
L'intégrale de cette fonction sur un intervalle de largeur 2pi est 2
Donc on peut penser que $3$\Bigint_{na}^{nb}|\sin x|\mathrm{d}x$ est équivalent à $3$\frac{nb-na}{2\pi}\times 2$ quand n tend vers +oo

Donc $3$I_n\to\frac{b-a}{\pi}$ ?

Posté par re : valeur d'une limite sans coup férir ?!?? 24-01-09 à 13:47

L'intégrale sur un intervalle de largeur pi est 2.
J'ai oublié un facteur 2 à la fin.

Posté par re : valeur d'une limite sans coup férir ?!?? 24-01-09 à 13:58

rah bien vu la limite est bien $\frac{2(b-a)}{n}$

oui je comprend maintenant ...

merci

@+

Posté par re : valeur d'une limite sans coup férir ?!?? 24-01-09 à 13:58

euh oué $\frac{2(b-a)}{\pi}$

Posté par re : valeur d'une limite sans coup férir ?!?? 24-01-09 à 14:20

Pour la démonstration, on peut appliquer la même méthode que pour la conjecture.
$3$I_n=\frac{1}{n}\Bigint_{na}^{nb}|\sin x|\mathrm{d}x$
Soit $3$a_n$ le plus grand multiple de $3$\pi$ inférieur ou égal à $3$a$
Soit $3$b_n$ le plus petit multiple de $3$\pi$ supérieur ou égal à $3$b$

La différence entre $3$I_n$ et $3$J_n=\frac{1}{n}\Bigint_{a_n}^{b_n}|\sin x|\mathrm{d}x$ est égale à :
$3$\frac{1}{n}\Bigint_{a_n}^{na}|\sin x|\mathrm{d}x+\frac{1}{n}\Bigint_{nb}^{b_n}|\sin x|\mathrm{d}x$
qui est majorée par $3$\frac{1}{n}(na-a_n)+\frac{1}{n}(nb_n-b)$ , elle-même majorée par $3$\frac{2\pi}{n}$ , donc tendant vers 0.

$3$I_n$ a donc la même limite que $3$J_n=\frac{1}{n}\Bigint_{a_n}^{b_n}|\sin x|\mathrm{d}x$

Comme $3$a_n$ et $3$b_n$ sont tous deux multiples de $3$\pi$ , la valeur de $3$J_n$ est facile à calculer :
$3$J_n=\frac{1}{n}\times\frac{b_n-a_n}{\pi}\times 2$

Or, par construction, $3$(nb-na) \le (b_n-a_n) \le (nb-na)+2\pi$

Donc
$3$\frac{1}{n}\times\frac{nb-na}{\pi}\times 2 \le J_n \le \frac{1}{n}\times\frac{nb-na+2\pi}{\pi}\times 2$

Donc $3$J_n\to\frac{2(b-a)}{\pi}$

Donc $3$\fbox{I_n\to\frac{2(b-a)}{\pi}}$

Posté par re : valeur d'une limite sans coup férir ?!?? 25-01-09 à 11:18

ça me fait une autre solution maintenant

merci bien

@+

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