Fiche de mathématiques
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Polynômes du second degré

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exercice 1

On cherche à résoudre le système : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x + y  &  5 \\ x^2 + y^2  &  13 \\ \end{array} \right.

1. Déterminer une équation du second degré vérifiée par x.

2. Résoudre cette équation, et déterminer toutes les solutions du système.



exercice 2

deco
Un bateau descend une rivière d'une ville A à une ville B, les deux villes étant distantes de 75 km, puis revient à la ville A.
La vitesse propre du bateau, inconnue, est notée v ; la vitesse du courant est 5 km.h-1. La durée totale du déplacement (aller de A à B et retour, temps d'arrêt éventuel en B non compris) est de 8 h. Pour calculer la vitesse propre du bateau, répondre aux questions suivantes :

1. Exprimer, en fonction de v, la vitesse du bateau par rapport à la rive à l'aller puis au retour.

2. Exprimer, en fonction de v, la durée du trajet à l'aller puis au retour.

3. Calculer la vitesse propre du bateau



exercice 3

deco
Un grossiste achète un certain nombre d'appareils photos pour un montant total de 21 600 €. S'il en prend 30 de plus, le vendeur lui aurait accordé une réduction de 20 € par appareil et il lui en aurait coûté 2 400 € de plus.
Combien d'appareils ont été achetés par le grossiste et quel est le prix d'un appareil ?



exercice 1

1.
 \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x+y & 5 \\  x^2+y^2 & 13 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 5-x \\  x^2+y^2 & 13 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 5-x \\  x^2+(5-x)^2 & 13 \\ \end{array} \right.
 \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 5-x \\  x^2+25-10x+x^2 & 13 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 5-x \\  2x^2-10x+25-13 & 0 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 5-x \\  2x^2-10x+12 & 0 \\ \end{array} \right.
L'équation du second degré cherchée est : 2x^2 - 10x + 12 = 0

2. Résolvons cette équation 2x^2-10x+12 = 0 :
\Delta = b^2 - 4 \times a \times c\\ \Delta = (-10)^2 - 4 \times 2 \times 12 = 100 - 96 = 4
Comme \Delta > 0, il existe donc deux solutions :
\begin{array}{lcl} x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\times a} & \hspace{30pt} & x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\times a}\\ x_1 = \dfrac{-(-10)-\sqrt{4}}{2\times 2} && x_2 = \dfrac{-(-10)+\sqrt{4}}{2\times2}\\ x_1 = \dfrac{10-2}{4} && x_2 = \dfrac{10+2}{4}\\ x_1 = 2&& x_2 = 3\\ \end{array}
Cherchons à présent les solutions du système \left\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x+y & 5 \\  x^2+y^2 & 13\right. \\ \end{array} \right. :
Si x_1 = 2, alors y_1 = 5 - x_1 = 5 - 2 = 3,
et si x_2 = 3, alors y_2 = 5 - x_2 = 5 - 3 = 2
Les solutions du système sont donc les couples (2; 3) et (3; 2).



exercice 2

1. Vitesse à l'aller : (v + 5)
Vitesse au retour : (v-5)

2. Durée du trajet à l'aller : \dfrac{75}{v+5}
Durée du trajet au retour : \dfrac{75}{v-5}

3. La durée totale étant de 8 h, on peut écrire : \dfrac{75}{v + 5} + \dfrac{75}{v - 5} = 8
\Longleftrightarrow 75(v - 5) + 75(v + 5) = 8(v - 5)(v + 5)\\ \Longleftrightarrow 75v - 375 + 75v + 375 = 8(v^2-25)\\ \Longleftrightarrow 150v = 8v^2 - 200\\ \Longleftrightarrow 8v^2 - 150v - 200 = 0
\Delta = b^2 - 4ac = (-150)^2 - 4 \times 8 \times (-200) = 22\,500 + 6\,400 = 28\,900 = 170^2
L'équation admet deux solutions :
\begin{array}{lll} v_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} &\hspace{30pt} & v_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ v_1 = \dfrac{150 - 170}{16} = -1,25 & &  v_2 = \dfrac{150+170}{16} = 20 \\ \end{array}
La vitesse ne pouvant être négative, la vitesse propre du bateau est de 20 km.h-1.



exercice 3

Soit x le nombre d'appareils et y le prix d'un appareil.
On obtient le système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} xy  &  21\,600 \\ (x + 30)(y - 20)  &  21\,600 + 2\,400 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  \dfrac{21\,600}{x} \\ (x + 30)\left(\dfrac{21\,600}{x} - 20\right)  &  24\,000 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  \dfrac{21\,600}{x} \\  \dfrac{21\,600x}{x} - 20x + \dfrac{21\,600 \times 30}{x} - 600  &  24\,000 \\ \end{array} \right.
 \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  \dfrac{21\,600}{x} \\   21\,600 - 20x + \dfrac{648\,000}{x} - 24\,600  &  0 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  \dfrac{21\,600}{x} \\  -20x^2 - 3\,000x + 648\,000  &  0 \\ \end{array} \right.
\Delta = (-3\,000)^2 - 4 \times (-20) \times 648\,000 = 60\,840\,000 = 7\,800^2
L'équation admet deux solutions :
\begin{array}{lll} x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} & \hspace{30pt} & x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_1 = \dfrac{3\,000 - 7\,800}{-40} = 120 & & x_2 = \dfrac{3\,000 + 7\,800}{-40} = -270 \\ \end{array}
Le nombre d'appareils est donc de 120 (puisqu'il doit être positif).
Le prix d'un appareil est : y = \dfrac{21\,600}{x} = \dfrac{21\,600}{120} = 180

Conclusion : 120 appareils à 180 € pièce ont été achetés par le grossiste.
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