Fiche de mathématiques
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Fonctions sinus et cosinus

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Prérequis :
Les notions de sinus et cosinus sont connues depuis le collège. Tout ce qui a été vu doit donc être su et compris pour pouvoir aborder ce chapitre dans de bonnes conditions. Il est important de connaître les valeurs usuelles des sinus et cosinus.


Enjeu :
Le but de ce chapitre est d'étudier les fonctions sinus et cosinus en fournissant des résultats sur la dérivabilité de ces fonctions, sur des limites utiles et des propriétés graphiques des courbes les représentant. Les sinus et cosinus sont utilisés dans le chapitre sur les nombres complexes ; il faut donc être à l'aise sur les calculs trigonométriques.


1 Quelques rappels sur des formules

En seconde et en 1reS on a vu plusieurs résultats et formules. Voici un résumé de ce qu'il faut connaître. Il est intéressant de savoir retrouver toute cette première série de résultats sur le cercle trigonométrique. Un exemple en est donné pour la formule \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x
Le sinus de x est représenté en bleu (axe des ordonnées, valeur positive ici), le cosinus de \dfrac{\pi}{2}+x est représenté en pointillés bleus (axe des abscisses, valeur négative dans le cas de cet exemple).
Fonctions sinus et cosinus : image 4

Toutes les autres formules de cette première série peuvent être retrouvées de même à l'aide du cercle trigonométrique.
Propriété :

Soit x un réel.

1.-1\leqslant \sin x \leqslant 1\text{ et }-1 \leqslant \cos x\leqslant 1
2. \cos^2 x +\sin^2 x = 1
3. \cos (-x)=\cos x\text{ et }\sin(-x)=-\sin x
4. \cos(\pi-x)=-\cos x\text{ et }\sin(\pi-x)=\sin x
5. \cos(\pi+x)=-\cos x\text{ et }\sin(\pi+x)=-\sin x
6. \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x\text{ et }\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x
7. \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\text{ et }\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x


Il y a également les formules d'addition et de duplication.
Propriété :

Soit a et b deux réels.

1.  \cos(a+b)=\cos a \cos b - \sin a \sin b
2.  \sin(a+b)=\sin a \cos b + \cos a \sin b
3.  \cos(a-b)=\cos a \cos b + \sin a \sin b
4.  \sin(a-b)=\sin a \cos b - \cos a \sin b
5.  \sin(2a)=2\cos a \sin a
6.  \cos(2a)=\cos^2 a-\sin^2 a = 2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a



2 Les fonctions sinus et cosinus

On a défini les années précédentes, le sinus et le cosinus d'un réel x comme l'ordonnée et l'abscisse du point M du cercle trigonométrique associé au réel x.
Cela nous permet de définir les fonctions associées à ces nombres.
Définition :
On appelle fonction sinus la fonction définie sur R qui a tout réel x associe le nombre \sin x.
On appelle fonction cosinus la fonction définie sur R qui a tout réel x associe le nombre \cos x.


Une représentation graphique de ces fonctions est :
Fonctions sinus et cosinus : image 1
Ces représentations graphiques laissent penser qu'il y a une périodicité ainsi que des phénomènes de symétrie.
Définition :

\bullet On dit qu'une fonction f est paire si son ensemble de définition est centré en 0 et que pour tout x de l'ensemble de définition, f(-x)=f(x).

\bullet On dit qu'une fonction f est impaire si son ensemble de définition est centré en 0 et que pour tout x de l'ensemble de définition, f(-x)=-f(x).


Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur R et, pour tout réel x, on a \cos(-x)=\cos x et \sin(-x)=-\sin x, on peut donc dire que :
La fonction sinus est impaire. La courbe représentative est donc symétrique par rapport à l'origine du repère.
La fonction cosinus est paire. La courbe représentative est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Définition :
On dit qu'une fonction f est périodique de période T réel si elle est définie sur R et, pour tout réel x on a f(x+T)=f(x).


On sait que, du fait de la définition des sinus et cosinus d'un nombre, que, pour tout réel x on a \sin(x+2\pi) =\sin x et \cos(x+2\pi)=\cos(x).
Par conséquent, les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période \bold 2\pi \unbold.

3 Dérivation

Nous venons de voir quelques propriétés géométriques des fonctions sinus et cosinus. Les représentations graphiques nous laissent penser que ces fonctions sont dérivables sur R. Montrons le.
Tout d'abord montrons la propriété suivante :
Propriété :

\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1.
\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos x-1}{x} = 0.


Démonstration :
On va dans un premier temps choisir un réel x dans l'intervalle \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[.
On appelle :
\bullet M le point du cercle trigonométrique associé à x;
\bullet C le point d'axe des abscisses d'abscisse \cos x;
\bullet S le point d'axe des ordonnées d'ordonnée \sin x;
\bullet T le point de la demi-droite [OM) tel que OTI soit rectangle en I.
Fonctions sinus et cosinus : image 5
On a donc OC=\cos x, OS=\sin x et OT=\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}.
L'aire du triangle OMI est \dfrac{\sin x}{2}.
L'aire du secteur angulaire \widehat{[IOM]} est \dfrac{x}{2}.
L'aire du triangle OIT est \dfrac{\tan x}{2}.
On a donc \dfrac{\sin x}{2} \leqslant \dfrac{x}{2} \leqslant \dfrac{\tan x}{2} soit  \sin x \leqslant x \leqslant \tan x.
La quantité \sin x étant stristement positive, en passant à l'inverse on obtient \dfrac{1}{\sin x}\geqslant \dfrac{1}{x} \geqslant \dfrac{\cos x}{\sin x} ; puis on multiplie les deux inégalités par \sin x : 1\geqslant \dfrac{\sin x}{x}\geqslant \cos x.
Or \lim\limits_{x \to 0^+} \cos x = 1. D'après le théorème des gendarmes, on a \lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\sin x}{x} = 1. Puisque la fonction sinus est impaire, on a aussi \lim\limits_{x \to 0^-}\dfrac{\sin x}{x} = 1.

Pour pouvoir conclure, il nous reste à montrer que la fonction sinus est continue en 0.
On a vu que  \sin x \leqslant x \leqslant \dfrac{\sin x}{\cos x}
Sur \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[ on a  \sin x>0 donc 0<\sin x <x.
D'après le théorème des gendarmes, on a donc \lim\limits_{x \to 0^+}\sin x = 0.La fonction sinus étant impaire, on a également \lim\limits_{x \to 0^-}\sin x = 0.
Comme \sin 0 = 0 , la fonction sinus est continue en 0.

On sait donc que la fonction sinus est continue en 0 et que \lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\sin x}{x} = 1 et \lim\limits_{x \to 0^-}\dfrac{\sin x}{x} = 1.
Par conséquent \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1.
Voyons maintenant la deuxième limite.
\begin{array}{rl}\dfrac{\cos x -1}{x} &= \dfrac{\left(\cos x - 1\right)\left(\cos x+1\right)}{x\left(\cos x+1\right)} \\\\ &=\dfrac{\cos^2 x -1}{x\left(\cos x+1\right)} \\\\ &=\dfrac{\sin^2 x}{x\left(\cos x+1\right)} \\\\ &=\dfrac{\sin x}{x} \times \dfrac{\sin x}{\cos x+1}  \end{array}
Par conséquent \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos x-1}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} \times \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{\cos x+1} = 1\times 0=0.

Remarque : On peut écrire \dfrac{\sin x}{x} = \dfrac{\sin x - \sin 0}{x - 0}. Il s'agit donc du taux d'accroissement de la fonction sinus en 0. Ainsi \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = \sin'(0)=1

De même \dfrac{\cos x-1}{x}=\dfrac{\cos x-\cos 0}{x-0}. Il s'agit du taux d'accroissement de la fonction cosinus en 0. Ainsi \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos x-1}{x} = \cos'(0)=0
Propriété :

1. La fonction sinus est dérivable sur R et pour tout réel x on a \sin'(x)=\cos x.
2. La fonction cosinus est dérivable sur R et pour tout réel x on a \cos'(x)=-\sin x.


Démonstration :
1. Regardons le taux d'accroissement de la fonction sinus en x. Soit h un réel.
\begin{array}{rl} \dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h} &=\dfrac{\sin x \cos h +\cos x \sin h-\sin x}{h} \\\\ &=\dfrac{\sin x\left(\cos h-1\right)+\cos x \sin h}{h} \\\\ &=\sin x \dfrac{\cos h-1}{h} + \cos x \dfrac{\sin h}{h} \end{array}

Or on a vu que \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\sin h}{h} = 1 et \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\cos h-1}{x} = 0.

Par conséquent : \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \cos x.

2. On procède de la même façon en calculant le taux d'accroissement de la fonction cosinus en x. Soit h un réel.
\begin{array}{rl}\dfrac{\cos(x+h)-\cos x}{h}&=\dfrac{\cos x \cos h-\sin x\sin h - \cos x}{h}\\\\ &=\dfrac{\cos x\left(\cos h-1\right)-\sin x\sin h}{h}\\\\ &=\cos x \dfrac{\cos h-1}{h} - \sin x\dfrac{\sin h}{h} \end{array}

Par conséquent : \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\cos(x+h)-\sin x}{h} = -\sin x.

Remarque : Puisque les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2\pi, on peut étudier ces fonctions sur un intervalle de longueur 2\pi soit par exemple l'intervalle [-\pi;\pi].
Ces fonctions étant respectivement impaire et paire, on peut donc étudier leurs variations sur l'intervalle [0;\pi].
On obtient alors les tableaux de variations suivants :
Fonctions sinus et cosinus : image 2
Remarque : Les fonctions sinus et cosinus étant dérivables sur R on a donc pour tous réels a et b :
La fonction f:x\mapsto \sin(ax+b) est dérivable sur R et f'(x)=a\cos(ax+b).
La fonction g:x\mapsto \cos(ax+b) est dérivable sur R et g'(x)=-a\sin(ax+b).

Voici quelques valeurs usuelles à connaître :
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}}&0&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}&\dfrac{2\pi}{3}&\dfrac{3\pi}{4}&\dfrac{5\pi}{6}&\pi\\ \hline \sin x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}}&0&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}&0\\ \hline \cos x\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}}&1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}&0&-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-1\\ \hline \end{array}
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