Fiche de mathématiques

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Second degré : Signe du trinôme et inéquations dans R

(exercices relatifs à cette fiche de cours)

exercice 1

Cocher la réponse exacte.

I.Comment s'écrivent ces expressions ?

	A	B	C
1. (2x - 1)² - 4(x - 2)²	2(x + 1)²	3(4x - 5)	4(x - 1)(x - 2)
2. 4(x - 1)² - (x - 3)²	(x + 1)(3x - 5)	(x + 1)(x - 7)	3(x + 2)

II. Quel ensemble de solutions admettent ces équations ?

	A	B	C
3. 5x² - 20x = 0	{3 ; 0}	{1 ; -2}	{0 ; 4}
4. 3x² + 27 = 0	{1}	{-3 ; 3}	Ø
5. 9(3x + 5)² - (x - 1)² = 0	{1 ; 3}	$\lbrace -2 ; -\dfrac{7}{5}\rbrace$	{-2 ; -1}
6. 4x² + 4x + 1 = 0	$\lbrace -\dfrac{1}{2}\rbrace$	{1 ; 2}	Ø

III. Quel ensemble de solutions admettent ces inéquations ?

	A	B	C
7. 5x² - 20x $\le$ 0	Ø	[0; 4]	]- $\infty$ ; 2[
8. (2x - 1)² - 4(x - 2)² $\ge$ 0	[1 ; 2]	]- $\infty$ ;3[	$\left [ \dfrac{5}{4} ; +\infty \right [$
9. 4(x - 1)² - (x - 3)² $\ge$ 0	Ø	$\left [ -1 ; \dfrac{5}{3} \right ]$	$\left [ -\infty ; -1 \right ] \cup \left [ \dfrac{5}{3} ; +\infty \right [$
10. x² + 1 $\ge$ 2x	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$ -{1}	]1; + $\infty$ [

exercice 2

Signe
Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de :

1. f₁(x) = 8x² + 8x + 2

2. f₂(x) = 2x² - 3x + 2

3. f₃(x) = -x² -3x + 10
Sans calculer f₃(-7), f₃(1/2), f₃(148), indiquer les signes de ces nombres.

exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

1. 2x² + 7x - 4 $\ge$ 0 ;

2. x² - 15x + 50 < 0 ;

3. 3x² + 20x + 50 > 0 ;

4. $\dfrac{2}{\text{x}-3}+\dfrac{4}{\text{x}-2}\le 0$

exercice 4

Résoudre les inéquations suivantes :
a) x² + 3x - 1 $\ge$ 0
b) x² + x + 1 < 0
c) x² - 10x + 25 $\le$ 0
d) -3x² + 1 $\ge$ 0
e) x² - x $\ge$ 0
f) -x² - 7x + 1 < 0
g) x² - 16 $\le$ 0
h) 8 - x² < 0

exercice 5

Résoudre les inéquations suivantes :
a) (x² - x)(2x + 1) $\ge$ 0
b) $\dfrac{\text{x}^2+\text{x}-2}{\text{x}-9}\le$ 0
c) (x² - 2x - 3) (x² + 2x + 2) < 0
d)(x + 1)(x + 2) $\ge$ (2x + 1)(3x + 1)

exercice 6

Résoudre les systèmes d'inéquations suivants :

1. $\left\lbrace \begin{array}{l} -x^2 + x + 2 > 0\\-4x + 3 \leq 0\end{array}\right.$

2. $\left\lbrace \begin{array}{l} -x^2 + x + 1 > 0\\-2x + 5 < 0\end{array}\right.$

3. $6 \leq 2x^2 - 3x - 3 \leq 17$

exercice 7

Inéquations du second degré
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

1. 2x² - 3x + 2 < 0

2. 8x² + 8x + 2 $\le$ 0

3. -x² -3x + 10 < 0

Voir la correction

exercice 1

Partie I
identité remarquable a²-b² = (a-b)(a+b) ; on factorise
1. (2x-1)² - 4(x-2)² = (2x-1)² - (2(x-2))² = (2x-1-2x+4)(2x-1+2x-4) = 3(4x-5) --> Réponse B
2. 4(x-1)²-(x-3)² = (2(x-1))²-(x-3)² = (2x-2-x+3)(2x-2+x-3)= (x+1)(3x-5) --> Réponse A

Partie II
Il ne s'agit pas ici de rédiger la résolution des équations, mais de choisir judicieusement la solution parmi celles proposées.
3. 5x² - 20x = 0 par calcul mental :
0 est racine évidente, on élimine la réponse B
3 n'est pas racine, mais 5*4² - 20*4 = 80-80=0 --> Réponse C

4. 3x² + 27 = 0
on sait qu'un carré est toujours positif, quel que soit x
la somme de 27 et d'un nombre positif ou nul ne sera jamais nulle --> Réponse C

5. identité remarquable a²-b² = (a-b)(a+b) ; on factorise :
(3(3x+5))² - (x-1)² = (9x+15-x+1)(9x+15+x-1) = (8x+16)(10x+14) = 16(x+2)(5x+7)
on résout l'équation produit nul par calcul mental : racines -2 et -7/5 --> Réponse B

6. identité remarquable de type (a+b)²
(2x+1)² racine double -1/2 --> Réponse A

Partie III
7. 5x²-20x infegal

0 ; a = 5 , b = -20 , c = 0 --> Réponse B
les valeurs strictement négatives de x ne conviennent pas car -20x serait alors positif, et 5x² étant toujours positif (carré), la somme serait positive : la réponse C ne donc convient pas.
par calcul mental, on vérifie que 0 et 4 sont racines de 5x²-20x.
d'après la règle du signe du trinôme, 5x²-20x est du signe de -a (négatif) à l'intérieur des racines, donc -->réponse B.

8. on récupère la factorisation de la question 1)
l'inéquation est donc équivalente à 3(4x-5) supegal

0, elle-même équivalente à 4x-5 supegal

0. Fonction affine de racine 5/4
d'après la règle du signe d'une fonction affine, 4x-5 est positif après 5/4. -->Réponse C

9.' on récupère la factorisation de la question 2.
l'inéquation est donc équivalente à (x+1)(3x-5) supegal

0, dont les racines sont -1 et 5/3, et le coefficient a du trinôme factorisé est 3>0.
d'après la règle du signe du trinôme, (x+1)(3x-5) est positif à l'extérieur des racines.--> Réponse C

10. (x-1)² supegal

0
un carré est toujours positif (ou nul), tout réel est solution -->Réponse A

exercice 2

1. $\Delta$ = 0 donc 8x² + 8x + 2 est du signe de a donc 8x² + 8x + 2 est positif ou nul

2. $\Delta$ < 0 donc 2x² - 3x + 2 est strictement du signe de a donc 2x² - 3x + 2 est positif.

3. $\Delta$ > 0 donc -x² -3x + 10 est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de - a à l'intérieur.
Or -x² -3x + 10 admet comme racines 2 et - 5
Donc -x² -3x + 10 > 0 lorsque x appartient à ]-5 ;2[
-x² -3x + 10 < 0 lorsque x appartient à ] - $\infty$ ; -5[ $\cup$ ]2 ; + $\infty$ [
-x² -3x + 10 = 0 lorsque x = -5 ou x = 2
f₃(-7) < 0 , f₃(1/2)> 0 et f₃(148) < 0

exercice 3

1. $2x²+7x-4 \ge 0$
On cherche les racines : $\Delta=b²-4ac=7²-4(2)(-4)=81=9²$ doù 2 racines distinctes

$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7-9}{4}=-4$ et $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7+9}{4}=\dfrac 1 2$

D'après la règle du signe d'un trinôme, $2x²+7x-4$ est positif à l'extérieur des racines d'où $S= \left]-\infty ; -4\right]\cup \left[\dfrac 1 2 ; +\infty\right[$

2. $x²-15x+50 < 0$
On recherche les racines : $\Delta = b²-4ac=15²-4(1)(50)=25=5²$ d'où $x_1=5 \text{ et } x_2=10$
D'après la règle du signe d'un trinôme, $x²-15x+50$ est négatif entre les racines soit S=]5 ; 10[.

3. $3x² + 20x + 50 > 0$ On recherche la valeur du discriminant.
$\Delta = 20²-4(3)(50=-200 < 0$ Ce polynôme n'admet pas de solution. Il est donc toujours du signe du coefficient de x² soit +3. Donc toujours strictement positif et S = R

- 4. $\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{4}{x-2}\le 0$

L'inéquation est définie sur R \ { 2 ; 3}
On réduit au même dénominateur et on réduit :

$\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{4}{x-2}\le 0$

$\dfrac{2(x-2)+4(x-3)}{(x-3)(x-2)}\le 0$

$\dfrac{2(3x-8)}{(x-3)(x-2)}\le 0$

le numérateur s'annule pour 8/3

On construit le tableau de signes : $\begin{array} {|c|cccccccccc|} x & -\infty & & 2 & & \frac 8 3 & & 3 & & +\infty & \\ \hline {3x-8} & & - & | & - & 0 & + & | & + & & \\ {(x-2)(x-3)} & & + &0 & -&| & - & 0&+& & \\ {\text{quotient}}&&-&||&+&0&-&||&+&& \\ \hline \end{array}$
D'où l'ensemble solution est : S=]- infini

; 2[

]8/3 ; 3[
remarque : par les crochets tournés vers l'extérieur, on exclut les valeurs 2 et 3 qui sont des valeurs interdites, et on exclut 8/3 de l'intervalle car l'inéquation impose "strictement négatif"

exercice 4

a) $S = \left]-\infty; -\frac{3 - \sqrt{13}}{2}\right] \cup \left[\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}; + \infty\right[$

b) S = $\emptyset$

c) S = {5}

d) $S = \left[-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$

e) $S = ]-\infty; 0] \cup [1; +\infty[$

f) $S = \left]-\infty; -\frac{7 + \sqrt{53}}{2}\right[ \cup \left]\frac{-7+\sqrt{53}}{2}; + \infty\right[$

g) S = [-4; 4]

h) $S = ]-\infty; -2\sqrt{2}[ \cup ]2\sqrt{2}; +\infty[$

exercice 5

a) Pour tout réel $x$ , $(x^2 - x)(2x + 1) = x(x - 1)(2x + 1)$
$\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCCC|} \hline x & -\infty & & -\frac{1}{2} & & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline x & & - & \barre{} & - & \barre{0} & + & \barre{} & + & \\ \hline x - 1 & & - & \barre{} & - & \barre{} & - & \barre{0} & + & \\ \hline 2x + 1 & & - & \barre{0} & + & \barre{} & + & \barre{} & + & \\ \hline (x^2 - x)(2x + 1) & & - & \barre{0} & + & \barre{0} & - & \barre{0} & + & \\ \hline \end{tabvar}$
$S = \left[-\dfrac{1}{2} ; 0\right] \cup \left[1; +\infty\right[$
b)
$S = \left]-\infty; -2\right] \cup \left[1; 9\right[$
c)
S = ]-3; -2] $\cup$ [1; 3[
...

exercice 6

1.
$\left\lbrace \begin{array}{l} -x^2+x+2>0\\ -4x+3 \leq 0\end{array}\right.$
Cherchons les racines de $-x^2 + x + 2$ :
$\Delta = 1^2 - 4 \times (-1) \times 2 = 9$ , donc :
$x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{9}}{2 \times (-1)} = 2 \text{ et } x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{9}}{2 \times (-1)} = -1$ . D'où :
$\left\lbrace \begin{array}{l} -x^2+x+2>0\\ -4x+3 \leq 0\end{array}\right.\\ \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} -(x+1)(x-2) > 0\\ -4x+3 \leq 0 \end{array}\right.\\ \begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x&-\infty& &-1& &\dfrac{3}{4}& &2& &+\infty \\ \hline (x+1)& &-&0&+ & &+& & + &\\ (x-2)& &-& &- & &-& 0& + &\\ \hline -(x+1)(x-2)& &-&0 &+ & &+& 0& - &\\ \hline (-4x+3)& &+& &+ & 0&-& & - &\\ \hline \end{array}$
D'où : $\mathcal{S} = \left[\dfrac{3}{4}; 2\right[$

2.
$\left\lbrace \begin{array}{l} -x^2 + x + 1 > 0\\ -2x+5 < 0\end{array}\right.$
Cherchons les racines de $-x^2 + x + 1$ :
$\Delta = 1^2 - 4 \times (-1) \times 1 = 5$ , donc :
$x_1 = \dfrac{-1-\sqrt{5}}{-2} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \text{ et } x_2 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$ . D'où :
$\left\lbrace \begin{array}{l} -x^2 + x + 1 > 0\\ -2x+5 < 0\end{array}\right.\\ \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} -\left(x - \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x - \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right) > 0 \\ -2x + 5 < 0\end{array}\right.$

$\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x&-\infty& &\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}& &\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}& &\dfrac{5}{2}& &+\infty \\ \hline \left(x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)& &-&0&+ & &+& & +&\\ \left(x-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)& &-& &- & 0&+& & +&\\ \hline -\left(x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)& &-& 0&+ & 0&-& & -&\\ \hline (-2x+5)& &+& &+ & &+&0 & -&\\ \hline \end{array}$
D'où : $\mathcal{S} = \emptyset$

3.
$6 \leq 2x^2-3x-3 \leq 17\\ \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} 2x^2 - 3x - 3 \geq 6 \\ 2x^2 - 3x - 3 \leq 17\end{array}\right.\\ \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} 2x^2-3x-3-6 \geq 0 \\ 2x^2-3x-3-17 \leq 0\end{array}\right.\\ \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} 2x^2-3x-9 \geq 0 \\ 2x^2-3x-20 \leq 0\end{array}\right.$
Factorisons $2x^2 - 3x - 9$ :
$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-9) = 81 = 9^2$ , donc :
$x_1 = \dfrac{3 - 9}{4} = \dfrac{-3}{2} \text{ et } x_2 = \dfrac{3 + 9}{4} = 3$
D'où : $2x^2 - 3x - 9 = 2\left(x + \dfrac{3}{2}\right)(x - 3)$

Factorisons $2x^2 - 3x - 20$ :
$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-20) = 169 = 13^2$ , donc :
$x_1 = \dfrac{3 - 13}{4} = -\dfrac{5}{2} \text{ et } x_2 = \dfrac{3 + 13}{4} = 4$
D'où : $2x^2 - 3x - 20 = 2\left(x + \dfrac{5}{2}\right)(x - 4)$

D'où :
$\left\lbrace \begin{array}{l} 2x^2-3x-9 \geq 0 \\ 2x^2-3x-20 \leq 0\end{array}\right.\\ \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} 2\left(x + \dfrac{3}{2}\right)(x-3) \ge 0 \\ 2\left(x+\dfrac{5}{2}\right)(x-4) \le 0\end{array}\right.\\ \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} \left(x+\dfrac{3}{2}\right)(x-3) \ge 0 \\ \left(x+\dfrac{5}{2}\right)(x-4) \le 0\end{array}\right.$

$\begin{array}{|c|ccccccccccc|} \hline x&-\infty& &\dfrac{-5}{2}& &\dfrac{-3}{2}& &3& &4& &+\infty \\ \hline \left(x+\dfrac{3}{2}\right)& &-& &- &0 &+& & +& &+&\\ (x-3)& &-& &- & & -& 0&+& & +&\\ \hline \left(x+\dfrac{3}{2}\right)(x-3)& &+& & + &0 &-&0 & +& &+&\\ \hline \left(x+\dfrac{5}{2}\right)& &-&0 &+ & &+& & +& &+&\\ (x-4)& &-& &- & &-& & -& 0&+&\\ \hline \left(x+\dfrac{5}{2}\right)(x-4)& &+&0 &- & &-& & -& 0&+&\\ \hline \end{array}$
D'où : $\mathcal{S} = \left[ -\dfrac{5}{2} ; - \dfrac{3}{2} \right] \cup \left[3 ; 4 \right]$

exercice 7

1. $\Delta$ < 0 donc 2x² - 3x + 2 est strictement du signe de a donc 2x² - 3x + 2 est positif. Donc $S=\emptyset$

2. $\Delta$ = 0 donc 8x² + 8x + 2 est du signe de a donc 8x² + 8x + 2 est positif ou nul. Donc $S=\left\lbrace-\dfrac{1}{2}\right\rbrace$

3. $\Delta$ > 0 donc -x² -3x + 10 est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de - a à l'intérieur.
Or -x² -3x + 10 admet comme racines 2 et - 5.Donc $S= ]-\infty ; -5[ \cup ]2 ; +\infty[$

Publié par malou/carita le 03-11-2020

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