Second degré : Système d'équations dans R²

Exercices relatifs à la fiche de cours 3

exercice 1

On cherche à résoudre le système : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x + y & 5 \\ x^2 + y^2 & 13 \\ \end{array} \right.$

1. Déterminer une équation du second degré vérifiée par $x$ .

2. Résoudre cette équation, et déterminer toutes les solutions du système.

exercice 2

Un grossiste achète un certain nombre d'appareils photos pour un montant total de 21 600 ?. S'il en prend 30 de plus, le vendeur lui aurait accordé une réduction de 20 ? par appareil et il lui en aurait coûté 2 400 ? de plus.
Combien d'appareils ont été achetés par le grossiste et quel est le prix d'un appareil ?

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exercice 1

1.
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x+y & 5 \\ x^2+y^2 & 13 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 5-x \\ x^2+y^2 & 13 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 5-x \\ x^2+(5-x)^2 & 13 \\ \end{array} \right.$
$\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 5-x \\ x^2+25-10x+x^2 & 13 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 5-x \\ 2x^2-10x+25-13 & 0 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 5-x \\ 2x^2-10x+12 & 0 \\ \end{array} \right.$
L'équation du second degré cherchée est : $2x^2 - 10x + 12 = 0$

2. Résolvons cette équation $2x^2-10x+12 = 0$ :
$\Delta = b^2 - 4 \times a \times c\\ \Delta = (-10)^2 - 4 \times 2 \times 12 = 100 - 96 = 4$
Comme $\Delta > 0$ , il existe donc deux solutions :
$\begin{array}{lcl} x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\times a} & \hspace{30pt} & x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\times a}\\ x_1 = \dfrac{-(-10)-\sqrt{4}}{2\times 2} && x_2 = \dfrac{-(-10)+\sqrt{4}}{2\times2}\\ x_1 = \dfrac{10-2}{4} && x_2 = \dfrac{10+2}{4}\\ x_1 = 2&& x_2 = 3\\ \end{array}$
Cherchons à présent les solutions du système $\left\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x+y & 5 \\ x^2+y^2 & 13\right. \\ \end{array} \right.$ :
Si $x_1 = 2$ , alors $y_1 = 5 - x_1 = 5 - 2 = 3$ ,
et si $x_2 = 3$ , alors $y_2 = 5 - x_2 = 5 - 3 = 2$
Les solutions du système sont donc les couples (2; 3) et (3; 2).

exercice 2

Soit x le nombre d'appareils et y le prix d'un appareil.
On obtient le système suivant :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} xy & 21\,600 \\ (x + 30)(y - 20) & 21\,600 + 2\,400 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & \dfrac{21\,600}{x} \\ (x + 30)\left(\dfrac{21\,600}{x} - 20\right) & 24\,000 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & \dfrac{21\,600}{x} \\ \dfrac{21\,600x}{x} - 20x + \dfrac{21\,600 \times 30}{x} - 600 & 24\,000 \\ \end{array} \right.$
$\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & \dfrac{21\,600}{x} \\ 21\,600 - 20x + \dfrac{648\,000}{x} - 24\,600 & 0 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & \dfrac{21\,600}{x} \\ -20x^2 - 3\,000x + 648\,000 & 0 \\ \end{array} \right.$
$\Delta = (-3\,000)^2 - 4 \times (-20) \times 648\,000 = 60\,840\,000 = 7\,800^2$
L'équation admet deux solutions :
$\begin{array}{lll} x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} & \hspace{30pt} & x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_1 = \dfrac{3\,000 - 7\,800}{-40} = 120 & & x_2 = \dfrac{3\,000 + 7\,800}{-40} = -270 \\ \end{array}$
Le nombre d'appareils est donc de 120 (puisqu'il doit être positif).
Le prix d'un appareil est : $y = \dfrac{21\,600}{x} = \dfrac{21\,600}{120} = 180$

Conclusion : 120 appareils à 180 ? pièce ont été achetés par le grossiste.

Publié par malou/carita le 15-10-2020

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