1. On considère la fonction définie sur R par
. a. Démontrer que la fonction est impaire et périodique de périodique
de période . b. En déduire qu'on peut réduire l'ensemble d'étude à l'intervalle . c. Déterminer les variations de la fonction sur cet intervalle. 2. Calculer .
1. a. La fonction étant définie sur R, soit un réel quelconque. On a : .
La fonction est donc impaire. .
La fonction est donc pédiodique de période . b. est périodique de période . On peut donc l'étudier
seulement sur . est impaire. On peut donc l'étudier seulement sur . c. La fonction est dérivable sur R en tant que quotient de fonctions dérivables sur R
dont le dénominateur ne s'annule pas.
Soit un réel de .
Le dénominateur étant strictement positif, a le même signe que .
Or
Par conséquent est strictement croissante sur
et strictement décroissante sur . 2. Il s'agit d'une forme indéterminée.
Or et .
Donc .
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le
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définie sur R par
=\dfrac{\sin x}{2+\cos x})
.
.![[0;\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0;\pi])
.}{4x(\cos x-1)})
.
quelconque. On a : =\dfrac{\sin(-x)}{2+\cos(-x)} = -\dfrac{\sin x}{2+\cos x}=-f(x))
.=\dfrac{\sin(x+2\pi)}{2+\cos(x+2\pi)} = \dfrac{\sin x}{2+\cos x} = f(x))
.![[-\pi;\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-\pi;\pi])
.=&\dfrac{\cos x(2+\cos x)-\sin x \times (-\sin x)}{(2+\cos x)^2} \\\\ &=\dfrac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2} \\\\ &=\dfrac{2\cos x+1}{(2\cos x)^2} \end{array})
)
a le même signe que 
.![\begin{array}{rl} 2\cos x+1 \geqslant 0 &\Leftrightarrow 2\cos x \geqslant -1 \\\\ &\Leftrightarrow \cos x \geqslant -\dfrac{1}{2}\\\\ &\Leftrightarrow x \in \left[0;\dfrac{2\pi}{3}\right] \end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{rl} 2\cos x+1 \geqslant 0 &\Leftrightarrow 2\cos x \geqslant -1 \\\\ &\Leftrightarrow \cos x \geqslant -\dfrac{1}{2}\\\\ &\Leftrightarrow x \in \left[0;\dfrac{2\pi}{3}\right] \end{array})
![\left[0;\dfrac{2\pi}{3}\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[0;\dfrac{2\pi}{3}\right])
et strictement décroissante sur ![\left[\dfrac{2\pi}{3};\pi\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[\dfrac{2\pi}{3};\pi\right])
.}{4x(\cos x-1)} &= \dfrac{3\sin x - \sin(x+2x)}{4x(\cos x-1)} \\\\ &=\dfrac{3\sin x - (\sin x\cos 2x + \cos x \sin 2x)}{4x(\cos x-1)} \\\\ &=\dfrac{3\sin x - \left(\sin x(2\cos^2 x-1) + 2\cos x\sin x \times \cos x\right)}{4x(\cos x -1)} \\\\ &=\dfrac{3\sin x - (2\cos^2 x \sin x- \sin x +2\cos^2 x \sin x)}{4x(\cos x-1)} \\\\ &=\dfrac{\sin x(3 -4\cos^2 x +1)}{4x(\cos x-1)} \\\\ &=\dfrac{4\sin x(1-\cos^2 x)}{4x(\cos x-1)}\\\\ &=\dfrac{\sin x}{x} \times \dfrac{1-\cos^2 x}{\cos x-1}\\\\ &=\dfrac{\sin x}{x} \times \dfrac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{\cos x-1} \\\\ &=\dfrac{\sin x}{x} \times (-1-\cos x) \end{array})
et 
.}{4x(\cos x-1)} = -2)
.