Autour des variations des fonctions sinus et cosinus
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Fiche relue en 2016
exercice 1
Sur un même graphique, représenter les fonctions cosinus et sinus.
exercice 2
1. Soit la fonction définie sur R par .
Démontrer que cette fonction est paire et périodique de période .
2. En utilisant les propriétés de la fonction sinus, démontrer que est croissante sur , et dresser le tableau de variations de sur .
3. Tracer la courbe représentative de sur ; puis, en utilisant les propriétés montrées à la question 1. , tracer la courbe représentative de sur .
exercice 3
1. Soit la fonction définie sur R par .
Démontrer que cette fonction est paire et périodique de période .
2. en utilisant les propriétés de la fonction cosinus, démontrer que est décroissante sur , et dresser le tableau de variations de sur .
3. Tracer la courbe représentative de sur ; puis, en utilisant les propriétés montrées à la question 1. , tracer la courbe représentative de sur .
2. La fonction sinus est croissante sur [0,/2] et sur cet intervalle sin(x) est positif, donc sur . On en déduit que est strictement croissante sur [0,/2].
.
3. Comme est paire alors la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées; on trace donc la courbe de sur [0,/2] (en rouge ) puis on trace l'image de cette courbe par la symétrie d'axe (Oy) (en bleu ) ; on obtient donc la courbe représentative de sur [-/2;/2].
En effectuant une translation de la courbe en rouge vers la gauche du fait de la -périodicité, on obtient la courbe en pointillé rouge.
En effectuant la même chose vers la droite avec la courbe en bleu, on obtient la courbe en pointillé bleu
Enfin, est -périodique
donc on translate cette portion de courbe afin d'obtenir la courbe représentative sur
exercice 3
Pour tout réel . Donc est une fonction paire.
. Donc est -périodique.
2. La fonction cosinus est décroissante sur [0,/2] et sur cet intervalle est positif, donc sur . On en déduit que f est strictement décroissante sur [0,/2].
.
3. Comme est paire alors la courbe représentative de est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées; on trace donc la courbe de sur [0,/2] puis on trace l'image de cette courbe par la symétrie d'axe (Oy); on obtient donc la courbe de sur [-/2;/2]. Enfin, est -périodique donc on translate cette portion de courbe
afin d'obtenir la courbe représentative sur
Enfin, est -périodique
donc on translate cette portion de courbe afin d'obtenir la courbe représentative sur
Publié par malou
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définie sur R par 
.
.
est croissante sur ![\left[0; \frac{\pi}{2}\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[0; \frac{\pi}{2}\right])
, et dresser le tableau de variations de ![\left[-\pi; 2\pi\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[-\pi; 2\pi\right])
.
.
![[-\pi; \pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-\pi; \pi])
.
=|\sin x|)
=|\sin (-x)|=|-\sin (x)|=|\sin (x)|=f(x).\; f)
est donc une fonction paire.
 = |\sin (x+\pi)|=|-sin (x)|=|sin (x)|=f(x))
. Donc 
-périodique.
=\sin (x))
sur ![[0;\frac{\pi}{2}]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0;\frac{\pi}{2}])
. On en déduit que 
.
![[-\pi\,;\,2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-\pi\,;\,2\pi])
=|\cos x|)
=|\cos (-x)|=|\cos (x)|=f(x))
. Donc 
est une fonction paire.
 = |\cos (x+\pi)|=|-\cos (x)|=|\cos (x)|=f(x))
. Donc )
est positif, donc =\cos (x))
sur 
.
![[-\pi\,;\,\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-\pi\,;\,\pi])
