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Variation d'une fonction
Bonjour,
Pouvez-vous m'aider à étudier les variations de f définie par définie sur R/{1} ?
Merci.
Estelle 
Bonjour 
On doit le faire sans les dérivées.
En étudiant le signe d'une différence.
J'ai commencé à faire quelque chose mais ça ne donne rien. Je le poste dans 2 minutes.
Estelle
Je te propose un truc mais je ne sais pas si ca va être très bon.
Tu décomposes l'intervalle ]-oo,1[ en ]-oo;0] et [0;1[
Skops
On peut toujours essayer, merci 
Par contre, ils ne sont pas bizarres tes intervalles ? Tu ne t'es pas trompé en les écrivant ? Ou alors, tu peux m'expliquer comment tu les trouves ?
Estelle
En fait, je viens de comprendre en te relisant.
J'avais vu le "en" comme un "et" et je comprenais pas.
Je vais essayer comme ça, merci
Estelle
Bonsoir minkus,
Oui, il y a un carré. J'ai fait pas mal d'erreurs.
f(x)=x²-x-1
f(b)-f(a) = [(b-a)(b+a-ab)]/[(b-1)(a-1)] ?
Estelle
Le "problème" c'est que le prof veut absolument qu'on étudie f(b)-f(a) en commençant comme je l'ai fait.
Estelle
Bon je vais faire comme si f(x)= alors tu ecris f(x) =
= x + 1 +
et ensuite f(b) - f(a) est plus facile a calculer
Minkus > Je suis obligée de garder cette expression de départ pour étudier la différence.
Skops > Merci de ton aide Pas sûr, ça dépend (en partie) de si j'ai trouvé les variations de f 
Bon ap'
Estelle
Bon deja c'est f(a) - f(b) que tu as calcule
Bon ensuite sur ]-inf;0] tu as b < 0 , a < 0 et -ab < 0 donc tu peux conclure.
Arf... merci d'avoir corrigé
Sur ]-oo;0] :
(b-a)>0 ; (b+a-ab)<0 donc numérateur négatif.
(b-1)<0 ; (a-1)<0 donc dénominateur positif.
Et comme c'était f(a)-f(b), on a f croissante sur cet intervalle.
Tu confirmes ?
Estelle
C'est en effet une bonne methode Skops mais ca se complique pour la suite car on a besoin du signe de a + b - ab ou autrement de savoir qd a + b > ab.
Or la somme de 2 nombres positifs est superieure a leur produit si les nombres sont inferieurs a 2.
Donc tu dois faire sur [0;2] puis sur [2;+inf[
Je confirme.
En fait tu peux factoriser de facon astucieuse b + a - ab de cette facon
b + a - ab = ab( 1/a + 1/b - 1)
De la on voit plus facilement pourquoi 1/a + 1/b - 1 est forcement negatif sur [2;+inf[
OK, merci minkus.
Je vais essayer de voir la suite et je repasserai dans la soirée.
Encore merci
Estelle
Bonjour,
Voilà ce que j'ai fait finalement :
Etudier les variations de f définie sur R/{1} par : f : --> x²/(x-1).
On pose a€]-oo;1[ ; b€]-oo;1[ ; a<b.
f(b)-f(a)=b²/(b-1)-a²/(a-1)
f(b)-f(a)=[b²(a-1)-a²(b-1)]/[(b-1)(a-1)]
f(b)-f(a)=(b²a-b²-a²b+a²)/[(b-1)(a-1)]
f(b)-f(a)=[(a+b)(a-b)+ab(b-a)]/[(b-1)(a-1)]
f(b)-f(a)=[(a+b)(a-b)-ab(a-b)]/[(b-1)(a-1)]
f(b)-f(a)=[(a-b)(a+b-ab)]/[(b-1)(a-1)]
Sur ]-oo;0] :
(a-b)<0 ; (a+b-ab)<0 => (a-b)(a+b-ab)>0
(b-1)<0 ; (a-1)<0 => (b-1)(a-1)>0
f(b)-f(a)>0 donc f(b)>f(a).
f est strictement croissante sur ]-oo;0].
Sur ]0;1[ :
a>0 ; b>0 ; a<b donc (a-b)<0 ; (a+b)>0 ; -ab<0 => (a-b)(a+b-ab)<0
0<a<1 ; 0<b<1 => (b-1)(a-1)>0
f(b)-f(a)<0 donc f(b)<f(a).
f est strictement décroissante sur ]0;1[.
On pose a€]1;+oo[ ; b€]1 ;+oo[ ; a<b.
f(b)-f(a)=[(a-b)(a+b-ab)]/[(b-1)(a-1)]
Sur ]1;2] :
a-b<0 ; (a+b-ab)>0 => (a-b)(a+b-ab)<0
1<a<2 ; 1<b<2 =>(b-1)(a-1)>0
f(b)-f(a)<0 donc f(b)<f(a).
f est strictement décroissante sur ]1;2].
Sur ]2 ;+oo[ :
a-b<0 ; (a+b-ab)<0 => (a-b)(a+b-ab)<0
a>2 ; b>2 => (b-1)(a-1)>0
f(b)-f(a)>0 donc f(b)>f(a).
f est strictement croissante sur ]2;+oo[.
Variations de f :
Sur ]-oo;0], f est strictement croissante.
Sur ]0 ;1[, f est strictement décroissante.
Sur ]1 ;2], f est strictement croissante.
Sur ]2 ;+oo[, f est strictement croissante.
Merci
Estelle
Or la somme de 2 nombres positifs est superieure a leur produit si les nombres sont inferieurs a 2.
Je peux le dire comme ça ou bien je dois expliquer pourquoi je le dis et comment je le sais ?
Estelle
Non tu ne peux pas le dire comme ca car ce passage est faux :
a > 0 et b > 0 et -ab<0 donc a + b - ab > 0
Il faut que tu decoupes en 3 intervalles et non 4.
Pourquoi separer [0;1] et [1;2] ? ca ne sert a rien.
Prends ]-inf;0], [0;2] et [2;+inf[
Et concernant
Or la somme de 2 nombres positifs est superieure a leur produit si les nombres sont inferieurs a 2.
utilise plutot l'autre forme que je t'ai donnee,
1/a + 1/b - 1 < 0 sur [2;+inf[ c'est plus facile a justifier pour toi je pense et cela explique vraiment bien pourquoi on est contraint de de placer apres le 2
Oui mais ca ne marche pas si tu places sur l'intervalle [0;1] d'ou etait extrait le passage que je t'ai donne.
Ah, d'accord.
Mais je suis quand même obligée de séparer en 4 intervalles puisque f n'est pas monotone sur [0;2], non ? (et n'est pas définie en x=1 aussi).
Estelle
Ah oui excuse moi j'avais oublie le (a-1)(b-1) donc f decroissante sur [0;2] est faux, c'etait un souvenir d'hier soir
Reprenons :
f(b)-f(a)=[(a-b)(a+b-ab)]/[(b-1)(a-1)]
Bon sur ]-inf;0] pas de probleme ce que tu as fait est bon.
Sur [2;+inf[ on a a-b < 0, b-1 > 0, a-1>0 et a+b-ab < 0 donc f est croissante.
Sur [0;2] en effet il faut couper en 2 intervalles a cause du 1.
On a toujours a+b-ab > 0 que ce soit sur [0;1] ou [1;2].
On a aussi a-b < 0 evidemment.
Maintenant sur [0;1] b-1 < 0 et a-1 < 0 donc le produit est positif.
Sur [1;2] b-1 > 0 et a-1 > 0 donc le produit est encore positif.
Donc finalement mes souvenirs etaient bons , f est bien decroissante sur [0;1[ et sur ]1;2]
Desole pour le post un peu contradictoire je ne me souvenais plus de ce que j'avais ecrit au debut, oublie la premiere phrase.
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