Fiche de mathématiques
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Polynômes : opérations sur les degrés



(exercices relatifs à cette fiche de cours)

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exercice 1

Soit m un nombre réel donné. On considère la fonction polynôme définie par:
P(x)=(m^2-4)x^3+(m-2)x^2+x-7
Determiner le degré de P selon les valeurs de m.



exercice 2

On donne les fonctions polynômes :
\left \lbrace \begin{array}{l} f : x \mapsto 2x^{3} - 5x + 1 \\ g : x \mapsto 3x^{4} - 2x^{2} + 7x - 3 \\ \end{array} \right.
Exprimer f + g, f.g, 2f-3g, f^2 (= f . f ).



exercice 3

Déterminer le degré et les coefficients des fonctions polynômes suivantes, après les avoir écrites sous forme réduite et ordonnée :
f1: x \mapsto (x - 1)² - 4(2x - 3)(x + 2)² + 3(x - 4)(x + 2)
f2: x \mapsto (2x - 1)3 - 2(2x + 3)(x - 4)² - 4(x - 1)²(x + 3)
f3: x \mapsto (2x3 + 2x - 1)(4x4 + 5x² + 3).



exercice 4

Déterminer le polynôme P(x) de degré 3 tel que :
P(1) = -\dfrac{3}{4}; P(2) = 1 ; P(3) = \dfrac{29}{4} et P(4) = 21.



exercice 1

P(x)=(m^2-4)x^3+(m-2)x^2+x-7\\ P(x)=(m-2)(m+2)x^3+(m-2)x^2+x-7\\ P(x)=(m-2)[(m+2)x^3+x^2]+x-7

\text{Si }m=2   \text{ alors }   m-2 =0   \text{ et }  P(x)=x-7
Le polynôme est de degré 1

\text{Si }m=-2    \text{ alors  }  m+2=0  \text{ et } P(x)=(m-2)x^2+x-7
Le polynôme est de degré 2

\text{Pour tout m appartenant à  }\mathbb{R} \setminus \lbrace-2;2\rbrace  \\ P(x)=(m^2-4)x^3+(m-2)x^2+x-7
Le polynôme est de degré 3

EXERCICE 2


f(x) = 2x3 - 5x + 1
g(x) = 3x4 - 2x2 + 7x - 3

(f+g)(x) = 3x4 + 2x3 - 2x2 + 2x -2


(fog)(x) = f(g(x)) = 2(3x4 - 2x2 + 7x - 3)3 - 5(3x4 - 2x2 + 7x - 3) + 1

détails du développement de (3x4 - 2x2 + 7x - 3)3
rappel (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
on peut poser a = 3x4 - 2x2 = x2(3x2 - 2) et b = 7x - 3, ainsi :

(3x4 - 2x2 + 7x - 3)3 = (3x4 - 2x2)3 + 3(3x4 - 2x2)2(7x - 3) + 3(3x4 - 2x2)(7x - 3)2 + (7x - 3)3

détails du développement de (3x4 - 2x2)3
rappel (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

(3x^4 - 2x^2)^3 = (x^2(3x^2 - 2))^3 = x^6 (3x^2 - 2)^3   = x^6 [ (3x^2)^3 - 3 (3x^2)^2 \times 2 + 3 (3x^2) \times 2^2 - 2^3]  \\\\=  x^6 ( 27x^6 - 6 \times 9x^4 + 12 \times 3x^2 - 8) =  x^6 ( 27x^6 - 54x^4 + 36x^2 - 8) \\\\= 27x^{12} - 54x^{10} + 36x^8 - 8x^6

détails du développement de 3(3x4 - 2x2)2(7x - 3)

3(3x^4 - 2x^2)^2(7x-3) = 3[x^2(3x^2 - 2)]^2(7x-3)  \\\\= 3x^4(3x^2 - 2)^2(7x-3)= 3x^4(9x^4 - 12x^2 + 4)(7x-3)  \\\\ = 3x^4 (63x^5 - 27x^4 - 84x^3 + 36x^2 + 28x - 12) \\\\ = 189x^9 - 81x^8 - 252x^7 + 108x^6 + 84x^5 - 36x^4

détails du développement de 3(3x4 - 2x2)(7x - 3)2

3(3x^4 - 2x^2)(7x-3)^2 = 3x^2(3x^2 - 2)(49x^2 - 42x + 9) \\\\= 3x²(147x^4 - 126x^3 + 27x^2 - 98x^2 + 84x - 18)= 3x²(147x^4 - 126x^3 - 71x^2 + 84x - 18) \\\\= 441x^6 - 378x^5 - 213x^4 + 252x^3 - 54x^2

détails du développement de (7x-3)3

(7x-3)^3 = (7x)^3 - 3(7x)^2\times 3 + 3(7x)\times 3^2 - 3^3 \\\\= 343x^3 - 441x^2 + 189x - 27

on récapitule le développement de (3x4 - 2x2 + 7x - 3)3

=  27x^{12} - 54x^{10} + 189x^9 - 45x^8  - 252x^7 + 541x^6   - 294x^5  - 249x^4  + 595x^3 - 495 x^2 + 189x - 27

on récapitule le développement de(fog)(x) = f(g(x))

= 2(3x^4 - 2x^2) + 7x - 3)^3 - 5(3x^4 - 2x^2 + 7x - 3) + 1  \\\\= 2(27x^{12} - 54x^{10} + 189x^9 - 45x^8  - 252x^7 + 541x^6   - 294x^5  - 249x^4  + 595x^3 - 495 x^2 + 189x - 27) - 5(3x^4 - 2x^2 + 7x - 3) + 1  \\\\= 54x^{12} - 108x^{10} + 378x^9 - 90x^8  - 504x^7 + 1082x^6   - 588x^5  - 498x^4  + 1190x^3 - 790 x^2 + 378x - 54 - 15x^4 + 10x^2 - 35x + 15 + 1  \\\\ = 54x^{12} - 108x^{10} + 378x^9 - 90x^8  - 504x^7 + 1082x^6 - 588x^5  - 513x^4  + 1190x^3  - 980 x^2  + 343x - 38


(2f-3g)(x) = 2f(x) - 3g(x) = 2(2x3 - 5x + 1) - 3(3x4 - 2x3 + 7x - 3) = -9 x4 + 10x3 - 31x + 11


f2(x) = (fof)(x) = f(f(x)) = 2(2x3 - 5x + 1)3 - 5(2x3 - 5x + 1) + 1

détails du développement de 2(2x3 - 5x + 1)3

(2x^3 - 5x + 1)^3 = (2x^3)^3 + 3(2x^3)(1-5x) + 3(2x^3)(1-5x)^2 + (1-5x)^3 \\\\= 8x^9 +  12x^6 - 60x^7 + 6x^3 - 60x^4 + 150x^5 + (1 - 15x + 75x² - 125x^3) \\\\=  8x^9  - 60x^7 +  12x^6 + 150x^5 - 60x^4 - 119x^3 + 75x^2 - 15x + 1

d'où

f(f(x)) = 2(8x^9  - 60x^7 +  12x^6 + 150x^5 - 60x^4 - 119x^3 + 75x^2 - 15x + 1)  -10x^3 + 25x - 4  \\\\= 16x^9  - 120x^7 +  24x^6 + 300x^5 - 120x^4 - 248x^3 + 150x^2 - 5x - 2


EXERCICE 3

f1(x) = (x - 1)2 - 4(2x - 3)(x + 2)2 + 3(x - 4)(x + 2) = x² - 2x + 1 - (8x - 12)(x2 + 4x + 4) + (3x - 12)(x + 2)
= x² - 2x + 1 -(8x3 + 32x2 + 32x - 12x2 - 48x - 48)+ (3x2 + 6x - 12x - 24)
= - 8x3 - 16x2 + 8x + 25
polynôme de degré 3


f2(x) = (2x - 1)3 - 2(2x + 3)(x - 4)2 - 4(x - 1)2(x + 3)
rappel : (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

f2(x) = ((2x)3 - 3(2x)2 + 3(2x) - 1) - (4x+6)(x2- 8x + 16) - (4x+12)(x2 - 2x + 1)
= (8x3 - 12x2 + 6x - 1) - (4x3-32x2+64x + 6x2 - 48x + 96) - (4x3 - 8x2 + 4x + 12x2 - 24x + 12)
= 8x3 - 12x2 + 6x - 1 - 4x3 + 262 - 16x - 96 - 4x3 - 4x2 + 20x - 12
= 10x2 + 10x - 85
polynôme du second degré


f3(x) = (2x3 + 2x - 1) (4x4 + 5x2 + 3) = 8x7 + 10x5 + 6x3 + 8x5 + 10x3 + 6x - 4x4 - 5x2 - 3
= 8x7 + 18x5 - 4x4 + 16x3 - 5x2 + 6x - 3
polynôme de degré 7


EXERCICE 4

Soit P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

P(1) = \dfrac{-3}{4}\quad \Leftrightarrow \quad a + b + c + d = \dfrac{-3}{4}\quad\quad\quad - équation (1)

P(2) = 1 \quad\Leftrightarrow \quad8a + 4b + 2c + d = 1 \quad\quad\quad - équation (2)

P(3) = \dfrac{-29}{4} \quad\Leftrightarrow \quad 27a + 9b + 3c + d = \dfrac{-29}{4}\quad\quad - équation (3)

P(4) = 21 \quad\Leftrightarrow \quad 64a + 16b + 4c + d = 21\quad\quad\quad - équation (4)

on peut résoudre par substitution le système formé par ces 4 équations.

équation (1) \quad \Leftrightarrow d = \dfrac{-3}{4} -a - b - c

équations (1) et (2) \quad \Rightarrow 7a + 3b + c = 1 + \dfrac{3}{4}  \quad\Leftrightarrow \quad c = \dfrac{7}{4} - 7a - 3b \quad
d'où \quad (1)\quad \text{ donne }  \quad d =  \dfrac{-10}{4} + 6a + 2b

équations (1),(2)et(3) \quad \Rightarrow  27a + 9b + 3(\dfrac{7}{4} - 7a - 3b) + (\dfrac{-10}{4} + 6a + 2b) = \dfrac{-29}{4}
\quad \Rightarrow \quad  12a + 2b = \dfrac{9}{2} \quad \Rightarrow \quad   b = \dfrac{9}{4} - 6a

d'où \quad (2)\quad \Rightarrow  \quad c =  -5 + 11a\quad et \quad (1)\quad \Rightarrow    \quad d =  2 - 6a

équations (1), (2), (3) et(4) \quad \Rightarrow  64a + 16(\dfrac{9}{4} - 6a) + 4(-5 + 11a) + 2 - 6a = 21 \quad \Rightarrow \quad  a = \dfrac{1}{2}

Reste à vérifier que les valeurs trouvées sont bien solutions du système proposé.

\text{d'où } a=\dfrac 1 2 \quad  b = \dfrac{-3}{4}  \quad c =  \dfrac{1}{2}\quad et \quad d = -1

P(x) = \dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{3}{4}x^2 + \dfrac{1}{2}x - 1
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