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Vérification d'une intégrale double

Posté par
Skops 24-01-10 à 19:03

Bonjour,

L'objectif est de calculer 4$u(x,y,z)=\frac{1}{2\pi}\int \int_{\mathbb{R}^2^}dk_x dk_y v(k_x,k_y)e^{ik_xx}{e^{ik_yy}e^{-i\frac{(k_x^2+k_y^2)}{2k}

avec 4$v(k_x,k_y)=Ce^{-\frac{w_0^2}{4}(k_x^2+k_y^2)

En remplaçant l'expression de v dans l'intégrale, j'ai regroupé les termes en kx et ky et j'ai séparé les intégrales.
Il me reste donc à calculer :

4$\int_{\mathbb{R}}e^{\frac{-w_0^2^}{4}k_x^2+ik_xx-\frac{ik_x^2z}{2k}} dk_x

J'ai donc transformé l'expression dans l'exponentielle comme un carré plus une constante que j'ai séparé par la suite.
J'ai posé un changement de variable pour arriver à une intégrale gaussienne

Et j'arrive finalement à


4$\int_{\mathbb{R}}e^{\frac{-w_0^2^}{4}k_x^2+ik_xx-\frac{ik_x^2z}{2k}} dk_x=\sqrt{\pi}e^{\frac{-x^2}{w_0^2+\frac{2iz}{k}}}\times \frac{1}{\sqrt{\frac{w_0^2^}{4}+\frac{iz}{2k}}

Est ce juste ? (en fait, je pense que non)

Merci

Skops

Posté par
Skopsre : Vérification d'une intégrale double 24-01-10 à 20:48

Up

Skops

Posté par
Skopsre : Vérification d'une intégrale double 24-01-10 à 22:04

C'est juste

Skops


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