f est la fonction x définie sur .
g est la fonction x -x + 3 définie sur .
Dans un repère orthonormal , C et D sont les courbes représentant f et g.
1. Tracer les courbes C et D.
2. Démontrer que le point d'abscisse 1 de D appartient à C.
Trouver le second point d'intersection de ces courbes.
indication : Vérifier que x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
3. Vérifier les coordonnées de ces points d'intersection sur le graphique.
4. Construire l'ensemble des points M(x; y) tels que x² y² = 4.
5. Un rectangle a pour aire 2 m² et pour périmètre 6m.
En utilisant le graphique précédent, trouver sa longueur et sa largeur.
exercice 2
Nous allons étudier la fonction f : x .
1. Quel est l'ensemble de définition de f ?
2. Démontrer que f est paire.
Que peut-on en déduire pour l'étude de son sens de variations et pour sa représentation graphique ?
3. Etudier le sens de variation de f sur ]0; +[ à l'aide de vos connaissances sur les fonctions x x² et x
4. Pour x 1, comparer en justifiant la réponse.
En déduire l'étude de f pour les grandes valeurs de x ?
Qu'en déduire graphiquement ?
5. Pour 0 < x 1, comparer en justifiant la réponse.
En déduire l'étude de f pour les petites valeurs de x ?
Qu'en déduire graphiquement ?
6. Dresser le tableau de variation de f et construire sa courbe dans un repère orthonormal, en plaçant quelques points.
2. g(1) = 2 et f(1) = 2
D'où : le point de coordonnées (1; 2) appartient à D et à C.
Soit B(x; y) le deuxième point d'intersection de D et C. Ses coordonnées vérifient les équations de C et D, c'est-à-dire que ses coordonnées sont solution du système :
Il nous faut donc résoudre l'équation du second degré à une inconnue : x² - 3x + 2 = 0.
Vérifions l'indication donnée : (x - 1)(x - 2) = x² - 2x - x + 2 = x² - 3x + 2.
Ainsi, les solutions de x² - 3x + 2 = 0 sont x = 1 et x = 2.
On trouve alors les points d'intersection : A(1; 2) et B(2; 1).
3. cf graphique.
4. Soit M(x; y) tel que x² y² = 4.
x et y sont non nuls, on peut alors écrire : .
Alors .
Ainsi, cet ensemble de points est la réunion de la courbe C et de la courbe obtenue par symétrie d'axe (Oy) (cf graphique).
5. Soient l la longueur de ce rectangle et L sa largeur. On a:
Ainsi les points de coordonnées (l; L) sont les points d'intersection de C et D, donc : l = 1 et L = 2 ou l = 2 et L = 1.
Légende : bleu turquoise: droite D ; rouge: courbe C ; rose + rouge: ensemble recherché au 4.
exercice 2
1. La fonction f est définie pour toute valeur telle que le dénominateur ne s'annule pas. Ainsi: x² 0, c'est-à-dire x 0.
Donc Df = *.
2. L'ensemble de définition Df de la fonction f est symétrique par rapport à 0.
De plus, pour tout x appartenant à Df : D'où : la fonction f est paire.
On en déduit que la représentation graphique de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Par conséquent, on peut restreindre l'étude des variations de f à l'intervalle ]0; +[ (on complètera ensuite par symétrie).
3. Ecrivons f comme la composée de deux fonctions.
Soit g la fonction inverse définie sur * et h la fonction carrée, définie sur .
Alors, pour tout x non nul : Sur ]0; +[, la fonction inverse est décroissante et la fonction carrée est croissante. La composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante est décroissante, donc f est décroissante sur ]0; +[.
4. Si x 1 alors .
On sait que pour les grandes valeurs de x, 1/x devient tout petit. Comme 1/x² est encore plus petit, alors quand x devient grand, 1/x² s'approche de 0.
Graphiquement, on en déduit que la courbe représentative de f se rapproche de plus en plus de la droite d'équation y = 0 (On dit que la droite d'équation y = 0 est asymptote à la courbe).
5. Si 0 < x 1, alors 0 < x² x et par conséquent : .
Or pour les petites valeurs de x, 1/x devient très grand et 1/x² encore plus grand. Donc quand x est proche de 0, 1/x² est très très grand, tend vers l'infini.
Graphiquement, la droite d'équation x = 0 est asymptote a la courbe.
6.
A' et B' sont obtenus comme image de A(1; 1) et B par la symétrie d'axe (Oy).
Publié par Tom_Pascal
le
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définie sur 
.
.
)
, C et D sont les courbes représentant f et g.
.
[ à l'aide de vos connaissances sur les fonctions x 
1, comparer 
en justifiant la réponse.
1, comparer 
^2)
.
.
 & 6\\ \end{array} \right. \rm~~~~ \Longleftrightarrow \rm~~~~ \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} L & \dfrac{2}{l} \\ L & 3-l \\ \end{array} \right. )
=\dfrac{1}{x^2})
0, c'est-à-dire x  = \dfrac{1}{(-x)^2} = \dfrac{1}{x^2} =f(x))
 = g \circ h(x) = h \circ g(x))
[, la fonction inverse est décroissante et la fonction carrée est croissante. La composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante est décroissante, donc f est décroissante sur ]0; +
.
.
)
par la symétrie d'axe (Oy).Publié par Tom_Pascal
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