Fiche de mathématiques
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Exercice sur les fonctions sinus et cosinus

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exercice

1. On considère la fonction f définie sur R par f(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}.
a. Démontrer que la fonction f est impaire et périodique de périodique de période 2\pi.
b. En déduire qu'on peut réduire l'ensemble d'étude à l'intervalle [0;\pi].
c. Déterminer les variations de la fonction sur cet intervalle.
2. Calculer \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3\sin x-\sin(3x)}{4x(\cos x-1)}.






1. a. La fonction f étant définie sur R, soit un réel x quelconque. On a :  f(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{2+\cos(-x)} = -\dfrac{\sin x}{2+\cos x}=-f(x).
La fonction f est donc impaire.
f(x+2\pi)=\dfrac{\sin(x+2\pi)}{2+\cos(x+2\pi)} = \dfrac{\sin x}{2+\cos x} = f(x).
La fonction f est donc pédiodique de période 2\pi.
b. f est périodique de période 2\pi. On peut donc l'étudier seulement sur [-\pi;\pi].
f est impaire. On peut donc l'étudier seulement sur [0;\pi].
c. La fonction f est dérivable sur R en tant que quotient de fonctions dérivables sur R dont le dénominateur ne s'annule pas.
Soit x un réel de [0;\pi]
. \begin{array}{rl} f'(x)=&\dfrac{\cos x(2+\cos x)-\sin x \times (-\sin x)}{(2+\cos x)^2} \\\\ &=\dfrac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2} \\\\ &=\dfrac{2\cos x+1}{(2\cos x)^2} \end{array}
Le dénominateur étant strictement positif, f'(x) a le même signe que 2\cos x+1.
Or
\begin{array}{rl} 2\cos x+1 \geqslant 0 &\Leftrightarrow 2\cos x \geqslant -1 \\\\ &\Leftrightarrow \cos x \geqslant -\dfrac{1}{2}\\\\ &\Leftrightarrow x \in \left[0;\dfrac{2\pi}{3}\right] \end{array}
Par conséquent f est strictement croissante sur \left[0;\dfrac{2\pi}{3}\right] et strictement décroissante sur \left[\dfrac{2\pi}{3};\pi\right].
2. Il s'agit d'une forme indéterminée.
\begin{array}{rl} \dfrac{3\sin x-\sin(3x)}{4x(\cos x-1)} &= \dfrac{3\sin x - \sin(x+2x)}{4x(\cos x-1)} \\\\ &=\dfrac{3\sin x - (\sin x\cos 2x + \cos x \sin 2x)}{4x(\cos x-1)} \\\\ &=\dfrac{3\sin x - \left(\sin x(2\cos^2 x-1) + 2\cos x\sin x \times \cos x\right)}{4x(\cos x -1)} \\\\ &=\dfrac{3\sin x - (2\cos^2 x \sin x- \sin x +2\cos^2 x \sin x)}{4x(\cos x-1)} \\\\ &=\dfrac{\sin x(3 -4\cos^2 x +1)}{4x(\cos x-1)} \\\\ &=\dfrac{4\sin x(1-\cos^2 x)}{4x(\cos x-1)}\\\\ &=\dfrac{\sin x}{x} \times \dfrac{1-\cos^2 x}{\cos x-1}\\\\ &=\dfrac{\sin x}{x} \times \dfrac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{\cos x-1} \\\\ &=\dfrac{\sin x}{x} \times (-1-\cos x) \end{array}
Or \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1 et \lim\limits_{x \to 0}-1-\cos x = -2.
Donc  \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3\sin x-\sin(3x)}{4x(\cos x-1)} = -2.

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