Fiche de mathématiques
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Polynomes : définition, identification, factorisation, équations

(exercices relatifs à cette fiche de cours)

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exercice 1

Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions polynômes ?


1. f: x \mapsto 4x^2 + x + 1 ;

2. g: x \mapsto \dfrac{x^2 - 6x + 9}{x-3} ;

3. h: x \mapsto \sqrt{x^2+4x} .



exercice 2

Indiquer parmi ces fonctions celles qui sont des fonctions polynômes. Donner alors leur degré.
a) f(x) = (3x^2+1)(2x^2-5)
b) g(x) = \frac{x^2-5x}{x}
c) h(x) = \frac{x^3+3x}{x^2+3}



exercice 3

Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel x, on ait:
3x^3-2x^2+4x-5 = (x-1)(ax^2+bx+c)



exercice 4

Factorisation de polynômes.
On donne une fonction polynôme f(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x + 6.
    a) Calculer f(1).
    b) On peut factoriser f(x).
Sachant que f(x) = (x - 1)g(x).
Avec g, polynôme du troisième degré : g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.
Calculer g(x) par identification.
    c) Calculer g(3). Conclusion ?
    d) Factoriser encore f(x).
   



exercice 5

Un texte de devoir est mal écrit, et les coefficients en x3 et en x d'une fonction polynôme ont été effacés. On ne voit que p(x) = x4 + ...x3 - 2x² + ...x - 3.
La première question du problème est : vérifier que -1 et 3 sont racines de la fonction polynôme p.
Comment retrouver les coefficients effacés ?



exercice 6

1. Soit p: x \mapsto x3 - 3x² - 13x +15.
Chercher une racine évidente de p, puis résoudre dans \mathbb{R} l'équation p(x) = 0.

2. Soit p: x \mapsto 4x3 - 8x² - 47x + 105. Calculer p(3) et en déduire la résolution dans \mathbb{R} de l'équation p(x)=0.

3. Même travail avec p: x \mapsto x3 + 7x² + 12x + 10 et p(-5).

4. Soit p: x \mapsto 9x4 - 12x3 - 83x² - 50x - 8. Calculer p(4) et en déduire une première factorisation de p(x). Chercher une racine évidente de p, puis résoudre p(x) = 0.



exercice 7

1. Soit p(x)=x^3-3x^2-13x+15.
Chercher une racine évidente de p puis résoudre dans R l'équation p(x)=0

2. Soit p(x)=4x^3-8x^2-47x+105.
Calculer p(3) et en déduire dans R la résolution de l'équation p(x)=0.

3. Même travail avec p(x)=x^3+7x^2+12x+10 et le calcul de p(-5).

4. Soit p(x)=9x^4-12x^3-83x^2-50x-8.
Calculer p(4) et en déduire une première factorisation de p(x). Chercher une racine évidente de p, puis résoudre dans R l'équation p(x)=0.



exercice 1


f(x) est la somme de 3 monômes ; c'est une fonction polynôme de degré 2.
g(x) n'est pas définie sur R ; en effet 3 n'a pas d'image ; g n'est donc pas une fonction polynôme.
h(x)  = (x²+4x)^{\frac 1 2} ; l'exposant 1/2 n'est pas un entier naturel ; h n'est pas une fonction polynôme



exercice 2


a) f(x)=(3x^2+1)(2x^2-5) =6x^4 -13x^2-5
f est une fonction polynôme de degré 4

b) g(x)=\dfrac{x^2-5x}{x}  =\dfrac{x(x-5)}x} , définie sur \mathbb{R}^*
g n'est pas une fonction polynôme, car g n'est pas définie pour x=0.

c) h(x)=\dfrac{x^3+3x}{x^2+3}=\dfrac{x(x^2+3)}{x^2+3}=x définie sur \mathbb{R}
h est une fonction polynôme de degré 1



exercice 3


Deux polynômes P et Q sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré de P et Q sont égaux
Développons : (x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3-ax^2+bx^2-bx+cx-c=ax^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c
Pour tout x réel, 3x^3-2x^2+4x-5=ax^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c
équivaut à dire : \begin{array}{llll}\left\lbrace\begin{array}l 3=a \\-2=(-a+b) \\4=(-b+c)\\-c=-5\end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l 3=a \\-2=-a+b \\4=-b+c\\c=5\end{array} &    \left\lbrace\begin{array}l a=3 \\b=-2+3 \\b=-4+5\\c=5\end{array} &   \left\lbrace\begin{array}l a=3 \\b =1\\c=5\end{array} \end{array}
Conclusion : 3x^3-2x^2+4x-5=(x-1)(3x^2+x+5)



exercice 4


le développement du carré de (ax²+bx+c) sera de degré 4, donc de même degré que p(x)


q(x) = (ax²+bx+c)² + dx + c = a²x^4 + abx³ +acx²\\                 		\phantom{q(x) = (ax²+bx+c)² + dx + c = 	a²x^4}		    + abx³  + b²x² + bcx \\ 		\phantom{q(x) = (ax²+bx+c)² + dx + c = 	a²x^4 + abx³}	         + acx² + bcx + c² \\ 		\phantom{  q(x) = (ax²+bx+c)² + dx + c = 	a²x^4 + abx³ +acx²}+ dx\;\;+e	\\   		\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots  		\dots \dots \dots \dots \dots  \dots \dots \text{ en ajoutant, on obtient }\\	\\		            q(x) = a²x^4 + 2abx³ + (2ac+b²)x² + (2bc+d)x + e+c²

Par identification des coefficients des monômes de même degré, on obtient le système à résoudre :

\left\lbrace\begin{matrix} a²& =& 1\\ 2ab & = & -6\\ 2ac+b²& = &19  \\ 2bc+d& = & 25\\ c²+e& = & 24 \end{matrix}\right.


Le système admet 2 solutions : S = \lbrace(-1,3,-5,5,1) ; (1,-3,5,5,-1)\rbrace



exercice 5

f(x) = x^4 - 3x³ + x² - 5x + 6
a.  f(1) = 1-3+1-5+6 = 0



b. f(x) = (x-1) g(x)  = (x-1)(ax³ + bx² + cx + d) déterminons les coefficients de g(x)
f(x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx - ax³ - bx² - cx - d =  ax^4 + (b-a)x³ + (c-b)x² + (d-c)x ?d
par identification des coefficients, on établit le système à résoudre :
\left\lbrace\begin{matrix} a & = &1 \\ b-a& = & -3\\ c-b& = & 1\\ d-c& = &-5\\ -d&= & 6 \end{matrix}\right.

par la résolution du système, on trouve a=1 \quad b = -2 \quad c= -1 \quad d = -6
ainsi g(x) = x³ - 2x² - x - 6

c. g(3) = 27-18-3-6 = 0 \quad  \text{ donc }  3 \text{ est racine de } g
il existe donc une fonction h telle que h(x)= a'x²+b'x+c', de degré 2, avec g(x) = (x-3)h(x)
par identification, on trouve a' = 1\;,\; b' = 1\;, \;c' = 2, soit h(x) = x²+x+2
h n'a pas de racine (discriminant \Delta < 0), on ne peut pas factoriser davantage g(x)

d. d'où la factorisation f(x) = (x-1) g(x) = (x-1)(x-3)h(x) = (x-1)(x-3)( x²+x+2)



exercice 6


 p(x) = x^4 +ax³ - 2x² + bx - 3 avec a et b réels représentant les coefficients manquants.

 1 \text{ racine de }p\Longleftrightarrow           (-1)^4 + a(-1)³ - 2(-1)² + b(-1) - 3 = 0 \Longleftrightarrow 1 - a - 2  - b - 3 = 0 \\ \phantom{1 \text{ racine de }p} \Longleftrightarrow  a+b = - 4 \quad   \text{ (première équation)}

 3 \text{ racine de }p\Longleftrightarrow           (3)^4 + a(3)³ - 2(3)² + b(3) - 3 = 0 \Longleftrightarrow 81+27a-18+3b-3= 0 \\ \phantom{1 \text{ racine de }p }\Longleftrightarrow 27a+3b=-60 \Longleftrightarrow  9a+b = - 20 \quad   \text{ (deuxième équation)}

d'où le système à résoudre \left\lbrace\begin{matrix} a+b& =&-4 \\ 9a+b& =&-20 \end{matrix}\right.
dont l'unique solution est le couple (-2 ;-2)

ainsi p(x) = x^4 - 2x³ - 2x² - 2x - 3



exercice 7

1. p(x) = x³ - 3x² - 13x + 15
la somme des coefficients est égale à 1, donc 1 est racine évidente : p(1)=0
il existe une fonction q avec q(x) = ax²+bx+c, telle que p(x) = (x-1)q(x) déterminons les réels a, b et c
(x-1)q(x) = (x-1) (ax²+bx+c) = ax³ + bx² + cx - ax² - bx - c = ax³ + (b-a)x² + (c-b)x - c
par identification des coefficients, on établit le système :
\left\lbrace\begin{matrix} a& =&1 \\ b-a& = & -3\\ c-b& = &-13 \\ -c & = & 15 \end{matrix}\right.


après résolution, on trouve a = 1, b = -2, et c = -15

ainsi, p(x) =  (x-1)(x²-2x-15)
résolvons x²-2x-15 = 0 par discriminant : \Delta = b² - 4ac = 4 ? 4\times 1\times (-15) = 64 =8² ;
on obtient 2 racines distinctes \dfrac{2-8}{2}=-3 \quad \text{et}\quad  \dfrac{2+8}{2}=5
une factorisation de x²-2x-15 \text{ est } (x+3)(x-5)

p(x) = 0 \Longleftrightarrow (x-1)(x²-2x-15)=0 \Longleftrightarrow (x-1)(x+3)(x-5)=0 \Longleftrightarrow   x=1 \text{ ou } x=-3 \text{ ou } x=5
L'ensemble solution est  S=\lbrace -3 ; 1 ; 5 \rbrace


2. p(x) = 4x³ - 8x² - 47x + 105
p(3) = 0 ; 3 est donc racine de p 
il existe donc une fonction q avec q(x) = ax²+bx+c, telle que p(x) = (x-3)q(x)
déterminons les réels a, b et c, etc.
selon la même méthode détaillée au 1), on arrive à la factorisation p(x) = (2x+7)(2x-5)(x-3)
l'ensemble des solutions de l'équation p(x)=0 est S = \lbrace-3/2 ; 5/2 ; 3\rbrace


3. p(x) = x³ + 7x² + 12x + 10
p(-5) = 0 ; 5 est donc racine de p
il existe donc une fonction q avec q(x) = ax²+bx+c, telle que p(x) = (x+5)q(x)
déterminons les réels a, b et c, etc. (cf corrigé du 1) on trouve q(x) = x²+2x+2
Résolvons q(x) = 0 ;  \Delta <0 donc pas de racine ; q(x) n'est pas factorisable
l'ensemble des solutions de l'équation p(x)=0 est donc S = \lbrace-5\rbrace


4.  p(x) = 9x^4 - 12 x³ -83x² - 50x -8
p(4) = 0 donc 4 est racine de p.
racine évidente : -2
puis même méthode que pour 1 , 2, 3
l'ensemble des solutions de l'équation p(x)=0 est S =\lbrace{-2 ; -1/3 ; 4\rbrace
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