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Volume d'une section de sphère non centrée
Bonjour,
J'ai un petit soucis géométrique là. Déjà je vous préviens que je suis chimiste et non pas mathématicien donc soyez indulgents.
Pour simplifier un peu j'ajoute une image.
Je suis en train de faire une simulation de dynamique moléculaire pour laquelle je me sert d'une très grande sphère pour simuler un plane. Donc mon volume de simulation est un cube dont les coins reposent sur la surface de la sphère (donc il y a une partie du volume qui est partagée entre la sphère et le cube.
Pour calculer une propriété chimique j'a donc besoin du volume "libre" dans le cube et donc du volume partagée entre la sphère et le cube.
Ce que j'ai pensais de faire (puisqu'on ne peut pas calculer directement ce volume, ce n'est pas une calotte ni une forme géométrique usuelle) est de calculer les calotte latérales quatre fois puis enlever le volume excédent donc 4 fois l'intersection entre 2 calottes latérales.
Le problème que j'ai est donc de calculer le volume d'une intersection de calottes (pour ce cas précis elles sont a 90°). La seule solution que je vois est de prendre la équation de la sphère, changer le repère pour être au centre le la partie plane de la calotte et intégrer pour avoir le volume.
Hélas pour moi mes connaissances en mathématique ne vont pas si loin donc j'appelle à l'aide.
Bien évidement si vous voyez une solution plus simple je suis preneur. Cela fait déjà deux jours que je suis dessus...
Encore une précision: dans l'image c'est le volume A que je cherche à trouver à la fin, et B ce que je pense est légèrement plus facile et pour ce que je vous demande de l'aide.
Merci d'avance,
Andreas
P.D.: En relisant je me demande si le titre est correct mais je ne sais pas comment l'appeler sinon...
Bonjour André. Je trouve que ton énoncé n'est pas très clair ... c'est peut-être la cause de l'absence de réponses ?...
Il y a d'abord la " très grande sphère pour simuler un plan " ?...
Ensuite, si le volume étudié est un cube (ne serait-ce pas plutôt un pavé (parallèlépipède) à base carrée , reposant par ses 4 coins inférieurs dans l'intérieur de la sphère , comment le volume étudié pourrait être partagé entre la sphère et le cube ?...
Si le volume à étudier est représenté par le dessin A, cette figure ne devrait-elle pas avoir une base carrée ? Les faces bleues de A sont déterminées par quoi ?
J'essaie de éclaircir un peu cela:
La partie de la "grande sphère pour simuler un plan" est information inutile, je l'avais juste noté pour expliquer l'origine du problème. Il s'agit d'une approximation que je fais étant donné qu'il est assez difficile de simuler par ordinateur un plan chargé alors qu'un sphère est moins compliquée. Si on veut les petits objets qui seront près de la sphère verront "sa" partie de la sphère comme un plan.
En autre, le "cube" est le volume sur lequel je fait ma simulation par ordinateur (pour utiliser moins de mémoire et de calculs).
En fait l'idée est d'avoir une sphère imaginaire ainsi qu'un cube imaginaire pour qu'ils puissent partager du volume. Ensuite on pose le cube (avec un partie de lui même dans la sphère) tel que ses 4 coins inférieurs touchent la surface de la sphère. En faisant cela le volume partagé par le deux est celui de la figure A que lui, en effet a une base carrée.
Autre façon de le voir est de prendre une calotte, dessiner sur sa base un carré dont la diagonale est égal au diamètre de la base de la calotte (les coins du carré vont alors être en contacte avec le cercle qui est la base de la calotte). Puis on prend de plans verticaux (4 différents 2 à 2 parallèles) tels qu'il passent par les côtés du carré. Ces plans vont enlever chacun une partie de la calotte et le volume qui en résulte de tout ceci est le volume qui m'intéresse à la fin.
J'essaie avec une autre image: J'y met 3 perspective de ce que je cherche à calculer à la fin comme volume et ce que donne quand je met le cube et la sphère ensemble.
Les face bleu sont le résultat de découper la calotte par les plans du cube.
J'espère avoir réussi a mieux m'exprimer.
En ce qui concerne à B, ce volume là (faut encore l'imaginer sans le reste de la sphère), si j'arrive à avoir une formule pour lui le problème devient trivial. Il me semble qu'il est plus facile à trouver que le volume de A mais peut-être que je me trompe.
Voilà, merci de me prevenir que ce n'était pas clair comme ennoncé 
.
Andreas
Le volume de la calotte B serait donc :
* c² * (R - c/3)
avec: c = hauteur calotte = R - 
(R² - a²/2)
R étant le rayon de la sphère, et a le côté du cube .
Pour la calotte " rétrécie ", je ne vois pas ...
Merci de ta réponse.
En tout cas B n'est pas une calotte mais il s'agit plutôt du volume partage entre deux calottes (identiques) d'une même sphère dont l'angle entre les hauteurs (hauteurs des calottes) est de 90°
Le volume d'une calotte quelconque est effectivement calculée avec la formule que t'as donné.
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