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Vrai ou faux : suites numériques

Posté par
masterrr 02-09-09 à 23:50

Bonjour,

Pouvez-vous me corriger s'il vous plaît ? Merci d'avance !




Dire si les propositions suivantes sont vraies (on fera alors une démonstration en citant avec précision le résultat du cours utilisé) ou fausses (on donnera alors un contre-exemple).

Sauf mention contraire, toutes les suites considérées sont des suites de nombres réels.

1. Si 5$ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} est une suite croissante et divergente, alors 5$ u_n tend vers 5$ +\infty.

VRAI

2. Si 5$ u_n tend vers 5$ +\infty, alors 5$ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} est croissante à partir d'un certain rang.

VRAI

3. Si 5$ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} n'est pas majorée, alors 5$ u_n tend vers 5$ +\infty.

FAUX (u_n=ncos(n))

4. Si 5$ u_n^2 tend vers 1, alors 5$ u_n tend vers 1 ou -1.

VRAI

5. Si 5$ (u_n) est convergente, alors la suite 5$ (E(u_n)) est convergente (où 5$ E(x) désigne la partie entière du réel 5$ x).

VRAI

6. Si 5$ u_n \sim v_n, alors 5$ \text{e}^{u_n} \sim \text{e}^{v_n}.

FAUX

7. Quelle est la limite de 5$ \left( 1-\frac{1}{n} \right)^n ?

1/e

8. Si 5$ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} converge, alors 5$ u_{n+1}-u_n tend vers 0.

VRAI (unicité de la limite)

9. Si 5$ u_{n+1}-u_n tend vers 0, alors 5$ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} converge.

FAUX

10. Si le suites 5$ (u_{2n}) et 5$ (u_{2n+1}) sont convergentes, alors 5$ (u_n) est convergente.

FAUX (u_n=(-1)^n)

11. Tout nombre réel est limite d'une suite de rationnels.

VRAI

12. Si 5$ \forall n \ge 1, a_n \le u_n \le b_n et si les suites 5$ (a_n) et 5$ (b_n) convergent, alors la suite 5$ (u_n) converge.

VRAI (théorème des "gendarmes")

13. Si 5$ \forall n \ge 1, a_n \le u_n et si la suite 5$ (a_n) diverge, alors la suite 5$ (u_n) diverge.

VRAI (théorème de convergence par encadrement)

14. La somme de deux suites divergentes est une suite divergente.

FAUX (u_n=cos(n) et v_n=-cos(n))

15. La somme d'une suite convergente et d'une suite divergente est une suite divergente.

VRAI

16. Si une suite 5$ (u_n) converge, alors 5$ u_{n+1} \sim u_n.

VRAI (u_n CV vers L donc u_{n+1}/u_n tend vers L/L=1)

17. Une suite convergente de réels strictement positifs a une limite strictement positive.

VRAI

18. Si 5$ u_n tend vers 5$ L>0, alors les 5$ u_n sont positifs ou nuls à partir d'un certain rang.

VRAI

19. Si 5$ u_n \sim v_n, alors 5$ u_n-v_n tend vers 0.

FAUX (u_n=n et v_n=n+1)

20. Si 5$ u_n-v_n tend vers 0, alors 5$ u_n \sim v_n.

VRAI

21. Si 5$ w_k=\frac{1}{k(k+1)}+o\left( \frac{1}{k} \right), alors 5$ w_k \sim \frac{1}{k^2}.

VRAI

22. Si 5$ u_n=O\left( \frac{1}{n^2} \right), alors 5$ u_n=o\left( \frac{1}{n} \right).

FAUX

23. Si 5$ u_n=o\left( \frac{1}{n} \right), alors 5$ u_n=O\left( \frac{1}{n^2} \right).

VRAI

24. Si 5$ u_n=o\left( \frac{1}{n} \right), alors il existe un réel 5$ \alpha>1 tel que 5$ u_n=O\left( \frac{1}{n^2} \right).

VRAI

Posté par
aziztandaVrai ou faux : suites numériques 03-09-09 à 03:01

salut
pour le 4-, c'est faux
contreexemple: un=(-1)n
on a : (un)2=1
mais la suite (un) est divergente

Posté par
aziztandaVrai ou faux : suites numériques 03-09-09 à 03:36

pour le6-
n ~ n+1 , mais en+1/ en=e qui est different de1
pour le 16 : dans ton raisonnement , il se peut que
L=0 , dans ce cas 0/0 est indeterminee
contreexemple pour le16:
un=(-1)n / n

un+1=(-1)n+1 / n +1

un+1/ un=-n/n+1 tend vers -1
pour le 5-, ona un-1<E(un)<=un
donc on ne peut pas conclure , je vais reflechir

Posté par
girdavre : Vrai ou faux : suites numériques 03-09-09 à 14:08

Bonjour.

Citation :
17. Une suite convergente de réels strictement positifs a une limite strictement positive.

VRAI
Et u_n = \fr 1n alors?
Citation :
18. Si 5$ u_n tend vers 5$ L>0, alors les 5$ u_n sont positifs ou nuls à partir d'un certain rang.

VRAI
Si tu es en maths spé, tu doit avoir la définition de la limite avec \epsilon: il faut en prendre un assez petit.
Citation :
20. Si 5$ u_n-v_n tend vers 0, alors 5$ u_n \sim v_n.

VRAI
Prends u_n = \fr 1n et v_n= \fr 1{n^2}

Posté par
Camélia Correcteurre : Vrai ou faux : suites numériques 03-09-09 à 14:17

Bonjour

2 est FAUX! La suite u_{2n}=2n et u_{2n+1}=2n-1 est un contrexemple!

12 aussi est FAUX (manque (a_n) et (b_n) ont la même limite!)

13 est FAUX

Posté par
masterrrre : Vrai ou faux : suites numériques 03-09-09 à 16:16

Merci à tous pour vos réponses. On l'a corrigé cet après-midi.

Bonne soirée.


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