Fiche de mathématiques

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Second degré : mise en équation

(exercices relatifs à cette fiche de cours)

exercice 1

Un touriste se déplace dans un métro en utilisant un tapis roulant de 300 m de longueur, dont la vitesse de translation est 4 km.h^-1. Il envisage de réaliser la performance suivante : notant A et B les extrémités du tapis, il parcourt ce tapis de A à B dans le sens du déplacement du tapis puis revient en A sans s'arrêter en B, sa vitesse restant constante. Le retour a lieu 10 min 48 s après le départ en A.
Quelles sont les vitesses du touriste à l'aller et au retour.

exercice 2

Déterminer un nombre N de deux chiffres tel que la somme des deux chiffres soit 12 et le produit de N par le nombre N' obtenu en inversant l'ordre des chiffres soit 4 275.

exercice 3

Une entreprise cherche à doubler en deux ans la production d'un produit qu'elle vient de commercialiser.
Quel doit être le taux annuel d'augmentation de sa production pour réaliser cet objectif ?

exercice 4

Une somme de 12 000 ? est à partager entre n personnes.
S'il y avait eu 4 personnes de moins, chaque personne aurait touché 1 500 ? de plus.
Combien y a-t-il de personnes ?

exercice 5

Un bateau descend une rivière d'une ville A à une ville B, les deux villes étant distantes de 75 km, puis revient à la ville A.
La vitesse propre du bateau, inconnue, est notée v ; la vitesse du courant est 5 km.h^-1. La durée totale du déplacement (aller de A à B et retour, temps d'arrêt éventuel en B non compris) est de 8 h. Pour calculer la vitesse propre du bateau, répondre aux questions suivantes :

1. Exprimer, en fonction de v, la vitesse du bateau par rapport à la rive à l'aller puis au retour.

2. Exprimer, en fonction de v, la durée du trajet à l'aller puis au retour.

3. Calculer la vitesse propre du bateau

exercice 6

Quelles sont les dimensions d'une boîte parallélépipédique à base carrée dont le volume est V = 1 875 cm³ et telle que la surface de carton employée est S = 950 cm². (On se ramènera à une équation du troisième degré dont on cherchera une racine évidente.)

exercice 7

Le livre de mathématiques de première S a la forme d'un parallélépipède rectangle d'arêtes de longueurs a, b et c. Son volume vaut V = 792 cm³, la somme des aires de ses faces vaut S = 954 cm² et la somme des longueurs de ses arêtes vaut P = 170 cm.
Retrouver les dimensions du livre (on pourra développer le polynôme Q(x) = (x - a)(x - b)(x - c) et trouver l'épaisseur du livre comme racine évidente de Q).

exercice 8

Soient A, B, C trois villes telles que : d(A, B) = d(B, C). Deux voitures se rendent de A à C en passant par B.
La première va à la vitesse v de A à B, puis deux fois plus vite ensuite.
La deuxième va de A à B à 48 km/h de moyenne, puis roule à la vitesse (v + 20) entre B et C.
Les deux voitures mettent le même temps : calculer v.

Voir la correction

exercice 1

Soit v la vitesse de marche en km.h^-1 du touriste.
Aller (A $\rightarrow$ B) : v_a = v + 4
Le temps mis à l'aller est : $t_1 = \dfrac{0,3}{v+4}$
Retour (B $\rightarrow$ A) : v_b = v - 4
Le temps mis au retour est : $t_2 = \dfrac{0,3}{v - 4}$
Temps total (A $\rightarrow$ B $\rightarrow$ A): t = $t_1 + t_2 = \dfrac{0,3}{v+4} + \dfrac{0,3}{v-4}$
Or, t = 10 min 48 s equivaut

t = 0,18 heure, donc :
$\dfrac{0,3}{v+4} + \dfrac{0,3}{v-4} = 0.18\\ \Longleftrightarrow \dfrac{0,3}{v-4} + \dfrac{0,3}{v+4} = 0,18(v - 4)(v + 4)\\ \Longleftrightarrow 0,3v - 1,2 + 1,2 + 0,3v = 0,18v^2 - 2,88\\ \Longleftrightarrow 0,18v^2 - 0,6v - 2,88 = 0$
Or, $\Delta = b^2 - 4ac = (-0,6)^2 - 4\times 0,18 \times (-2,88) = 2,4336 = 1,56^2$ , donc :
$\begin{array}{lcl} v_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} & \hspace{30pt} & v_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ v_1 = \dfrac{0,6 - 1,56}{0,36} & & v_2 = \dfrac{0,6 + 1,56}{0,36}\\ v_1 = -\dfrac{8}{3} & & v_2 = 6 \end{array}$
La vitesse étant obligatoirement positive, le touriste marche à 6 km.h^-1

exercice 2

Soient $x$ le chiffre des unités et $y$ le chiffre des dizaines.
La somme des deux chiffres est égal à 12, donc $x + y = 12$
Le produit de N par N' est égal à 4 275 se traduit par : $(x + 10y)(y + 10x) = 4\,275$
On obtient alors le système suivant :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x + y & 12 \\ (x+10y)(y+10x) & 4\,275 \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 12 - x \\ (x + 10\times(12-x))((12-x)+10x) & 4\,275 \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 12-x \\ (x + 120 - 10x)(12-x+10x) & 4\,275 \\ \end{array} \right.$
$\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 12-x \\ (-9x+120)(9x+12) & 4\,275 \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 12-x \\ -81x^2 - 108x + 1\,080x + 1\,440 - 4\,275 & 0 \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 12-x \\ -81x^2 + 972x - 2\,835 & 0 \\ \end{array} \right.$
Résolvons $-81x^2 + 972x - 2\,835 = 0$
$\Delta = b^2-4 \times a \times c = 972^2 - 4 \times (-81) \times (-2\,835) = 26\,244 = 162^2$
Donc :
$\begin{array}{lcl} x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} & \hspace{30pt} x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_1 = \dfrac{-972-162}{2\times(-81)} && x_2 = \dfrac{-972+162}{2\times(-81)}\\ x_1 = 7 && x_2 = 5\\ \end{array}$
On en déduit alors : $y_1 = 12 - 7 = 5 \text{ et } y_2 = 12 - 5 = 7$
Les nombres solutions sont N = 75 et N = 57 .

exercice 3

Soit P la production annuelle
A la fin de l'année 0, la production est de P.
A la fin de l'année 1, la production est de $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)P$
A la fin de l'année 2, la production est de $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)\left[\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)P\right] = \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^2P$
A la fin de l'année 2, la production doit être 2P.
L'équation qui en découle est donc :
$\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^2P = 2P\\ \Longleftrightarrow \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^2 = 2\\ \Longleftrightarrow 1 + \dfrac{2t}{100} + \left(\dfrac{t}{100}\right)^2 - 2 = 0\\ \Longleftrightarrow \dfrac{t}{50} + \dfrac{t^2}{10\,000} - 1 = 0\\ \Longleftrightarrow 200t + t^2 - 10\,000 = 0\\ \Longleftrightarrow t^2 + 200t - 10\,000 = 0$
Or, $\Delta = b^2 - 4 \times a \times c = 200^2 - 4 \times 1 \times (-10\,000) = 80\,000$ , donc :
$\begin{array}{lll} x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} &\hspace{30pt}& x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_1 = \dfrac{-200 - \sqrt{80\,000}}{2} && x_2 = \dfrac{-200 + \sqrt{80\,000}}{2} \\ x_1 \approx -241,42 && x_2 \approx 41,42\\ \end{array}$
L'augmentation annuelle doit être d'environ 41,42%.

exercice 4

soit n le nombre de personnes, $n \ge 4$

12000 à partager entre n personnes, la part de chacun est de 12000/n

si 4 personnes de moins, la part de chacun augmente de 1500, soit 12000/n + 1500

on établit ainsi l'équation à résoudre : $\dfrac{12000}{n-4}=\dfrac{12000}{n}+1500$

soit $\dfrac{12000n-12000(n-4)-1500n(n-4)}{n(n-4)}=0$ (mise au dénominateur commun)

soit $\dfrac{-1500n²+6000n+48000}{n(n-4)}=0$ (on a développé, réduit et ordonné)

Une fraction est nulle si son numérateur est nul, à condition que son dénominateur ne le soit pas, ce qui est les ici,
ce qui donne : $-1500n²+6000n+48000 = 0$ ou encore $n²-4n-32=0$ en divisant les deux membres par -1500 pour simplifier la résolution

équation du second degré, que l'on peut résoudre sans discriminant, en factorisant à l?aide des identités remarquables :
$n²-4n-32 = ((n-2)² - 4) - 32 = (n-2)² - 6² = (n-2-6)(n-2+6)= (n-8)(n+4)$

d'où $n²-4n-32 = 0 \Longleftrightarrow n=8 \text{ ou } n=- 4$ cette seconde solution n'est pas retenue car négative.

conclusion : il y a 8 personnes

exercice 5

1. Vitesse à l'aller : (v + 5)
Vitesse au retour : (v-5)

2. Durée du trajet à l'aller : $\dfrac{75}{v+5}$
Durée du trajet au retour : $\dfrac{75}{v-5}$

3. La durée totale étant de 8 h, on peut écrire : $\dfrac{75}{v + 5} + \dfrac{75}{v - 5} = 8$
$\Longleftrightarrow 75(v - 5) + 75(v + 5) = 8(v - 5)(v + 5)\\ \Longleftrightarrow 75v - 375 + 75v + 375 = 8(v^2-25)\\ \Longleftrightarrow 150v = 8v^2 - 200\\ \Longleftrightarrow 8v^2 - 150v - 200 = 0$
$\Delta = b^2 - 4ac = (-150)^2 - 4 \times 8 \times (-200) = 22\,500 + 6\,400 = 28\,900 = 170^2$
L'équation admet deux solutions :
$\begin{array}{lll} v_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} &\hspace{30pt} & v_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ v_1 = \dfrac{150 - 170}{16} = -1,25 & & v_2 = \dfrac{150+170}{16} = 20 \\ \end{array}$
La vitesse ne pouvant être négative, la vitesse propre du bateau est de 20 km.h^-1.

exercice 6

définition des variables : $x\in \textbf{R}^+$ , coté de la base carrée ; et $h\in \textbf{R}^+$ , hauteur de la boite,

volume du parallélépipède : $V = x²h = 1875$ , d'où l'on exprime h en fonction de x : $h=\dfrac{1875}{x^2}$

surface de la boite : on additionne les aires des 6 faces : $S(x)=2x²+4xh=2x²+\dfrac{7500}{x}=\dfrac{2x^3+7500}{x}$ ; la fonction S est définie sur $\textbf{R}^{+*}$

on cherche à résoudre l?équation $S(x) = 950$ ,
équation du 3ème degré dont 10 est une racine ; en effet $2\times 10^3 - 950*10 + 7500 = 0$
$\longrightarrow$ remarque : en cas de difficultés pour trouver une racine « évidente », on peut tracer la courbe de la fonction sur la calculatrice, conjecturer une racine entière puis la vérifier par calcul.

pour factoriser $P(x) = 2x³-950x+7500$ , on peut :
$\white{www}$ - soit procéder par identification : il existe une fonction du second degré Q(x) = ax²+bx+c avec a, b et c réels, telle que P(x) = (x-10)Q(x)
$\white{www}$ - soit établir la différence $P(x)-P(10)$ ; la méthode par identification étant largement expliquée sur d'autres exercices, choisissons ici cette méthode.

$\begin{matrix} P(x) & = & 2x^3-950x+7500 & \\ P(10) & = & 2\times 10^3-950\times 10+7500 & \\ ------& ------ & --------& \text{ soustraction membre à membre} \\ P(x)-P(10)& = & 2(x^3-10^3)-950(x-10) & \text{ identité remarquable} \\ P(x)-0 & = & 2(x-10)(x^2+10x+100)-2\times 475(x-10)& \\ P(x) & = & 2(x-10)(x^2+10x+100-475) & \\ P(x)& = &2(x-10)(x^2+10x-375) & \end{matrix}$

$\longrightarrow RQ :$ l'identité remarquable de degré 3 utilisée est : $a^3-b^3=(a-b)(a²+ab+b^2)$

on résout l'équation du second degré $x²+10x-375=0$ , et on trouve $x_1=15 \text{ et } x_2=-25$ ; -25 n'est pas retenue car négative.
10 et 15 sont les seules racines de P qui appartiennent à l'ensemble de définition, $\textbf{R}^{+*}$

on conclut : les dimensions de la boîte sont :
$\white{www}$ - côté de la base carrée 10 cm et hauteur 1875/10² = 18.75cm
OU
$\white{www}$ - côté de la base carrée 15 cm et hauteur 1875/15² = 18.75 = 25/3 (= environ) 8.33cm

exercice 7

on commence par faire un petit dessin à main levée, et noter les mesures des cotés.
définition des variables : $a\in \textbf{R}^+\;,\quad b\in \textbf{R}^+\;,\quad c\in \textbf{R}^+$
on exploite les données de l'énoncé :
$\white{www}$ - volume du parallélépipède : $V =abc= 792$
$\white{www}$ - somme des aires : $S = 2(ab+ac+bc) = 954$ , soit $ab+ac+bc = 477$
$\white{www}$ - somme des longueurs des arêtes : $P = 4a+4b+4c= 170$ soit $a+b+c = 42.5$

soit le polynôme de degré 3 : $Q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$ ;
on développe, réduit et ordonne : $Q(x) = x³ - (a+b+c)x² + (ab+ac+bc)x - abc$ on reconnait les expressions établies précédemment $Q(x) = x³ - 42.5x² + 477x - 792$

écrire $Q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$ c'est dire que a, b et c sont racines de Q.
résolvons donc l'équation $x³ - 42.5x² + 477x - 792 = 0$

2 est racine évidente ; en effet Q(2) = 0
il existe donc un trinôme $R(x) = mx²+px+q$ avec m, p et q réels, tel que $Q(x) = (x-2)R(x)$
par identification, puis résolution de $R(x) = 0$ , on trouve les 2 autres racines : 33/2 et 24
conclusion : les dimensions du livre sont 24, 16.5 et 2cm ; l'épaisseur du livre est de 2 cm

exercice 8

définition des variables :
on pose : v la vitesse recherchée, exprimée en km/h,
d la distance entre 2 villes, exprimée en km ; d=AB=BC.

rappel : $v = \dfrac d t \Longleftrightarrow t = \dfrac d v$ où t représente le temps.

le temps total de la voiture 1 est $\dfrac d v + \dfrac {d}{2v}$

le temps total de la voiture 2 est $\dfrac{d}{48}+\dfrac{d}{v+20}$

Les 2 voitures mettent le même temps à parcourir la distance 2d ; on peut donc poser et résoudre l'équation : $\dfrac d v + \dfrac {d}{2v}=\dfrac{d}{48}+\dfrac{d}{v+20}$

soit : $\dfrac 1 v + \dfrac {1}{2v}=\dfrac{1}{48}+\dfrac{1}{v+20}$

soit : $\dfrac 3 v =\dfrac{v+68}{24(v+20)}$

soit : $72(v+20)=v(v+68)$ ou $v^2-4v-1440=0$ équation du second degré
Après résolution, par exemple à l'aide du discriminant, on trouve $v_1=40$ et $v_2=-36$ valeur négative

Conclusion : la vitesse $v$ est de 40 km/h.

Publié par malou/carita le 17-10-2020

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