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[Vérification] Calcul différentiel

Posté par
infophile 04-03-10 à 15:55

Bonjour,

Soit 3$ F:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} différentiable sur 3$ \mathbb{R}^n.

Je dois étudier les variations de la fonction réelle définie par 3$ \phi(t)=(1-t)F(u)+tF(v)-F((1-t)u+tv).

Je note 3$ f(t)=(1-t)u+tv, et je différentie la composée 3$ \psi=F\circ f, j'obtiens :

3$ (d\psi)_t(h)=(dF)_{f(t)}\circ (df)_t(h)=dF_{f(t)}(h(v-u))=hdF_{f(t)}(v-u), et 3$ (d\psi)_t(h)=h\psi'(t) d'où 3$ \psi'(t)=dF_{f(t)}(v-u)=<\nabla F(f(t)),v-u>.

Finalement 3$ \phi'(t)=F(v)-F(u)-<\nabla F(f(t)),v-u>.

Vous êtes d'accord ?

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Calcul différentiel 04-03-10 à 16:38

Bonjour Kevin

Oui, bien sur!

Posté par
infophilere : [Vérification] Calcul différentiel 04-03-10 à 17:17

Bonjour Camélia

OK.

J'ai comme hypothèse 3$ \forall u,v\in \mathbb{R}^n, <\nabla F(u)-\nabla F(v),u-v>\ge 0, et je dois alors montrer que F est convexe, donc je pensais montrer que la fonction 3$ \phi est positive, mais je n'y arrive pas.

J'ai fait autre chose mais je doute que ça soit juste :

On a 3$ \phi(0)=\phi(1)=0, donc d'après Rolle il existe 3$ t_0 tel que 3$ \phi'(t_0)=0\Leftrightarrow <\nabla F(f(t_0)),v-u>=F(v)-F(u).

J'applique mon hypothèse avec 3$ u\leftarrow (1-t)u+tv et 3$ v\leftarrow u, j'obtiens :

3$ <\nabla F((1-t)u+tv)-\nabla F(u),(1-t)u+tv-u>\ge 0\Leftright t<\nabla F(f(t))-\nabla F(u),v-u>\ge 0\ge <\nabla F(f(t)),v-u>\ge <\nabla F(u),v-u>

En particulier en 3$ t_0 on a donc 3$ F(v)-F(u)\ge <\nabla F(u),v-u>.

Et j'ai montré dans une question précédente que si 3$ \forall u,v\in \mathbb{R}^n, F(v)\ge F(u)+<\nabla F(u),v-u> alors F est convexe.

Donc ici c'est gagné ? (j'ai un gros doute).

Posté par
infophilere : [Vérification] Calcul différentiel 04-03-10 à 21:45

up

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Calcul différentiel 05-03-10 à 14:17

Ca m'a l'air correct!

Posté par
infophilere : [Vérification] Calcul différentiel 05-03-10 à 17:34

Merci

On vient donc de montrer que 3$ F est convexe si et seulement si 3$ \forall u,v\in \mathbb{R}^n, <\nabla F(u)-\nabla F(v),u-v>\ge 0.

Je dois maintenant en déduire que 3$ F est convexe si et seulement si 3$ \forall u,v\in \mathbb{R}^n, <\nabla^2 F(u)v,v>\ge 0

où 3$ \nabla^2F(u) est la matrice Hessienne de 3$ F dont les coefficients sont 3$ \frac{\partial^2 F}{\partial x_j\partial x_i}(u).

Cette fois je bloque un indice ?

Posté par
infophilere : [Vérification] Calcul différentiel 06-03-10 à 14:47

On a l'analogie avec les fonctions réelles : f convexe ssi f'' positive ssi f' croissante.

Ici on a en quelque sort le gradient qui est "croissant"...

Une idée ?

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Calcul différentiel 06-03-10 à 14:49

As-tu essayé de calculer \varphi''?

Posté par
infophilere : [Vérification] Calcul différentiel 06-03-10 à 15:02

Ah non, je vais essayer !

Posté par
infophilere : [Vérification] Calcul différentiel 06-03-10 à 15:33

Euh on peut expliciter simplement 3$ \phi''(t) ?

On doit différentier 3$ d\psi: t\to (d\psi)_t=(dF)_{f(t)}(v-u)

Et je ne vois pas trop comment relier 3$ d\psi(t+h)=(dF)_{f(t+h)}(v-u)=... avec 3$ d\psi(t).

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Calcul différentiel 06-03-10 à 15:57

d\psi_t=(dF)_{f(t)}(v-u) et ça tombe bien, v-u ne dépend pas de t. Donc c'est quand même une fonction composée... mais en effet c'est dur à expliquer...

Il n'empêche que la relation qu'on te demande de prouver est la "dérivée" de celle que tu as déjà vue...

Moi je dirais que \varphi''(t)=d^2F_{f(t)}(df_t(v-u),v-u) mais je maitrise mal les notations en \nabla

Posté par
infophilere : [Vérification] Calcul différentiel 06-03-10 à 16:03

Je ne comprend pas la notation, et comment aboutis-tu à ceci ? Et je ne vois pas ce que cela prouve en fait.

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Calcul différentiel 06-03-10 à 16:11

d^2F_f(t) est une application bilinéaire, df_t est une application linéaire, donc au moins les notations ont l'air cohérentes... J'ai différentié d^2F\circ f

Quant à ce que ça prouve... tu n'as pas une bonne raison de dire que c'est positif? Je n'ai pas fait toutes les inégalités intermédiaires...

Posté par
rhomarire : [Vérification] Calcul différentiel 06-03-10 à 16:31

bonjour  camelia ,infophile

5$ < \nabla F(f(t)),v-u> = \bigsum_1^n \frac{ \partial F}{ \partial x_i}(f(t)) (v_i-u_i) \\ \phi ''(t)=\bigsum_1^n(v_i-u_i) <\nabla \[ \frac{\partial F}{ \partial x_i}\](f(t)),v-u> \\ =\bigsum_1^n (v_i-u_i) \frac{\partial ^2 F}{\partial x_j \partial xi} (f(t))(v_j-u_j)





-10$ \text de rien camelia

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Calcul différentiel 06-03-10 à 16:32

Ca aussi c'est une méthode!

Posté par
infophilere : [Vérification] Calcul différentiel 06-03-10 à 18:24

Bonjour

Hum ça devrait marcher, en notant 3$ \psi(t)=F((1-t)u+tv) on a donc d'après ce que vous me dites 3$ \psi''(t)=\Bigsum_{i=1}^{n}(v_i-u_i)\frac{\partial^2 F}{\partial x_j\partial x_i}(f(t))(v_j-u_j), et il me semble que ça se réécrit ainsi : 3$ \psi''(t)=<\nabla^2 F(f(t))(v-u),v-u>.

Or on montre facilement que F est convexe si et seulement si \psi est convexe c'est-à-dire si et seulement si \psi'' est positive.

Donc c'est ok ?

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Calcul différentiel 07-03-10 à 14:52

Je crois que oui. C'était bien l'idée...

Posté par
infophilere : [Vérification] Calcul différentiel 07-03-10 à 15:33

Vous pouvez juste détailler la dérivation de rhomari ? Je ne suis pas très à l'aise avec l'analyse vectorielle

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Calcul différentiel 07-03-10 à 15:45

Ecris-le pour deux variables! tu verras ça se fait tout seul!

Posté par
infophilere : [Vérification] Calcul différentiel 07-03-10 à 16:24

Ca marche merci beaucoup !

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Calcul différentiel 07-03-10 à 16:32

C'est plus compliqué à expliquer qu'à faire...


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