Pour ce chapitre tu dois savoir manipuler des expressions algébriques, étudier le signe d'un produit ou d'un quotient et de résoudre des équations. Ces notions sont essentielles à la compréhension du cours et la résolution des exercices que tu seras amené à faire. Il faut également avoir compris le lien entre le signe d'une expression algébrique et sa représentation graphique dans un repère.
Enjeu
Le but de ce chapitre est de pouvoir déterminer par le calcul, entre 2 courbes, quelle courbe se situe au-dessus de l'autre et sur quel(s) intervalle(s). Il te permettra d'interpréter ensuite, dans des problèmes plus concrets, des situations liées à la physique, la chimie, l'économie,?
I. Intersection de deux courbes
Théorème 1
Soient et deux fonctions définies sur un intervalle I.
On appelle et leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
Les abscisses des points d'intersection des courbes et sont les solutions de l'équation .
Exemple : Soient et les deux fonctions définies sur par :
Les courbes représentatives (en rouge) et (en bleu) sont données dans le repère ci-dessous.
Recherche des points d'intersection des courbes et :
Les abscisses des points d'intersection de et sont donc -2 et 8.
Les ordonnées sont données par et .
Les points d'intersection A et B ont donc pour coordonnées : A(-2 ; 6) B(8 ; 36).
II. Position relative de deux courbes
Théorème 2
Soient et deux fonctions définies sur un intervalle I.
On appelle et leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
Si, pour tout de I :
, alors la courbe est au dessus de la courbe ;
, alors la courbe est en dessous de la courbe .
En pratique, on utilise plutôt le théorème suivant qui est équivalent au théorème 2 :
Théorème 3
Soient et deux fonctions définies sur un intervalle I.
On appelle et leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
On pose, pour tout de I : .
Si, pour tout de I :
, alors la courbe est au dessus de la courbe ;
, alors la courbe est en dessous de la courbe .
Exemple : On reprend les fonctions et les deux fonctions définies dans la partie I.
On pose, pour tout réel : .
On peut factoriser :
Étude du signe de :
Conclusion : Si alors donc donc la courbe est au dessus de la courbe ;
Si alors donc donc la courbe est en dessous de la courbe .
III. Intersection d'une courbe avec les axes du repère
1. Intersection d'une courbe avec l'axe des ordonnées
On reprend l'exemple de la fonction définie dans la partie I.
Le point d'intersection E de la courbe avec l'axe des ordonnées a une abscisse nulle, et son ordonnée est donnée par .
Donc E a pour coordonnées E(0 ; -4).
2. Intersection d'une courbe avec l'axe des abscisses
On reprend l'exemple de la fonction définie dans la partie I.
Les points d'intersection C et D de la courbe avec l'axe des abscisses ont leurs ordonnées nulles, et leurs abscisses sont les solutions de l'équation .
Donc les points C et D ont pour coordonnées C(-1 ; 0) et D(4 ; 0).
Publié par jamo
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et 
les deux fonctions définies sur 
par :
 = x^2 - 3x - 4)
 = 3x + 12)
(en rouge) et 
(en bleu) sont données dans le repère ci-dessous.
 = g(x) \\ \Longleftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 3x + 12 \\ \Longleftrightarrow x^2 - 6x - 16 = 0 \\ \Longleftrightarrow x = -2 \text{ ou } x = 8)
 = 6)
et  = 36)
.
réel :  = f(x) - g(x))
.
 = x^2 - 3x - 4 - (3x + 12) = x^2 - 6x - 16)
)
:
 = (x + 2)(x - 8))
![x \in ]-\infty ; -2[ \cup ]8 ; +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \in ]-\infty ; -2[ \cup ]8 ; +\infty[)
alors  > 0)
donc  > g(x))
donc la courbe ![x \in ]-2 ; 8[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \in ]-2 ; 8[)
alors  < 0)
donc  < g(x))
donc la courbe  = -4)
.
 = 0)
.
 = 0 \\ \Longleftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Longleftrightarrow x = -1 \text{ ou } x = 4)
 = g(x))
.
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