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[Vérification] Produit convolution par un Dirac

Posté par
infophile 08-12-09 à 15:30

Bonjour,

Est-ce que vous pouvez vérifier ma démo ? Est-elle suffisamment rigoureuse ?

Citation :
3$ g_n est continue, positive, nulle en dehors de 3$ [-\frac{\alpha}{n},\frac{\alpha}{n}], et 3$ \Bigint_{-\frac{\alpha}{n}}^{\frac{\alpha}{n}}g_n(t)dt=1. On définit le produit de convolution 3$ (g_n\ast f)=\Bigint_{-\frac{\alpha}{n}}^{\frac{\alpha}{n}}g_n(t)f(t)dt.

Montrer que si 3$ f est continue par morceaux et continue en 3$ x_0 alors 3$ \lim_{n\to +\infty}(g_n\star f)=f(x_0)


On traduit la continuité : On se fixe un 3$ \epsilon>0 alors 3$ \exists \beta>0, |t|\le \beta\Right |f(x_0-t)-f(x_0)|\le \epsilon.

Comme 3$ g_n\ge 0, en multipliant cette inégalité par 3$ g_n et en intégrant entre 3$ -\frac{\alpha}{n} et 3$ \frac{\alpha}{n} il vient :

3$ \exists \beta>0, |t|\le \beta\Right |(g_n\ast f)-f(x_0)|\le \epsilon \Bigint_{-\frac{\alpha}{n}}^{\frac{\alpha}{n}}g_n(t)=\epsilon

On a 3$ |t|\le \frac{\alpha}{n} donc en choisissant 3$ N=\frac{\alpha}{\beta} on a 3$ \forall n\ge N, |t|<\beta et ainsi 3$ |(g_n\ast f)-f(x_0)|\le \epsilon.

Ceci étant valable pour tout 3$ \epsilon>0 cela prouve que 3$ \lim_{n\to +\infty}(g_n\ast f)=f(x_0).

Merci

Posté par
ottore : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 08-12-09 à 15:41

Bonjour,
tu as pour commencer une mauvaise définition du produit de convolution.
Ca doit d'amener à peut être détailler plus ta première inégalité...

(Je ne vois pas de Dirac là dedans ...)

Posté par
ottore : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 08-12-09 à 15:42

En passant, exactement le même sujet vient d'être posté dans le cas général

https://www.ilemaths.net/sujet-suites-regularisantes-322041.html

Posté par
infophilere : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 08-12-09 à 15:46

Bonjour,

Oui oui j'ai voulu écrire 3$ (g_n\ast f)(x)=\Bigint_{-\frac{\alpha}{n}}^{\frac{\alpha}{n}}g_n(t)f(t-x)dt, Et par la suite c'est évalué en x_0.

En quoi dois-je détailler la première inégalité ?

(Si, on "fabrique" un Dirac limite des fonctions g_n !)

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 08-12-09 à 15:51

Bonjour Kevin,
Ou apparait x_0 dans la définition du produit de convolution? je pense que dans l'intégrale il y a f(x_0-t)

Tu as probablement compris le truc, mais ta rédaction est assez confuse.

Je commencerais par faire remarquer que

|g_n\star f(x_0)-f(x_0)|=\|\bigint_{-\alpha/n}^{\alpha/n}g_n(t)(f(x_0-t)-f(x_0))dt\|\leq \sup_{t\in[-\alpha/n,\alpha/n]}|f(x_0-t)-f(x_0)|

Après quoi, en effet, soit \varepsilon > 0, il existe \beta > 0 tel que \sup_{t\in[-\beta,\beta]}|f(x_0-t)-f(x_0)| < \varepsilon puis, il existe N tel que pour n > N, on ait [-\alpha/n,\alpha/n]\subset [-\beta;\beta]

C'est bien ce que tu as fait, mais en rédigeant avec beaucoup de quantificateurs c'était difficilement lisible.

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 08-12-09 à 15:52

En retard... Salut otto Il y a bien Dirac car f(x_0)=\delta_{x_0}*f

Posté par
infophilere : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 08-12-09 à 15:58

Bonjour Camélia

Oui en effet c'est ce que j'avais fait mais ta rédaction est bien plus claire !

On définissait les g_n par g_n(x)=ng(nx) où g vérifiait les mêmes propriétés.

Maintenant je dois calculer la même limite sachant que g est paire, et que x_0 est un point de discontinuité de f.

Posté par
ottore : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 08-12-09 à 16:00

Salut Camelia,
on crée une suite qui se comporte comme un Dirac (converge faible*), mais ce n'en est pas un (pour pinailler un peu).

C'est cette remarque qui historiquement a lancé la théorie des distributions justement . On veut éviter d'avoir à passer à la limite notamment.
C'est ce que l'on appelle suite régularisante ou approximation de l'unité.

Posté par
ottore : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 08-12-09 à 16:01

Si tu veux éviter les epsilon-delta il y'a surement un moyen de s'en sortir avec le théorème de la moyenne ...

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 08-12-09 à 16:01

Je pense que tu trouveras quelque chose du genre (f(x_0+)+f(x_0-))/2 mais là je suis à la limite de mon domaine de compétence!

Posté par
infophilere : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 08-12-09 à 16:14

Ok, otto une idée pour la question suivante?

Posté par
ottore : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 08-12-09 à 17:15

Je dirais que ce que dit Camelia n'est pas fou.
Tu peux supposer l'existence (et la "finitude") des limites à gauche et à droite.
Ensuite tu découpes ton intégrale en deux morceaux (en intégrant à droite et à gauche de x) et tu regardes ce que tu obtiens ...

Posté par
infophilere : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 08-12-09 à 17:18

Je pense avoir "vu" le truc.

En prenant 3$ \varphi_h(x)=\frac{1}{2h} sur [-h,h] et nulle en dehors, on a 3$ (f\ast \varphi_h)(x)=f_h(x) où 3$ f_h(x)=\frac{1}{2h}\Bigint_{x-h}^{x+h}f(t)dt.

Et j'ai montré précédemment que 3$ \lim_{h\to 0}f_h(x)=\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}.

Ensuite je pose h=\frac{1}{n} et on s'arrange pour avoir 3$ g_n(x)=ng(nx)=\varphi_h(x)=\frac{1}{2h}

Donc je choisis pour g la fonction constante égale à 1/2 sur [-h,h] (qui est bien paire).

Seulement comment conclure que ça marche pour une fonction paire g quelconque ?

Posté par
infophilere : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 08-12-09 à 17:47

Posts croisés.

Je veux bien séparer l'intégrale en 2, seulement c'est moins pratique pour faire rentrer dans chacune d'elle les constantes f(x_0^+) et f(x_0^-).

Tu obtiens quelque chose toi en faisant ça ?

Posté par
ottore : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 08-12-09 à 18:22

Non je ne l'ai pas fait mais je ne vois pas où ta première méthode échouerait.
Tu sais que la différence entre f(x+h) et f(x+) est au plus de epsilon et tu appliques le même raisonnement en intégrant sur [0,a/n],

En fait, grossièrement parlant, tu peux remplacer f à gauche de x par f(x+) et à droite par f(x-) dans ton intégrale et en faisant ça tu vas comettre une erreur d'au plus epsilon ...

A première vue ca semble marcher sans problème.

a+

Posté par
infophilere : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 11-12-09 à 16:00

Je n'arrive toujours pas à conclure...

Je découpe en 2 comme tu me l'a suggéré :

3$ (g_n\ast f)(x)=\Bigint_{-a/n}^{0}g_n(t)f(x-t)dt+\Bigint_{0}^{a/n}g_n(t)f(x-t)dt

Que l'on peut aussi écrire :

3$ (g_n\ast f)(x)=\Bigint_{-a/n}^{0}g_n(t)(f(x-t)-f(x^-))+\Bigint_{0}^{a/n}g_n(t)(f(x-t)-f(x^+))+\frac{a}{n}(f(x^+)+f(x^-))

Le dernier terme tend vers 0 donc on s'en occupe pas.

On calcule la limite de chacune des intégrales I_n et J_n (la deuxième) :

Pour n suffisamment grand |f(x-t)-f(t)|\le \epsilon, d'où 3$ |J_n|\le \epsilon \Bigint_{0}^{a/n}g_n(t)=\frac{\epsilon}{2} car g_n paire.

Cela voudrait dire que la limite est f(x^+) pour cette intégrale et f(x^-) pour l'autre.

Je trouve ça louche (je m'attendais à la moitié) et on utilise pas vraiment la parité, on aurait pu simplement majorer 3$ \Bigint_{0}^{a/n}g_n(t)dt par 1 et conclure de la même manière.

Où ais-je buggé ?

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 11-12-09 à 16:09

Bon, ce que je ferais, moi... sans garantie! En faisant le changement de variable u=-t:

\bigint_{-\alpha/n}^0g_n(t)f(x-t)dt=\bigint_{\alpha/n}^0g_n(-u)f_(x+u)(-du)

D'où ce que tu cherches vaut (en tenant compte de la parité de g_n)

\bigint_0^{\alpha/n}g_n(t)(f(x+t)+f(x-t))dt

et là on doit pouvoir conclure comme au début.

Posté par
infophilere : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 11-12-09 à 16:23

Merci Camélia, mais en faisant rentrer les limites dans l'intégrale j'obtiens la même chose qu'au dessus

Tu as réussi à conclure avec cette autre écriture ?

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 11-12-09 à 16:30

Mais ce que tu avais me parait assez honnête! Simplement je mets en évidence la parité des g_n je crois vraiment que l'on peut raisonner comme avant! (mais j'aimerais bien que otto ou quelqu'un d'autre confirme)

Posté par
infophilere : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 11-12-09 à 16:37

Mais tu ne trouves pas ça étrange de trouver 3$ \red f(x^+)+f(x^-) ?

Je m'attendais à avoir la moitié...

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 11-12-09 à 16:46

Moi aussi je pensais trouver la moitié... En fait on doit dire une bêtise, parce que après tout si f était continue... Comme on intègre sur la moitié de l'intervalle, et comme la fonction g_n est paire, \bigint_0^{\alpha/n}g_n(t) dt =1/2, mais j'avoue que je ne vois plus quand on l'a perdu...

Posté par
infophilere : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 11-12-09 à 16:54

Oui c'est ce qui me pose problème aussi, si otto ou quelqu'un d'autre passe par là et retrouve notre 1/2...

Posté par
Camélia Correcteurre : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 11-12-09 à 17:12

Oui, je l'ai trouvé!


\bigint_0^{\alpha/n}g_n(t)(f(x_+)+f(x_-))dt=\frac{f(x_+)+f(x_-)}{2}

Posté par
infophilere : [Vérification] Produit convolution par un Dirac 11-12-09 à 17:15

Rho mais oui j'avais zappé le g_n devant

Merci Camélia !!


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