Fiche de mathématiques
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Polynômes du second degré

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exercice 1

deco

Un touriste se déplace dans un métro en utilisant un tapis roulant de 300 m de longueur, dont la vitesse de translation est 4 km.h-1. Il envisage de réaliser la performance suivante : notant A et B les extrémités du tapis, il parcourt ce tapis de A à B dans le sens du déplacement du tapis puis revient en A sans s'arrêter en B, sa vitesse restant constante. Le retour a lieu 10 min 48 s après le départ en A.
Quelles sont les vitesses du touriste à l'aller et au retour.



exercice 2

Déterminer un nombre N de deux chiffres tel que la somme des deux chiffres soit 12 et le produit de N par le nombre N' obtenu en inversant l'ordre des chiffres soit 4 275.



exercice 3

deco

Une entreprise cherche à doubler en deux ans la production d'un produit qu'elle vient de commercialiser.
Quel doit être le taux annuel d'augmentation de sa production pour réaliser cet objectif ?



exercice 4

Résoudre les systèmes d'inéquations suivants :

1. \left\lbrace \begin{array}{l} -x^2 + x + 2 > 0\\-4x + 3 \leq 0\end{array}\right.

2. \left\lbrace \begin{array}{l} -x^2 + x + 1 > 0\\-2x + 5 < 0\end{array}\right.

3. 6 \leq 2x^2 - 3x - 3 \leq 17



exercice 1

Soit v la vitesse de marche en km.h-1 du touriste.
Aller (A \rightarrow B) : va = v + 4
Le temps mis à l'aller est : t_1 = \dfrac{0,3}{v+4}
Retour (B \rightarrow A) : vb = v - 4
Le temps mis au retour est : t_2 = \dfrac{0,3}{v - 4}
Temps total (A \rightarrow B \rightarrow A): t = t_1 + t_2 = \dfrac{0,3}{v+4} + \dfrac{0,3}{v-4}
Or, t = 10 min 48 s equivaut t = 0,18 heure, donc :
\dfrac{0,3}{v+4} + \dfrac{0,3}{v-4} = 0.18\\ \Longleftrightarrow \dfrac{0,3}{v-4} + \dfrac{0,3}{v+4} = 0,18(v - 4)(v + 4)\\ \Longleftrightarrow 0,3v - 1,2 + 1,2 + 0,3v = 0,18v^2 - 2,88\\ \Longleftrightarrow 0,18v^2 - 0,6v - 2,88 = 0
Or, \Delta = b^2 - 4ac = (-0,6)^2 - 4\times 0,18 \times (-2,88) = 2,4336 = 1,56^2, donc :
\begin{array}{lcl} v_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} & \hspace{30pt} & v_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ v_1 = \dfrac{0,6 - 1,56}{0,36} & & v_2 = \dfrac{0,6 + 1,56}{0,36}\\ v_1 = -\dfrac{8}{3} & & v_2 = 6 \end{array}
La vitesse étant obligatoirement positive, le touriste marche à 6 km.h-1



exercice 2

Soient x le chiffre des unités et y le chiffre des dizaines.
La somme des deux chiffres est égal à 12, donc x + y = 12
Le produit de N par N' est égal à 4 275 se traduit par : (x + 10y)(y + 10x) = 4\,275
On obtient alors le système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x + y  &  12  \\  (x+10y)(y+10x)  &  4\,275 \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  12 - x  \\  (x + 10\times(12-x))((12-x)+10x)  &  4\,275  \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  12-x  \\  (x + 120 - 10x)(12-x+10x) & 4\,275 \\ \end{array} \right.
\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  12-x  \\  (-9x+120)(9x+12) & 4\,275 \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  12-x  \\  -81x^2 - 108x + 1\,080x + 1\,440 - 4\,275  &  0 \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y  &  12-x  \\  -81x^2 + 972x - 2\,835  &  0 \\ \end{array} \right.
Résolvons -81x^2 + 972x - 2\,835 = 0
\Delta = b^2-4 \times a \times c = 972^2 - 4 \times (-81) \times (-2\,835) = 26\,244 = 162^2
Donc :
\begin{array}{lcl} x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} & \hspace{30pt} x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_1 = \dfrac{-972-162}{2\times(-81)} && x_2 = \dfrac{-972+162}{2\times(-81)}\\ x_1 = 7 && x_2 = 5\\ \end{array}
On en déduit alors : y_1 = 12 - 7 = 5 \text{ et } y_2 = 12 - 5 = 7
Les nombres solutions sont N = 75 et N = 57 .



exercice 3

Soit P la production annuelle
A la fin de l'année 0, la production est de P.
A la fin de l'année 1, la production est de \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)P
A la fin de l'année 2, la production est de \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)\left[\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)P\right] = \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^2P
A la fin de l'année 2, la production doit être 2P.
L'équation qui en découle est donc :
\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^2P = 2P\\ \Longleftrightarrow \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^2 = 2\\ \Longleftrightarrow 1 + \dfrac{2t}{100} + \left(\dfrac{t}{100}\right)^2 - 2 = 0\\ \Longleftrightarrow \dfrac{t}{50} + \dfrac{t^2}{10\,000} - 1 = 0\\ \Longleftrightarrow 200t + t^2 - 10\,000 = 0\\ \Longleftrightarrow t^2 + 200t - 10\,000 = 0
Or, \Delta = b^2 - 4 \times a \times c = 200^2 - 4 \times 1 \times (-10\,000) = 80\,000, donc :
\begin{array}{lll} x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} &\hspace{30pt}& x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_1 = \dfrac{-200 - \sqrt{80\,000}}{2} && x_2 = \dfrac{-200 + \sqrt{80\,000}}{2} \\ x_1 \approx -241,42 && x_2 \approx 41,42\\ \end{array}
L'augmentation annuelle doit être d'environ 41,42%.



exercice 4

1.
\left\lbrace \begin{array}{l} -x^2+x+2>0\\ -4x+3 \geq 0\end{array}\right.
Cherchons les racines de -x^2 + x + 2 :
\Delta = 1^2 - 4 \times (-1) \times 2 = 9, donc :
x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{9}}{2 \times (-1)} = 2 \text{ et } x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{9}}{2 \times (-1)} = -1. D'où :
\left\lbrace \begin{array}{l} -x^2+x+2>0\\ -4x+3 \geq 0\end{array}\right.\\ \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} -(x+1)(x-2) > 0\\ -4x+3 \geq 0 \end{array}\right.\\ \begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline  x&-\infty& &-1& &\dfrac{3}{4}& &2& &+\infty \\ \hline (x+1)& &-&0&+ & &+& & + &\\ (x-2)& &-& &- & &-& 0& + &\\ \hline  -(x+1)(x-2)& &-&0 &+ & &+& 0& - &\\  \hline (-4x+3)& &+& &+ & 0&-& & - &\\   \hline  \end{array}
D'où : \mathcal{S} = \left[\dfrac{3}{4}; 2\right[

2.
\left\lbrace \begin{array}{l} -x^2 + x + 1 > 0\\ -2x+5 < 0\end{array}\right.
Cherchons les racines de -x^2 + x + 1 :
\Delta = 1^2 - 4 \times (-1) \times 1 = 5, donc :
x_1 = \dfrac{-1-\sqrt{5}}{-2} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \text{ et } x_2 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}. D'où :
\left\lbrace \begin{array}{l} -x^2 + x + 1 > 0\\ -2x+5 < 0\end{array}\right.\\ \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} -\left(x - \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x - \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right) > 0 \\ -2x + 5 < 0\end{array}\right.

\begin{array}{|c|ccccccccc|} 	 \hline  x&-\infty& &\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}& &\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}& &\dfrac{5}{2}& &+\infty \\ \hline   \left(x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)& &-&0&+ & &+& & +&\\ \left(x-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)& &-& &- & 0&+& & +&\\ \hline  -\left(x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)& &-& 0&+ & 0&-& & -&\\ \hline   (-2x+5)& &+& &+ & &+&0 & -&\\ \hline \end{array}
D'où : \mathcal{S} = \emptyset



3.
6 \leq 2x^2-3x-3 \leq 17\\ \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} 2x^2 - 3x - 3 \geq 6 \\ 2x^2 - 3x - 3 \leq 17\end{array}\right.\\  \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} 2x^2-3x-3-6 \geq 0 \\ 2x^2-3x-3-17 \leq 0\end{array}\right.\\ \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} 2x^2-3x-9 \geq 0 \\ 2x^2-3x-20 \leq 0\end{array}\right.
Factorisons 2x^2 - 3x - 9 :
\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-9) = 81 = 9^2, donc :
x_1 = \dfrac{3 - 9}{4} = \dfrac{-3}{2} \text{ et } x_2 = \dfrac{3 + 9}{4} = 3
D'où : 2x^2 - 3x - 9 = 2\left(x + \dfrac{3}{2}\right)(x - 3)

Factorisons 2x^2 - 3x - 20 :
\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-20) = 169 = 13^2, donc :
x_1 = \dfrac{3 - 13}{4} = -\dfrac{5}{2} \text{ et } x_2 = \dfrac{3 + 13}{4} = 4
D'où : 2x^2 - 3x - 20 = 2\left(x + \dfrac{5}{2}\right)(x - 4)

D'où :
\left\lbrace \begin{array}{l} 2x^2-3x-9 \geq 0 \\ 2x^2-3x-20 \leq 0\end{array}\right.\\ \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} 2\left(x + \dfrac{3}{2}\right)(x-3) \ge 0 \\ 2\left(x+\dfrac{5}{2}\right)(x-4) \le 0\end{array}\right.\\ \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} \left(x+\dfrac{3}{2}\right)(x-3) \ge 0 \\ \left(x+\dfrac{5}{2}\right)(x-4) \le 0\end{array}\right.

\begin{array}{|c|ccccccccccc|} \hline  x&-\infty& &\dfrac{-5}{2}& &\dfrac{-3}{2}& &3& &4& &+\infty \\  \hline  \left(x+\dfrac{3}{2}\right)& &-& &- &0 &+& & +& &+&\\  (x-3)& &-& &- & & -& 0&+& & +&\\  \hline  \left(x+\dfrac{3}{2}\right)(x-3)& &+& & + &0 &-&0 & +& &+&\\  \hline  \left(x+\dfrac{5}{2}\right)& &-&0 &+ & &+& & +& &+&\\ (x-4)& &-& &- & &-& & -& 0&+&\\ \hline \left(x+\dfrac{5}{2}\right)(x-4)& &+&0 &- & &-& & -& 0&+&\\  \hline \end{array}
D'où : \mathcal{S} = \left[ -\dfrac{5}{2} ; - \dfrac{3}{2} \right] \cup \left[3 ; 4 \right]
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