Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans une entreprise.
Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres.
On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à 0,07.
On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.
a) Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. b) Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 10-3.
Solution
a)
Considérons l'événement S ="le candidat est recruté".
Pour chaque candidat, l'épreuve a deux issues possibles;
on a un schéma de Bernoulli dont la probabilité de succès S est p = 0.07, et la probabilité d'échec est q=1-0.07=0.93
L'expérience est répétée 5 fois, de façon identique et indépendante.
X est égal au nombre de personnes recrutées; X est donc le nombre de succès de l'expérience.
X suit la loi binomiale de paramètres n=5 et p=0.07, soit X~B(5,0.07).
b) pour tout k [0;5],
d'où la probabilité que 2 candidats soient recrutés parmi les 5 amis est
difficulté 1/3
exercice 2
Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans une ville.
Après la période hivernale, on interroge au hasard n habitants de la ville,
en admettant que ce choix se ramène à n tirages successifs indépendants et avec remise.
On suppose que la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée
contre la grippe est égale à 0,4.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les n interrogées.
1 Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ?
2 Dans cette question, on suppose que n = 40. a) Déterminer la probabilité qu'exactement 15 des 40 personnes interrogées soient vaccinées. b) Déterminer la probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.
Solution
1.
- Il y a répétition de expériences identiques et indépendantes à deux issues :
le "succès" : la personne est vaccinée, de probabilité p = 0.4
l' "échec" : la personne n'est pas vaccinée, de probabilité q = 1-p = 0.6.
- la variable aléatoire X est égale au nombre de personnes vaccinées, donc au nombre de succès de l'expérience.
La variable aléatoire X suit donc la loi binomiale de paramètres n et p=0,4.
2. X ~ B(40,0.4) a)
La probabilité qu'exactement 15 des 40 personnes interrogées soient vaccinées est égale à 0,123 (arrondie au millième près).
b) Par la calculatrice, nous obtenons
La probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée est environ égale à 13%
difficulté 2/3
exercice 3
Soient X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n,p),
E(X) son espérance, et V(X) sa variance.
Montrer que V(X) E(X).
Solution
On a :
E(X) = np
V(x) = np(1-p) = E(X)(1-p)
Or 1-p 1
Donc la variance V(X) est inférieure ou égale à l'espérance E(X).
difficulté 2/3
exercice 4
Exercice de synthèse du chapitre "Probabilités".
Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.
1. Le joueur lance une fléchette.
On note p0 la probabilité d'obtenir 0 point.
On note p3 la probabilité d'obtenir 3 points.
On note p5 la probabilité d'obtenir 5 points.
On a donc p0+p3+p5 = 1.
Sachant que et que , déterminer les valeurs de p0, p3, p5.
2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum.
Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points.
Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.
On note G2 l'évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
On note G3 l'évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
On note P l'évènement : « le joueur perd la partie ».
On note p(A) la probabilité d'un évènement A. a) Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que .
On admettra dans la suite que .
b) En déduire p(P).
3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?
4. Pour une partie, la mise est fixée à 2 euros.
Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 euros. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3 euros.
S'il perd, il ne reçoit rien.
On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : -2,1 et 3.
a) Donner la loi de probabilité de X. b) Déterminer l'espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur ?
Solution
1. D'après l'énoncé, et .
L'égalité se réécrit donc : ,
d'où on tire , puis et .
2. a) L'arbre pondéré ci-dessous modélise le lancer de deux fléchettes,
et met en évidence les possibilités de réalisation de l'événement G2
L'événement G2 est réalisé lorsque le joueur totalise au moins 8 points en 2 lancers.
donc
On obtient : .
2. b) Soit G l'événement "Le joueur gagne". G est la réunion des événements disjoints G2 et G3 (le joueur ne peut pas gagner en un seul lancer).
On en déduit que . P est l'événement contraire de G, donc .
3. Chaque partie décrit une épreuve de Bernoulli,
- le "succès" : la partie est gagnée, de probabilité p = 1/3
- l' "échec" : la partie est perdue, de probabilité q = 2/3.
Il y a répétition de 6 expériences identiques et indépendantes.
La variable aléatoire Y égale au nombre de parties gagnées suit une loi binomiale de paramètres 6 et 1/3.
La probabilité qu'il gagne au moins une partie parmi les 6 est
4. a) D'après les questions précédentes : ,
, et .
4. b) L'espérance de gain du joueur est : .
L'espérance de gain du joueur étant négative, le jeu lui est défavorable.
difficulté 3/3
exercice 5
On rappelle que la probabilité d'un évènement A sachant que l'évènement B est réalisé se note .
Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher.
On tire au hasard une boule de l'urne :
si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et on ajoute boules blanches supplémentaires.
si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et on ajoute boules noires supplémentaires.
On tire ensuite au hasard une seconde boule de l'urne.
On note : l'évènement : « on obtient une boule blanche au premier tirage » l'évènement : « on obtient une boule blanche au second tirage »
A l'évènement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».
1. Dans cette question, on prend .
a) Calculer la probabilité et montrer que .
b) Calculer .
c) Montrer que .
2. On prend toujours n = 10.
Huit joueurs réalisent l'épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.
On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l'évènement A. a) Déterminer p(X = 3). (On donnera la réponse à 10-2 près). b) Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.
3. Dans cette question n est un entier supérieur ou égal à 1.
Existe-t-il une valeur de n pour laquelle .
Solution
Un arbre pour illustrer le problème :
1. a) Au premier tirage, l'urne contient 40 boules dont 30 boules blanches, donc
On tire une boule blanche, donc on la remet dans l'urne et on ajoute 10 boules blanches;
l'urne contient alors 50 boules dont 40 boules blanches, donc
par conséquent, .
De même, si on avait tiré une boule noire au premier tirage : .
On aurait ajouté 10 boules noires, donc l'urne contiendrait avant le second tirage 50 boules
dont 30 blanches donc .
Donc .
Donc .
1. b).
1. c).
Or
Donc .
2. a) Il s'agit d'un schéma de Bernoulli de paramètres n = 8 et p = 0,30.
X suit donc une loi binomiale de paramètres n et p : pour tout entier k entre 0 et n,
on a
Donc (arrondi à 10-2 près)
2. b) L'espérance mathématique d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale est donnée par E(X) = np
donc
3. On réitère le même raisonnement, en fonction de n.
L'arbre correspondant est :
(ça ne change pas) et alors donc
et alors donc
Donc
On cherche n tel que .
Donc donc 40+n=60 , d'où n=20.
Conclusion, pour n=20, on obtient
Publié par malou/carita
le
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Solution
E(X).
et que 
, déterminer les valeurs de p0, p3, p5.
 = \dfrac{5}{36})
.
On admettra dans la suite que  = \dfrac{7}{36} )
.
})
. 
boules blanches supplémentaires.
l'évènement : « on obtient une boule blanche au premier tirage »
l'évènement : « on obtient une boule blanche au second tirage »
.)
et montrer que  = \dfrac{3}{4})
.)
. = \dfrac{3}{10})
. = \dfrac{1}{4})
. 
[0;5], 
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