Fiche de mathématiques
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Hyperboles

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exercice 1

f est la fonction x \mapsto \dfrac{2}{x} définie sur \mathbb{R}^*.
g est la fonction x \mapsto -x + 3 définie sur \mathbb{R}.
Dans un repère orthonormal (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}), C et D sont les courbes représentant f et g.

1. Tracer les courbes C et D.

2. Démontrer que le point d'abscisse 1 de D appartient à C.
Trouver le second point d'intersection de ces courbes.
indication : Vérifier que x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

3. Vérifier les coordonnées de ces points d'intersection sur le graphique.

4. Construire l'ensemble des points M(x; y) tels que x² y² = 4.

5. Un rectangle a pour aire 2 m² et pour périmètre 6m.
En utilisant le graphique précédent, trouver sa longueur et sa largeur.




exercice 2

Nous allons étudier la fonction f : x \mapsto \dfrac{1}{x^2}.

1. Quel est l'ensemble de définition de f ?

2. Démontrer que f est paire.
Que peut-on en déduire pour l'étude de son sens de variations et pour sa représentation graphique ?

3. Etudier le sens de variation de f sur ]0; +\infty[ à l'aide de vos connaissances sur les fonctions x \mapsto x² et x \mapsto \dfrac{1}{x}

4. Pour x \small \geq 1, comparer \dfrac{1}{x}  \text{ et } \dfrac{1}{x^2} en justifiant la réponse.
En déduire l'étude de f pour les grandes valeurs de x ?
Qu'en déduire graphiquement ?

5. Pour 0 < x \small \leq 1, comparer \dfrac{1}{x}  \text{ et } \dfrac{1}{x^2} en justifiant la réponse.
En déduire l'étude de f pour les petites valeurs de x ?
Qu'en déduire graphiquement ?

6. Dresser le tableau de variation de f et construire sa courbe dans un repère orthonormal, en plaçant quelques points.



exercice 1

1. cf courbe en fin d'exercice.

2. g(1) = 2 et f(1) = 2
D'où : le point de coordonnées (1; 2) appartient à D et à C.
Soit B(x; y) le deuxième point d'intersection de D et C. Ses coordonnées vérifient les équations de C et D, c'est-à-dire que ses coordonnées sont solution du système :
\left \lbrace \begin{array}{l} y  =  -x + 3\\y = \dfrac{2}{x} \\ \end{array} \right. \hspace{25pt} \Longleftrightarrow \hspace{25pt} \lbrace \begin{array}{l} y = -x + 3 \\ -x + 3  =  \dfrac{2}{x} \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} y  =  -x + 3\\y = \dfrac{2}{x} \\ \end{array} \right. \hspace{25pt} \Longleftrightarrow \hspace{25pt} \lbrace \begin{array}{l} y = -x + 3 \\ x^2 - 3x + 2  =  0 \\ \end{array} \right.
Il nous faut donc résoudre l'équation du second degré à une inconnue : x² - 3x + 2 = 0.
Vérifions l'indication donnée : (x - 1)(x - 2) = x² - 2x - x + 2 = x² - 3x + 2.
Ainsi, les solutions de x² - 3x + 2 = 0 sont x = 1 et x = 2.
On trouve alors les points d'intersection : A(1; 2) et B(2; 1).

3. cf graphique.

4. Soit M(x; y) tel que x² y² = 4.
x et y sont non nuls, on peut alors écrire : y^2 = \dfrac{4}{x^2} \text{ ou encore : } y^2 = \left(\dfrac{2}{x}\right)^2.
Alors y = \dfrac{2}{x} \text{ ou } y = -\dfrac{2}{x}.
Ainsi, cet ensemble de points est la réunion de la courbe C et de la courbe obtenue par symétrie d'axe (Oy) (cf graphique).

5. Soient l la longueur de ce rectangle et L sa largeur. On a:
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} l \times L & 2 \\ 2(l + L) & 6\\ \end{array} \right.  \rm~~~~ \Longleftrightarrow \rm~~~~ \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} L & \dfrac{2}{l} \\ L & 3-l \\ \end{array} \right.
Ainsi les points de coordonnées (l; L) sont les points d'intersection de C et D, donc : l = 1 et L = 2 ou l = 2 et L = 1.
deux études d'hyperboles - première : image 1

Légende : bleu turquoise: droite D ; rouge: courbe C ; rose + rouge: ensemble recherché au 4.





exercice 2

1. f(x)=\dfrac{1}{x^2}
La fonction f est définie pour toute valeur telle que le dénominateur ne s'annule pas. Ainsi: x² \neq 0, c'est-à-dire x \neq 0.
Donc Df = \mathbb{R}*.

2. L'ensemble de définition Df de la fonction f est symétrique par rapport à 0.
De plus, pour tout x appartenant à Df : f(-x) = \dfrac{1}{(-x)^2} = \dfrac{1}{x^2}  =f(x)
D'où : la fonction f est paire.
On en déduit que la représentation graphique de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Par conséquent, on peut restreindre l'étude des variations de f à l'intervalle ]0; +\infty[ (on complètera ensuite par symétrie).

3. Ecrivons f comme la composée de deux fonctions.
Soit g la fonction inverse définie sur \mathbb{R}* et h la fonction carrée, définie sur \mathbb{R}.
Alors, pour tout x non nul : f(x) = g \circ h(x) = h \circ g(x)
Sur ]0; +\small \infty[, la fonction inverse est décroissante et la fonction carrée est croissante. La composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante est décroissante, donc f est décroissante sur ]0; +\small \infty[.

4. Si x \small \geq 1 alors x \leq x^2 \text{ et } \dfrac{1}{x} \geq \dfrac{1}{x^2}.
On sait que pour les grandes valeurs de x, 1/x devient tout petit. Comme 1/x² est encore plus petit, alors quand x devient grand, 1/x² s'approche de 0.
Graphiquement, on en déduit que la courbe représentative de f se rapproche de plus en plus de la droite d'équation y = 0 (On dit que la droite d'équation y = 0 est asymptote à la courbe).

5. Si 0 < x \small \leq 1, alors 0 < x² \small \leq x et par conséquent : \dfrac{1}{x^2} \geq \dfrac{1}{x}.
Or pour les petites valeurs de x, 1/x devient très grand et 1/x² encore plus grand. Donc quand x est proche de 0, 1/x² est très très grand, tend vers l'infini.
Graphiquement, la droite d'équation x = 0 est asymptote a la courbe.

6.
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline  x&-\infty&&0&&+\infty\\ \hline  \text{variations}&&\nearrow&||&\searrow&\\ \hline  \end{array}

deux études d'hyperboles - première : image 2

A' et B' sont obtenus comme image de A(1; 1) et B\left(2; \dfrac14\right) par la symétrie d'axe (Oy).
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