1. a. La fonction

étant définie sur
R, soit un réel

quelconque. On a :
=\dfrac{\sin(-x)}{2+\cos(-x)} = -\dfrac{\sin x}{2+\cos x}=-f(x))
.
La fonction

est donc impaire.
=\dfrac{\sin(x+2\pi)}{2+\cos(x+2\pi)} = \dfrac{\sin x}{2+\cos x} = f(x))
.
La fonction

est donc pédiodique de période

.
b. 
est périodique de période

. On peut donc l'étudier
seulement sur
![[-\pi;\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-\pi;\pi])
.

est impaire. On peut donc l'étudier seulement sur
![[0;\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0;\pi])
.
c. La fonction

est dérivable sur
R en tant que quotient de fonctions dérivables sur
R
dont le dénominateur ne s'annule pas.
Soit

un réel de
![[0;\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0;\pi])
.
=&\dfrac{\cos x(2+\cos x)-\sin x \times (-\sin x)}{(2+\cos x)^2} \\\\ &=\dfrac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2} \\\\ &=\dfrac{2\cos x+1}{(2\cos x)^2} \end{array})
Le dénominateur étant strictement positif,
)
a le même signe que

.
Or
![\begin{array}{rl} 2\cos x+1 \geqslant 0 &\Leftrightarrow 2\cos x \geqslant -1 \\\\ &\Leftrightarrow \cos x \geqslant -\dfrac{1}{2}\\\\ &\Leftrightarrow x \in \left[0;\dfrac{2\pi}{3}\right] \end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{rl} 2\cos x+1 \geqslant 0 &\Leftrightarrow 2\cos x \geqslant -1 \\\\ &\Leftrightarrow \cos x \geqslant -\dfrac{1}{2}\\\\ &\Leftrightarrow x \in \left[0;\dfrac{2\pi}{3}\right] \end{array})
Par conséquent

est strictement croissante sur
![\left[0;\dfrac{2\pi}{3}\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[0;\dfrac{2\pi}{3}\right])
et strictement décroissante sur
![\left[\dfrac{2\pi}{3};\pi\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[\dfrac{2\pi}{3};\pi\right])
.
2. Il s'agit d'une forme indéterminée.
Or

et

.
Donc
}{4x(\cos x-1)} = -2)
.