Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions polynômes ?
1. f: ;
2. g: ;
3. h: .
exercice 2
Indiquer parmi ces fonctions celles qui sont des fonctions polynômes. Donner alors leur degré.
a) b) c)
exercice 3
Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel x, on ait:
exercice 4
Factorisation de polynômes. On donne une fonction polynôme .
a) Calculer .
b) On peut factoriser .
Sachant que .
Avec , polynôme du troisième degré : .
Calculer par identification.
c) Calculer . Conclusion ?
d) Factoriser encore .
exercice 5
1. Soit p: x x3 - 3x² - 13x +15.
Chercher une racine évidente de p, puis résoudre dans l'équation p(x) = 0.
2. Soit p: x 4x3 - 8x² - 47x + 105. Calculer p(3) et en déduire la résolution dans de l'équation p(x)=0.
3. Même travail avec p: x x3 + 7x² + 12x + 10 et p(-5).
4. Soit p: x 9x4 - 12x3 - 83x² - 50x - 8. Calculer p(4) et en déduire une première factorisation de p(x). Chercher une racine évidente de p, puis résoudre p(x) = 0.
exercice 6
1. Soit Chercher une racine évidente de p puis résoudre dans R l'équation
2. Soit .
Calculer et en déduire dans R la résolution de l'équation .
3. Même travail avec et le calcul de .
4. Soit .
Calculer et en déduire une première factorisation de . Chercher une racine évidente de p,
puis résoudre dans R l'équation .
f(x) est la somme de 3 monômes ; c'est une fonction polynôme de degré 2.
g(x) n'est pas définie sur R ; en effet 3 n'a pas d'image ; g n'est donc pas une fonction polynôme.
; l'exposant 1/2 n'est pas un entier naturel ; h n'est pas une fonction polynôme
exercice 2
a)
est une fonction polynôme de degré 4
b)
, définie sur n'est pas une fonction polynôme, car g n'est pas définie pour .
c)
définie sur est une fonction polynôme de degré 1
exercice 3
Deux polynômes P et Q sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré de P et Q sont égaux
Développons : Pour tout réel, équivaut à dire :
Conclusion :
exercice 4
a.
b. déterminons les coefficients de g(x)
par identification des coefficients, on établit le système à résoudre :
par la résolution du système, on trouve ainsi
c. il existe donc une fonction h telle que , de degré 2, avec par identification, on trouve , soit h n'a pas de racine (discriminant ), on ne peut pas factoriser davantage g(x)
d. d'où la factorisation
exercice 5
avec
a et b réels représentant les coefficients manquants.
d'où le système à résoudre dont l'unique solution est le couple (-2 ;-2)
ainsi
exercice 6
1. la somme des coefficients est égale à 1, donc 1 est racine évidente : p(1)=0
il existe une fonction q avec , telle que
déterminons les réels a, b et c
par identification des coefficients, on établit le système :
après résolution, on trouve a = 1, b = -2, et c = -15
ainsi, résolvons x²-2x-15 = 0 par discriminant : ;
on obtient 2 racines distinctes une factorisation de
L'ensemble solution est
2. p(3) = 0 ; 3 est donc racine de p
il existe donc une fonction q avec , telle que déterminons les réels a, b et c, etc.
selon la même méthode détaillée au 1), on arrive à la factorisation l'ensemble des solutions de l'équation p(x)=0 est
3. p(-5) = 0 ; 5 est donc racine de p
il existe donc une fonction q avec , telle que déterminons les réels a, b et c, etc. (cf corrigé du 1) on trouve Résolvons q(x) = 0 ; donc pas de racine ; q(x) n'est pas factorisable
l'ensemble des solutions de l'équation p(x)=0 est donc
4. p(4) = 0 donc 4 est racine de p.
racine évidente : -2
puis même méthode que pour 1 , 2, 3 l'ensemble des solutions de l'équation p(x)=0 est
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;
;
.
 = (3x^2+1)(2x^2-5))
 = \frac{x^2-5x}{x})
 = \frac{x^3+3x}{x^2+3})
(ax^2+bx+c))
 = x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x + 6)
.
)
.
)
.
 = (x - 1)g(x))
.
, polynôme du troisième degré :  = ax^3 + bx^2 + cx + d)
.
)
par identification.
)
. Conclusion ?
x3 - 3x² - 13x +15.
l'équation p(x) = 0.
=x^3-3x^2-13x+15. )
=0)
=4x^3-8x^2-47x+105)
.
)
et en déduire dans R la résolution de l'équation =x^3+7x^2+12x+10)
et le calcul de )
.
=9x^4-12x^3-83x^2-50x-8)
.
)
et en déduire une première factorisation de )
. Chercher une racine évidente de p,
puis résoudre dans R l'équation  = (x²+4x)^{\frac 1 2})
; l'exposant 1/2 n'est pas un entier naturel ; h n'est pas une fonction polynôme
=(3x^2+1)(2x^2-5) =6x^4 -13x^2-5)
est une fonction polynôme de degré 4
=\dfrac{x^2-5x}{x} =\dfrac{x(x-5)}x})
, définie sur 
.
=\dfrac{x^3+3x}{x^2+3}=\dfrac{x(x^2+3)}{x^2+3}=x)
définie sur 
est une fonction polynôme de degré 1
(ax^2+bx+c)=ax^3-ax^2+bx^2-bx+cx-c=ax^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c )
réel, x^2+(-b+c)x-c )
 \\4=(-b+c)\\-c=-5\end{array} & \left\lbrace\begin{array}l 3=a \\-2=-a+b \\4=-b+c\\c=5\end{array} & \left\lbrace\begin{array}l a=3 \\b=-2+3 \\b=-4+5\\c=5\end{array} & \left\lbrace\begin{array}l a=3 \\b =1\\c=5\end{array} \end{array})
(3x^2+x+5) )
 = x^4 - 3x³ + x² - 5x + 6)
 = 1-3+1-5+6 = 0)
 = (x-1) g(x) = (x-1)(ax³ + bx² + cx + d) )
déterminons les coefficients de g(x)
 = ax^4 + bx³ + cx² + dx - ax³ - bx² - cx - d = ax^4 + (b-a)x³ + (c-b)x² + (d-c)x ?d)
 = x³ - 2x² - x - 6 )
 = 27-18-3-6 = 0 \quad \text{ donc } 3 \text{ est racine de } g )
= a'x²+b'x+c')
, de degré 2, avec  = (x-3)h(x))
, soit  = x²+x+2)
), on ne peut pas factoriser davantage g(x)
 = (x-1) g(x) = (x-1)(x-3)h(x) = (x-1)(x-3)( x²+x+2) )
 = x^4 +ax³ - 2x² + bx - 3)
avec
a et b réels représentant les coefficients manquants.
^4 + a(-1)³ - 2(-1)² + b(-1) - 3 = 0 \Longleftrightarrow 1 - a - 2 - b - 3 = 0 \\ \phantom{1 \text{ racine de }p} \Longleftrightarrow a+b = - 4 \quad \text{ (première équation)})
^4 + a(3)³ - 2(3)² + b(3) - 3 = 0 \Longleftrightarrow 81+27a-18+3b-3= 0 \\ \phantom{1 \text{ racine de }p }\Longleftrightarrow 27a+3b=-60 \Longleftrightarrow 9a+b = - 20 \quad \text{ (deuxième équation)})
 = x^4 - 2x³ - 2x² - 2x - 3 )
 = x³ - 3x² - 13x + 15)
 = ax²+bx+c)
, telle que  = (x-1)q(x))
déterminons les réels a, b et c
q(x) = (x-1) (ax²+bx+c) = ax³ + bx² + cx - ax² - bx - c = ax³ + (b-a)x² + (c-b)x - c)
 = (x-1)(x²-2x-15))
 = 64 =8²)
;
(x-5))
 = 0 \Longleftrightarrow (x-1)(x²-2x-15)=0 \Longleftrightarrow (x-1)(x+3)(x-5)=0 \Longleftrightarrow x=1 \text{ ou } x=-3 \text{ ou } x=5)
 = 4x³ - 8x² - 47x + 105)
 = (x-3)q(x))
 = (2x+7)(2x-5)(x-3))
 = x³ + 7x² + 12x + 10)
 = (x+5)q(x))
 = x²+2x+2 )
donc pas de racine ; q(x) n'est pas factorisable
 = 9x^4 - 12 x³ -83x² - 50x -8)
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