Fiche de mathématiques
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Exercices Loi Binomiale

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difficulté 1/3

exercice 1


Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans une entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres.

On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à 0,07.

On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.

a) Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
b) Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 10-3.
 Solution

difficulté 1/3

exercice 2

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans une ville.
Après la période hivernale, on interroge au hasard n habitants de la ville,
en admettant que ce choix se ramène à n tirages successifs indépendants et avec remise.

On suppose que la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à 0,4.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les n interrogées.

1 Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ?

2 Dans cette question, on suppose que n = 40.
a) Déterminer la probabilité qu'exactement 15 des 40 personnes interrogées soient vaccinées.
b) Déterminer la probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.
 Solution

difficulté 2/3

exercice 3

Soient X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n,p), E(X) son espérance, et V(X) sa variance.

Montrer que V(X) infegal E(X).
 Solution

difficulté 2/3

exercice 4

Exercice de synthèse du chapitre "Probabilités".
Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Exercices : schéma de Bernoulli et loi binomiale  : image 4
On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

1. Le joueur lance une fléchette.
On note p0 la probabilité d'obtenir 0 point.
On note p3 la probabilité d'obtenir 3 points.
On note p5 la probabilité d'obtenir 5 points.
On a donc p0+p3+p5 = 1.

Sachant que p_5 = \dfrac{1}{2} \; p_3 et que  p_5 = \dfrac{1}{3} \;p_0 , déterminer les valeurs de p0, p3, p5.

2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum.
Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points.
Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.

On note G2 l'évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
On note G3 l'évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
On note P l'évènement : « le joueur perd la partie ».
On note p(A) la probabilité d'un évènement A.
a) Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que p(G_2) = \dfrac{5}{36} . On admettra dans la suite que p(G_3) = \dfrac{7}{36} .
b) En déduire p(P).

3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?

4. Pour une partie, la mise est fixée à 2 euros.
Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 euros. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3 euros. S'il perd, il ne reçoit rien.
On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : -2,1 et 3.
a) Donner la loi de probabilité de X.
b) Déterminer l'espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur ?
 Solution
difficulté 3/3

exercice 5

On rappelle que la probabilité d'un évènement A sachant que l'évènement B est réalisé se note p_B{(A)}.

Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher.

On tire au hasard une boule de l'urne :
si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et on ajoute n boules blanches supplémentaires.
si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et on ajoute n boules noires supplémentaires.
On tire ensuite au hasard une seconde boule de l'urne.

On note :
B_{1} l'évènement : « on obtient une boule blanche au premier tirage »
B_{2} l'évènement : « on obtient une boule blanche au second tirage »
A l'évènement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».

1. Dans cette question, on prend n = 10.
a) Calculer la probabilité p\left(B_{1} \cap B_{2}\right) et montrer que  p\left(B_{2}\right) = \dfrac{3}{4}.
b) Calculer p_{B_{2}}\left(B_{1}\right).
c) Montrer que p(A) = \dfrac{3}{10}.

2. On prend toujours n = 10.
Huit joueurs réalisent l'épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.
On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l'évènement A.
a) Déterminer p(X = 3). (On donnera la réponse à 10-2 près).
b) Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.

3. Dans cette question n est un entier supérieur ou égal à 1. Existe-t-il une valeur de n pour laquelle p(A) = \dfrac{1}{4}.
 Solution
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carita
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