Fiche de mathématiques

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Polynômes : opérations sur les degrés

(exercices relatifs à cette fiche de cours)

exercice 1

Soit m un nombre réel donné. On considère la fonction polynôme définie par:
$P(x)=(m^2-4)x^3+(m-2)x^2+x-7$
Determiner le degré de P selon les valeurs de m.

exercice 2

On donne les fonctions polynômes :
$\left \lbrace \begin{array}{l} f : x \mapsto 2x^{3} - 5x + 1 \\ g : x \mapsto 3x^{4} - 2x^{2} + 7x - 3 \\ \end{array} \right.$
Exprimer $f + g$ , $f.g$ , $2f-3g$ , $f^2$ (= $f . f$ ).

exercice 3

Déterminer le degré et les coefficients des fonctions polynômes suivantes, après les avoir écrites sous forme réduite et ordonnée :
f₁: x $\mapsto$ (x - 1)² - 4(2x - 3)(x + 2)² + 3(x - 4)(x + 2)
f₂: x $\mapsto$ (2x - 1)³ - 2(2x + 3)(x - 4)² - 4(x - 1)²(x + 3)
f₃: x $\mapsto$ (2x³ + 2x - 1)(4x⁴ + 5x² + 3).

exercice 4

Déterminer le polynôme P(x) de degré 3 tel que :
P(1) = $-\dfrac{3}{4}$ ; P(2) = 1 ; P(3) = $\dfrac{29}{4}$ et P(4) = 21.

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exercice 1

$P(x)=(m^2-4)x^3+(m-2)x^2+x-7\\ P(x)=(m-2)(m+2)x^3+(m-2)x^2+x-7\\ P(x)=(m-2)[(m+2)x^3+x^2]+x-7$

$\text{Si }m=2 \text{ alors } m-2 =0 \text{ et } P(x)=x-7$
Le polynôme est de degré 1

$\text{Si }m=-2 \text{ alors } m+2=0 \text{ et } P(x)=(m-2)x^2+x-7$
Le polynôme est de degré 2

$\text{Pour tout m appartenant à }\mathbb{R} \setminus \lbrace-2;2\rbrace \\ P(x)=(m^2-4)x^3+(m-2)x^2+x-7$
Le polynôme est de degré 3

EXERCICE 2

f(x) = 2x³ - 5x + 1
g(x) = 3x⁴ - 2x² + 7x - 3

(f+g)(x) = 3x⁴ + 2x³ - 2x² + 2x -2

(fog)(x) = f(g(x)) = 2(3x⁴ - 2x² + 7x - 3)³ - 5(3x⁴ - 2x² + 7x - 3) + 1

détails du développement de (3x⁴ - 2x² + 7x - 3)³
rappel (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
on peut poser a = 3x⁴ - 2x² = x²(3x² - 2) et b = 7x - 3, ainsi :

(3x⁴ - 2x² + 7x - 3)³ = (3x⁴ - 2x²)³ + 3(3x⁴ - 2x²)²(7x - 3) + 3(3x⁴ - 2x²)(7x - 3)² + (7x - 3)³

détails du développement de (3x⁴ - 2x²)³
rappel (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

$(3x^4 - 2x^2)^3 = (x^2(3x^2 - 2))^3 = x^6 (3x^2 - 2)^3 = x^6 [ (3x^2)^3 - 3 (3x^2)^2 \times 2 + 3 (3x^2) \times 2^2 - 2^3] \\\\= x^6 ( 27x^6 - 6 \times 9x^4 + 12 \times 3x^2 - 8) = x^6 ( 27x^6 - 54x^4 + 36x^2 - 8) \\\\= 27x^{12} - 54x^{10} + 36x^8 - 8x^6$

détails du développement de 3(3x⁴ - 2x²)²(7x - 3)

$3(3x^4 - 2x^2)^2(7x-3) = 3[x^2(3x^2 - 2)]^2(7x-3) \\\\= 3x^4(3x^2 - 2)^2(7x-3)= 3x^4(9x^4 - 12x^2 + 4)(7x-3) \\\\ = 3x^4 (63x^5 - 27x^4 - 84x^3 + 36x^2 + 28x - 12) \\\\ = 189x^9 - 81x^8 - 252x^7 + 108x^6 + 84x^5 - 36x^4$

détails du développement de 3(3x⁴ - 2x²)(7x - 3)²

$3(3x^4 - 2x^2)(7x-3)^2 = 3x^2(3x^2 - 2)(49x^2 - 42x + 9) \\\\= 3x²(147x^4 - 126x^3 + 27x^2 - 98x^2 + 84x - 18)= 3x²(147x^4 - 126x^3 - 71x^2 + 84x - 18) \\\\= 441x^6 - 378x^5 - 213x^4 + 252x^3 - 54x^2$

détails du développement de (7x-3)³

$(7x-3)^3 = (7x)^3 - 3(7x)^2\times 3 + 3(7x)\times 3^2 - 3^3 \\\\= 343x^3 - 441x^2 + 189x - 27$

on récapitule le développement de (3x⁴ - 2x² + 7x - 3)³

$= 27x^{12} - 54x^{10} + 189x^9 - 45x^8 - 252x^7 + 541x^6 - 294x^5 - 249x^4 + 595x^3 - 495 x^2 + 189x - 27$

on récapitule le développement de(fog)(x) = f(g(x))

$= 2(3x^4 - 2x^2) + 7x - 3)^3 - 5(3x^4 - 2x^2 + 7x - 3) + 1 \\\\= 2(27x^{12} - 54x^{10} + 189x^9 - 45x^8 - 252x^7 + 541x^6 - 294x^5 - 249x^4 + 595x^3 - 495 x^2 + 189x - 27) - 5(3x^4 - 2x^2 + 7x - 3) + 1 \\\\= 54x^{12} - 108x^{10} + 378x^9 - 90x^8 - 504x^7 + 1082x^6 - 588x^5 - 498x^4 + 1190x^3 - 790 x^2 + 378x - 54 - 15x^4 + 10x^2 - 35x + 15 + 1 \\\\ = 54x^{12} - 108x^{10} + 378x^9 - 90x^8 - 504x^7 + 1082x^6 - 588x^5 - 513x^4 + 1190x^3 - 980 x^2 + 343x - 38$

(2f-3g)(x) = 2f(x) - 3g(x) = 2(2x³ - 5x + 1) - 3(3x⁴ - 2x³ + 7x - 3) = -9 x⁴ + 10x³ - 31x + 11

f²(x) = (fof)(x) = f(f(x)) = 2(2x³ - 5x + 1)³ - 5(2x³ - 5x + 1) + 1

détails du développement de 2(2x³ - 5x + 1)³

$(2x^3 - 5x + 1)^3 = (2x^3)^3 + 3(2x^3)(1-5x) + 3(2x^3)(1-5x)^2 + (1-5x)^3 \\\\= 8x^9 + 12x^6 - 60x^7 + 6x^3 - 60x^4 + 150x^5 + (1 - 15x + 75x² - 125x^3) \\\\= 8x^9 - 60x^7 + 12x^6 + 150x^5 - 60x^4 - 119x^3 + 75x^2 - 15x + 1$

d'où

$f(f(x)) = 2(8x^9 - 60x^7 + 12x^6 + 150x^5 - 60x^4 - 119x^3 + 75x^2 - 15x + 1) -10x^3 + 25x - 4 \\\\= 16x^9 - 120x^7 + 24x^6 + 300x^5 - 120x^4 - 248x^3 + 150x^2 - 5x - 2$

EXERCICE 3

f₁(x) = (x - 1)² - 4(2x - 3)(x + 2)² + 3(x - 4)(x + 2) = x² - 2x + 1 - (8x - 12)(x² + 4x + 4) + (3x - 12)(x + 2)
= x² - 2x + 1 -(8x³ + 32x² + 32x - 12x² - 48x - 48)+ (3x² + 6x - 12x - 24)
= - 8x³ - 16x² + 8x + 25
polynôme de degré 3

f₂(x) = (2x - 1)³ - 2(2x + 3)(x - 4)² - 4(x - 1)²(x + 3)
rappel : (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

f₂(x) = ((2x)³ - 3(2x)² + 3(2x) - 1) - (4x+6)(x²- 8x + 16) - (4x+12)(x² - 2x + 1)
= (8x³ - 12x² + 6x - 1) - (4x³-32x²+64x + 6x² - 48x + 96) - (4x³ - 8x² + 4x + 12x² - 24x + 12)
= 8x³ - 12x² + 6x - 1 - 4x³ + 26² - 16x - 96 - 4x³ - 4x² + 20x - 12
= 10x² + 10x - 85
polynôme du second degré

f₃(x) = (2x³ + 2x - 1) (4x⁴ + 5x² + 3) = 8x⁷ + 10x⁵ + 6x³ + 8x⁵ + 10x³ + 6x - 4x⁴ - 5x² - 3
= 8x⁷ + 18x⁵ - 4x⁴ + 16x³ - 5x² + 6x - 3
polynôme de degré 7

EXERCICE 4

Soit $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$P(1) = \dfrac{-3}{4}\quad \Leftrightarrow \quad a + b + c + d = \dfrac{-3}{4}\quad\quad\quad -$ équation (1)

$P(2) = 1 \quad\Leftrightarrow \quad8a + 4b + 2c + d = 1 \quad\quad\quad -$ équation (2)

$P(3) = \dfrac{-29}{4} \quad\Leftrightarrow \quad 27a + 9b + 3c + d = \dfrac{-29}{4}\quad\quad -$ équation (3)

$P(4) = 21 \quad\Leftrightarrow \quad 64a + 16b + 4c + d = 21\quad\quad\quad -$ équation (4)

on peut résoudre par substitution le système formé par ces 4 équations.

équation (1) $\quad \Leftrightarrow d = \dfrac{-3}{4} -a - b - c$

équations (1) et (2) $\quad \Rightarrow 7a + 3b + c = 1 + \dfrac{3}{4} \quad\Leftrightarrow \quad c = \dfrac{7}{4} - 7a - 3b \quad$
$d'où \quad (1)\quad \text{ donne } \quad d = \dfrac{-10}{4} + 6a + 2b$

équations (1),(2)et(3) $\quad \Rightarrow 27a + 9b + 3(\dfrac{7}{4} - 7a - 3b) + (\dfrac{-10}{4} + 6a + 2b) = \dfrac{-29}{4}$
$\quad \Rightarrow \quad 12a + 2b = \dfrac{9}{2} \quad \Rightarrow \quad b = \dfrac{9}{4} - 6a$

$d'où \quad (2)\quad \Rightarrow \quad c = -5 + 11a\quad et \quad (1)\quad \Rightarrow \quad d = 2 - 6a$

équations (1), (2), (3) et(4) $\quad \Rightarrow 64a + 16(\dfrac{9}{4} - 6a) + 4(-5 + 11a) + 2 - 6a = 21$ $\quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{1}{2}$

Reste à vérifier que les valeurs trouvées sont bien solutions du système proposé.

$\text{d'où } a=\dfrac 1 2 \quad b = \dfrac{-3}{4} \quad c = \dfrac{1}{2}\quad et \quad d = -1$

$P(x) = \dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{3}{4}x^2 + \dfrac{1}{2}x - 1$

Publié par malou/carita le 15-11-2020

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