Fiche de mathématiques
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Second degré : Système d'équations dans R2

Exercices relatifs à la fiche de cours 3

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exercice 1

On cherche à résoudre le système : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x + y  &  5 \\ x^2 + y^2  &  13 \\ \end{array} \right.


1. Déterminer une équation du second degré vérifiée par x.

2. Résoudre cette équation, et déterminer toutes les solutions du système.



exercice 2

deco
Un grossiste achète un certain nombre d'appareils photos pour un montant total de 21 600 ?. S'il en prend 30 de plus, le vendeur lui aurait accordé une réduction de 20 ? par appareil et il lui en aurait coûté 2 400 ? de plus.
Combien d'appareils ont été achetés par le grossiste et quel est le prix d'un appareil ?





exercice 1

1.
 \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x+y & 5 \\  x^2+y^2 & 13 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 5-x \\  x^2+y^2 & 13 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 5-x \\  x^2+(5-x)^2 & 13 \\ \end{array} \right.
 \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 5-x \\  x^2+25-10x+x^2 & 13 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 5-x \\  2x^2-10x+25-13 & 0 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 5-x \\  2x^2-10x+12 & 0 \\ \end{array} \right.
L'équation du second degré cherchée est : 2x^2 - 10x + 12 = 0

2. Résolvons cette équation 2x^2-10x+12 = 0 :
\Delta = b^2 - 4 \times a \times c\\ \Delta = (-10)^2 - 4 \times 2 \times 12 = 100 - 96 = 4
Comme \Delta > 0, il existe donc deux solutions :
\begin{array}{lcl} x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\times a} & \hspace{30pt} & x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\times a}\\ x_1 = \dfrac{-(-10)-\sqrt{4}}{2\times 2} && x_2 = \dfrac{-(-10)+\sqrt{4}}{2\times2}\\ x_1 = \dfrac{10-2}{4} && x_2 = \dfrac{10+2}{4}\\ x_1 = 2&& x_2 = 3\\ \end{array}
Cherchons à présent les solutions du système \left\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x+y & 5 \\  x^2+y^2 & 13\right. \\ \end{array} \right. :
Si x_1 = 2, alors y_1 = 5 - x_1 = 5 - 2 = 3,
et si x_2 = 3, alors y_2 = 5 - x_2 = 5 - 3 = 2
Les solutions du système sont donc les couples (2; 3) et (3; 2).



exercice 2

Soit x le nombre d'appareils et y le prix d'un appareil.
On obtient le système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} xy  &  21\,600 \\ (x + 30)(y - 20)  &  21\,600 + 2\,400 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  \dfrac{21\,600}{x} \\ (x + 30)\left(\dfrac{21\,600}{x} - 20\right)  &  24\,000 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  \dfrac{21\,600}{x} \\  \dfrac{21\,600x}{x} - 20x + \dfrac{21\,600 \times 30}{x} - 600  &  24\,000 \\ \end{array} \right.
 \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  \dfrac{21\,600}{x} \\   21\,600 - 20x + \dfrac{648\,000}{x} - 24\,600  &  0 \\ \end{array} \right. \\ \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  \dfrac{21\,600}{x} \\  -20x^2 - 3\,000x + 648\,000  &  0 \\ \end{array} \right.
\Delta = (-3\,000)^2 - 4 \times (-20) \times 648\,000 = 60\,840\,000 = 7\,800^2
L'équation admet deux solutions :
\begin{array}{lll} x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} & \hspace{30pt} & x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_1 = \dfrac{3\,000 - 7\,800}{-40} = 120 & & x_2 = \dfrac{3\,000 + 7\,800}{-40} = -270 \\ \end{array}
Le nombre d'appareils est donc de 120 (puisqu'il doit être positif).
Le prix d'un appareil est : y = \dfrac{21\,600}{x} = \dfrac{21\,600}{120} = 180

Conclusion : 120 appareils à 180 ? pièce ont été achetés par le grossiste.
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