Fiche de mathématiques
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Les Fonctions Polynômes : Exercices

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exercice 1

Cocher la réponse exacte.

I.Comment s'écrivent ces expressions ?
  A B C
1. (2x - 1)² - 4(x - 2)² 2(x + 1)² 3(4x - 5) 4(x - 1)(x - 2)
2. 4(x - 1)² - (x - 3)² (x + 1)(3x - 5) (x + 1)(x - 7) 3(x + 2)


II. Quel ensemble de solutions admettent ces équations ?
  A B C
3. 5x² - 20x = 0 {3 ; 0} {1 ; -2} {0 ; 4}
4. 3x² + 27 = 0 {1} {-3 ; 3} Ø
5. 9(3x + 5)² - (x - 1)² = 0 {1 ; 3} \lbrace -2 ; -\dfrac{7}{5}\rbrace {-2 ; -1}
6. 4x² + 4x + 1 = 0 \lbrace -\dfrac{1}{5}\rbrace {1 ; 2} Ø


III. Quel ensemble de solutions admettent ces inéquations ?
  A B C
7. 5x² - 20x \le 0 Ø [0; 4] ]-\infty; 2[
8. (2x - 1)² - 4(x - 2)²\ge0 [1 ; 2] ]-\infty;3[ \left [ \dfrac{5}{4} ; +\infty \right [
9. 4(x - 1)² - (x - 3)² \ge 0 Ø \left [ -1 ; \dfrac{5}{3} \right ] \left [ -\infty ; -1 \right ] \cup \left [ \dfrac{5}{3} ; +\infty \right [
10. x² + 1 \ge 2x \mathbb{R} \mathbb{R}-{1} ]1; +\infty[




exercice 2

Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions polynômes ?

1. f: x \mapsto 4x^2 + x + 1 ;

2. g: x \mapsto \dfrac{x^2 - 6x + 9}{x-3} ;

3. h: x \mapsto \sqrt{x^2+4x} .



exercice 3

Déterminer le degré et les coefficients des fonctions polynômes suivantes, après les avoir écrites sous forme réduite et ordonnée :
f1: x \mapsto (x - 1)² - 4(2x - 3)(x + 2)² + 3(x - 4)(x + 2)
f2: x \mapsto (2x - 1)3 - 2(2x + 3)(x - 4)² - 4(x - 1)²(x + 3)
f3: x \mapsto (2x3 + 2x - 1)(4x4 + 5x² + 3).



exercice 4

On donne les fonctions polynômes :
\left \lbrace \begin{array}{l} f : x \mapsto 2x^{3} - 5x + 1 \\ g : x \mapsto 3x^{4} - 2x^{2} + 7x - 3 \\ \end{array} \right.
Exprimer f + g, f.g, 2f-3g, f^2 (= f . f ).



exercice 5

Un texte de devoir est mal écrit, et les coefficients en x3 et en x d'une fonction polynôme ont été effacés. On ne voit que p(x) = x4 + ...x3 - 2x² + ...x - 3.
La première question du problème est : vérifier que -1 et 3 sont racines de la fonction polynôme p.
Comment retrouver les coefficients effacés ?



exercice 6

Soit les fonctions polynômes :
\left \lbrace \begin{array}{l} p(x) = x^{4} - 6x^{3} + 19x^{2} - 25x + 24 \\ q(x) = (ax^{2} + bx + c)^{2} + dx + e \\ \end{array} \right.
Quels sont les réels a, b, c, d, e tels que p et q soient égales ?



exercice 7

Discriminant réduit
Soit l'équation ax² - 2b'x + c = 0 et soit \delta' = b'² - ac.
En utilisant les résultats de cours, discuter suivant le signe de \delta' le nombre de solutions, et, lorsqu'elles existent, exprimer celles-ci en fonction de \delta', a et b'.



exercice 8

1. Soit p: x \mapsto x3 - 3x² - 13x +15.
Chercher une racine évidente de p, puis résoudre dans \mathbb{R} l'équation p(x) = 0.

2. Soit p: x \mapsto 4x3 - 8x² - 47x + 105. Calculer p(3) et en déduire la résolution dans \mathbb{R} de l'équation p(x)=0.

3. Même travail avec p: x \mapsto x3 + 7x² + 12x + 10 et p(-5).

4. Soit p: x \mapsto 9x4 - 12x3 - 83x² - 50x - 8. Calculer p(4) et en déduire une première factorisation de p(x). Chercher une racine évidente de p, puis résoudre p(x) = 0.



exercice 9

Résoudre dans \mathbb{R} les équations :
7x² - 12x + 5 = 0       et       7x² + 12x + 5 = 0.

Comparer les solutions des deux équations.
Ne pouvait-on pas prévoir ce résultat ?



exercice 10

Trouver trois entiers consécutifs dont la somme des carrés est 509.



exercice 11

Résoudre dans \mathbb{R} les équations suivantes :

1. x4 - 2x² - 8 = 0 ;

2. 3x4 - 11x² + 6 = 0 ;

3. 2 x + 5 \sqrt{\text{x}} - 3 = 0 ;

4. \dfrac{1}{\text{x}+4}-\dfrac{3}{3\text{x}-5}=\dfrac{7}{10-7\text{x}}+\dfrac{3}{3\text{x}+20}.



exercice 12

Le nombre d'or est la solution positive de l'équation x^2 - x - 1 = 0 ; on le note \varphi.

1. Déterminer la valeur exacte de \varphi.

2. Montrer que \varphi^5  = 5\varphi + 3 et que \dfrac{1}{\varphi^2} = 2 - \varphi.



exercice 13

Résoudre dans \mathbb{R} les inéquations suivantes :

1. 2x² + 7x - 4 \ge 0 ;

2. x² - 15x + 50 < 0 ;

3. 3x² + 20x + 50 > 0 ;

4. \dfrac{2}{\text{x}-3}+\dfrac{4}{\text{x}-2}\le 0



exercice 14

Résoudre dans \mathbb{R} le système : \left \lbrace \begin{array}{l} x+y=15 \\ xy=56 \\ \end{array} \right.
En déduire les solutions du système : \left \lbrace \begin{array}{l} x-y=15 \\ xy=-56 \\ \end{array} \right.



exercice 15

La somme des âges de deux amis est 53 ans. Dans cinq ans, le produit de leurs âges sera 990.
Quels sont leurs âges ?



exercice 16

Quelles sont les dimensions d'une boîte parallélépipédique à base carrée dont le volume est V = 1 875 cm3 et telle que la surface de carton employée est S = 950 cm². (On se ramènera à une équation du troisième degré dont on cherchera une racine évidente.)
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