Fiche de mathématiques
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Autour des variations des fonctions sinus et cosinus

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Fiche relue en 2016

exercice 1

Sur un même graphique, représenter les fonctions cosinus et sinus.

exercice 2

1. Soit la fonction f définie sur R par x fleche2 |\sin x|.
Démontrer que cette fonction est paire et périodique de période \pi.
2. En utilisant les propriétés de la fonction sinus, démontrer que f est croissante sur \left[0; \frac{\pi}{2}\right], et dresser le tableau de variations de f sur \left[0; \frac{\pi}{2}\right].
3. Tracer la courbe représentative de f sur \left[0; \frac{\pi}{2}\right] ; puis, en utilisant les propriétés montrées à la question 1. , tracer la courbe représentative de f sur \left[-\pi; 2\pi\right].

exercice 3

1. Soit la fonction f définie sur R par x fleche2 |\cos x|.
Démontrer que cette fonction est paire et périodique de période \pi.
2. en utilisant les propriétés de la fonction cosinus, démontrer que f est décroissante sur \left[0; \frac{\pi}{2}\right], et dresser le tableau de variations de f sur \left[0; \frac{\pi}{2}\right].
3. Tracer la courbe représentative de f sur \left[0; \frac{\pi}{2}\right]; puis, en utilisant les propriétés montrées à la question 1. , tracer la courbe représentative de f sur [-\pi; \pi].



exercice 1

Variations autour des fonctions sinus et cosinus : image 5


exercice 2

1. f(x)=|\sin x|
Pour tout réel x\;,\;f(-x)=|\sin (-x)|=|-\sin (x)|=|\sin (x)|=f(x).\; f est donc une fonction paire.

f(x+\pi) = |\sin (x+\pi)|=|-sin (x)|=|sin (x)|=f(x). Donc f est pi-périodique.

2. La fonction sinus est croissante sur [0,pi/2] et sur cet intervalle sin(x) est positif, donc f(x)=\sin (x) sur [0;\frac{\pi}{2}]. On en déduit que f est strictement croissante sur [0,pi/2].

\begin{array}{|c|ccc|}\hline x&0&&\frac{\pi}{2}\\\hline{f }&&\nearrow&1\\&0&&\\ \hline \end{array}.

3. Comme f est paire alors la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées; on trace donc la courbe de f sur [0,pi/2] (en rouge ) puis on trace l'image de cette courbe par la symétrie d'axe (Oy) (en bleu ) ; on obtient donc la courbe représentative de f sur [-pi/2;pi/2].

En effectuant une translation de la courbe en rouge vers la gauche du fait de la pi-périodicité, on obtient la courbe en pointillé rouge.
Variations autour des fonctions sinus et cosinus : image 3


En effectuant la même chose vers la droite avec la courbe en bleu, on obtient la courbe en pointillé bleu

Enfin, f est pi-périodique donc on translate cette portion de courbe afin d'obtenir la courbe représentative sur [-\pi\,;\,2\pi]
Variations autour des fonctions sinus et cosinus : image 2


exercice 3



f(x)=|\cos x|
Pour tout réel x\;,\;f(-x)=|\cos (-x)|=|\cos (x)|=f(x). Donc  f est une fonction paire.

f(x+\pi) = |\cos (x+\pi)|=|-\cos (x)|=|\cos (x)|=f(x). Donc f est pi-périodique.
2. La fonction cosinus est décroissante sur [0,pi/2] et sur cet intervalle \cos (x) est négatif, donc f(x)=-\cos (x) sur [0;\frac{\pi}{2}]. On en déduit que f est strictement croissante sur [0,pi/2].

\begin{array}{|c|ccc|}\hline x&0&&\frac{\pi}{2}\\\hline{f}&&\nearrow&1\\&0&&\\ \hline \end{array}.

3. Comme f est paire alors la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées; on trace donc la courbe de f sur [0,pi/2] puis on trace l'image de cette courbe par la symétrie d'axe (Oy); on obtient donc la courbe de f sur [-pi/2;pi/2]. Enfin, f est pi-périodique donc on translate cette portion de courbe afin d'obtenir la courbe représentative sur [-\pi\,;\,\pi]
Variations autour des fonctions sinus et cosinus : image 1


Enfin, f est pi-périodique donc on translate cette portion de courbe afin d'obtenir la courbe représentative sur [-\pi\,;\,\pi]
Variations autour des fonctions sinus et cosinus : image 4
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