Fiche de mathématiques
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Second degré : variation, forme canonique, factorisation

(exercices relatifs à cette fiche de cours)

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exercice 1

Factoriser A(x) = 2x² + 10x - 3



exercice 2

Forme canonique
Donner la forme canonique des fonctions polynômes f du second degré définies par :

1. f(x) = 2x² - 8x + 6

2. f(x) = -x² -2/3 x - 1/9

3. f(x) = 5/2 x² + 15x + 30



exercice 3

Factoriser, lorsque c'est possible, les trinômes suivants :
    a)P(x) = 9x2 + 4x - 5
    b)P(x) = x2 + 2x - 3
    c)P(x) = x2 + x + 1
    d)P(x) = 12x2 + 7x
    e)P(x) = 3x2 - 6x + 3



exercice 4

On considère la fonction f définie par: f(x)= \frac{2x^2+3x-5}{x^2+x-2}
a) Déterminer l'ensemble de définition de f.
b) Simplifier la fraction f(x)



exercice 5

Factoriser H(x) = x² - x - 2

aide : on pourra calculer calculer H(2)



exercice 6

Factoriser R(x) = x³ + 2x² - 5x - 6
aide :
calculer R(2)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)



exercice 7

La fonction polynôme P est définie par: P(x)=ax^2+bx+c, avec a \neq  0
Le tableau de signes de la fonction P est donné ci dessous.
4N-second degré : variation, forme canonique, factorisation : image 5


a) Quel est le signe du discriminant? Celui de a? celui de P(-3)? Celui de c?
b) Donner la forme factorisée de \frac{1}{a}P(x)
c) Sachant que P(2) = 27, déterminer a, b et c.



exercice 8

Parabole passant par trois points.
Soit f(x) = ax^2 + bx + c l'équation d'une parabole.
Cette parabole passe par A(1; 2), par B (2; -3) et par C(3; -12).
Le but de l'exercice est de trouver l'équation de la parabole.
    a) Écrire un système vérifié par a, b et c.
    b) Le résoudre.



exercice 9

Sens de variation et représentation graphique
1. Ecrire la forme canonique de la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x) = 3x² + 12x - 9
Dresser son tableau de variations et construire sa représentation graphique dans un repère orthonormé (0;\vec{i};\vec{j}) du plan.

2. La courbe représentative (P) d'une fonction polynôme f du second degré admet pour sommet le point S(1;2) ; Elle passe aussi par les points A(-1;0) et B(3;0) .
Dessiner (P).
Dresser le tableau de variation de f.
Expliciter f(x) (donner l'écriture de f(x))
Résoudre graphiquement, après avoir tracé (P) de façon précise :
    - l'équation      f(x) = 3/2
    - l'inéquation     f(x) \ge 0





exercice 1

On va utiliser la forme canonique ...
2x^2 + 10x - 3
= 2\left(x^2 + 5x - \dfrac{3}{2}\right)
= 2\left[\left(x + \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{25}{4} - \dfrac{3}{2}\right]
= 2\left[\left(x + \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{31}{4}\right]
= 2\left(x + \dfrac{5}{2} - \dfrac{\sqrt{31}}{2} \right)\left(x + \dfrac{5}{2} + \dfrac{\sqrt{31}}{2}\right)



exercice 2


1. f(x) = 2x² - 8x + 6   \quad  a = 2  \quad  b = -8 \quad  c = 6
on met a en facteur : f(x) = 2({\red{x² - 4x}} + 3)
{\red{x² - 4x}} est le début d'une identité remarquable : (x-2)² = x²- 4x+4 et donc {\red{x² - 4x}} = (x-2)² - 4
f(x) = 2x² - 8x + 6 = 2(x² - 4x + 3) = 2((x-2)²- 4 + 3) =  2((x-2)² - 7) = 2(x-2)² - 14


2. f(x) = -x² - \dfrac 2 3 x - \dfrac 1 9  \quad   a = -1 \quad   b = - \dfrac 2 3 \quad c = - \dfrac 1 9

on met a en facteur : f(x) = - \left(x² + \dfrac 2 3x + \dfrac 1 9\right)

or \dfrac 1 9 = \left(\dfrac 1 3\right)², et ainsi x² + \dfrac 2 3 x + \dfrac 1 9= x² + 2\times \dfrac 1 3 x +\left(\dfrac 1 3\right)² = \left(x + \dfrac 1 3\right)² identité remarquable

d'où f(x) =  - \left(x² + \dfrac 2 3 x + \dfrac 1 9\right) = - \left(x + \dfrac 1 3\right)²
\longrightarrow remarque : sur cet exemple, \beta=0


3. f(x) = \left(\dfrac 5 2\right)x² + 15x + 30
on met a en facteur : f(x) = \left(\dfrac 5 2\right) ({\red{x² + 6x}} + 12)
{\red{x² + 6x}} est le début d'une identité remarquable : \left(x + \left(\dfrac 6 2\right)\right)² =  (x + 3)² = x² + 6x + 9 et donc {\red{x² + 6x}} =   (x + 3)²  - 9
d'où f(x) =  \dfrac 5 2 ({\red{x² + 6x}}  + 12) =  \dfrac 5 2 ((x + 3)²  - 9 + 12) =  \dfrac 5 2((x + 3)²  + 3) =  \dfrac 5 2(x + 3)²  + 15/2



exercice 3

Pour factoriser une expression, il faut commencer par trouver un facteur commun, s'il n'y en a pas, penser aux identités remarquables. En première, une nouvelle méthode apparaît pour factoriser les trinômes : on cherche les racines du trinôme.

a) P(x) = 9x2 + 4x - 5
Dans ce cas, pas de facteur commun, on n'a pas d'identités remarquables. On cherche donc les racines du trinôme :
\Delta = 42 - 4 × 9 × (-5) = 196 = 142
x1 = (-4 - 14)/18 = -1        x2 = (-4 + 14)/18 = 5/9
On peut donc factoriser le trinôme :
P(x) = 9(x + 1)(x - (5/9)) = (x + 1)(9x - 5)

b) P(x) = x2 + 2x - 3
Dans ce cas, pas de facteur commun, on n'a pas d'identités remarquables. On cherche donc les racines du trinôme :
\Delta = 22 - 4 ×1 ×(-3)= 16 = 42
x1 = (-2 - 4)/2 = -3        x2 = (-2 + 4)/2 = 1
On peut donc factoriser le trinôme :
P(x) = (x + 3)(x - 1)

c) P(x) = x2 + x + 1
Dans ce cas, pas de facteur commun, on n'a pas d'identités remarquables. On cherche donc les racines du trinôme :
\Delta = 12 - 4 × 1 × 1 = -3
\Delta étant négatif, on ne pourra pas factoriser le polynôme dans \mathbb{R}.

d) P(x) = 12x2 + 7x
On a un facteur commun x, d'où : P(x) = x(12x + 7)

e) P(x) = 3x2 - 6x + 3
On peut déjà factoriser par 3 et on voit apparaître une identité remarquable, d'où :
P(x) = 3(x2 - 2x + 1)= 3(x - 1)2



exercice 4

f(x)=\dfrac{2x^2+3x-5}{x^2+x-2}
La fonction f e st définie si et seulement si x^2+x-2\neq 0
Déterminons les racines de  x^2+x-2=0
Ce polynôme admet une racine évidente  x_1=1   \text{ car } 1+1-2=0
or le produit des solutions est égal à x_1\times x_2=\dfrac{-2}{1}  d'où x_2=-2
f est définie sur \mathbb{R} \setminus \lbrace -2;1\rbrace
1 et 2 étant les racines du trinôme x^2+x-2, le trinôme peut être factorisé :
Rappel : ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

On obtient : x^2+x-2=(x-1)(x+2)

f est simplifiable si 1 ou -2 sont racines de 2x^2+3x-5
1 est une racine évidente de 2x^2+3x-5   \text{ car } 2+3-5=0
Déterminons x_2
Or x_1\times x_2=1\times x_2=x_2=\dfrac{-5}{2}
Le trinôme admet deux racines , sa factorisation peut s'écrire :
2x^2+3x-5=2(x-1)(x+\dfrac{5}{2})=(x-1)(2x+5)
Le numérateur et le dénominateur ont le facteur (x-1) en commun , simplifions
\text{Sur }  \mathbb{R}  \  \lbrace -2;1\rbrace \quad f(x)=\dfrac{(x-1)(2x+5)}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{2x+5}{x+2}
 \text{Sur }  \mathbb{R}  \  \lbrace -2;1\rbrace \quad f(x) =\dfrac{2x+5}{x+2}



exercice 5

H(x) = x² - x - 2
Calculons H(2)
H(2) = 2² - 2 - 2 = 0
Donc :  H(x) = H(x) - H(2)
H(x) =  x² - x - 2 - (2² - 2 - 2)
H(x) = (x² - 2²) - (x - 2)
H(x) = (x - 2)(x + 2) - (x - 2)
H(x) = (x - 2)(x + 2 - 1)
H(x) = (x - 2)(x + 1)



exercice 6

R(x) = x³ + 2x² - 5x - 6
Mais R(2) = 2³ + 2 × 2² - 5 × 2 - 6 = 0
Donc : R(x) = R(x) - R(2)
R(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 - (2^3 + 2 \times 2^2 - 5 \times 2 - 6)
R(x) = (x^3 - 2^3) + 2(x^2- 2^2) - 5(x - 2)
R(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) + 2(x - 2)(x + 2) - 5(x - 2)
R(x) = (x - 2)(x^2 + 2x+ 4 + 2x + 4 - 5)
R(x) = (x - 2)(x^2 + 4x + 3)

Pour aller plus loin...
On prend :
Z(x) = x^2 + 4x + 3
 0 = Z(-1) = (-1)^2 + 4 × (-1) + 3
____________________________
Z(x) = Z(x) - Z(-1) = (x^2 - (-1)^2) + 4(x - (-1))
Z(x) = (x - 1)(x + 1) + 4(x + 1)
Z(x) = (x + 1)(x + 3)

Donc pour reprendre R(x) :
R(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6
R(x) = (x - 2)(x^2 + 4x + 3)
R(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 3)



exercice 7


a)
P(x)=ax^2+bx+c\\ P(-1)=0    \text{ et  }   P(4)=0     \text{ et }      P(x)>0     \text{ si }  -1<x<4
Le polynôme admet deux racines donc le discriminant est strictement positif ,et a est strictement négatif puisque le polynôme est positif, donc du signe opposé de a entre les racines
b)
Comme -1 et 4 sont les racines , alors on peut factoriser P , par (x-(-1))et (x-4). On obtient :
P(x)=a(x+1)(x-4)
\text{ Comme }a\neq 0 \;,\quad \dfrac{1}{a}P(x)=\dfrac{1}{a}\times a(x+1)(x-4)=(x+1)(x-4)
c)
P(2)=2^2a+2b+c=4a+2b+c=27
D'après le 1) , \dfrac{-b}{a}=-1+4=3 \text{ d'où }b=-3a

\dfrac{c}{a}=-1\times 4=-4  \text{ d'où }c=-4a \text{ donc } 4a+2b+c=4a-6a -4a=27 \text{ et } -6a=27

a=\dfrac{-27}{6}=-\dfrac{9}{2}=-4,5 \quad  b=-3\times \dfrac{-9}{2}=\dfrac{27}{2}=13,5 \quad  c=-4\times \dfrac{-9}{2}=18
d'où l'expression du polynôme : P(x) =- \dfrac{9}{2}x^2+\dfrac{27}{2}x+18
que l'on peut aussi écrire P(x)=-4,5x^2+13,5x+18



exercice 8


soit Cf la parabole représentative de la fonction f

A(1;2)\in C_f \Longleftrightarrow f(1)=2 \\    B(2; -3)\in C_f \Longleftrightarrow f(2)=-3 \\    C(3; -12)\in C_f \Longleftrightarrow f(3)=-12

on en déduit le système d'équations à 3 inconnues, à résoudre : \left\lbrace\begin{matrix} a+b+c& = & 2\\ 4a+2b+c& = &-3 \\ 9a+3b+c& = &-12 \end{matrix}\right.

après résolution (combinaison linéaire et substitution), on obtient a=-2, b=1 et c = 3, d'où f(x) = -2x²+x+3



exercice 9


1 Forme canonique :
f(x)=3x^2 + 12x - 9 = 3(x^2+4x)-9=3(x^2+4x+4)-12-9=3(x+2)^2-21
On en déduit le tableau de variations
Le coefficient de x^2 étant positif la fonction est donc strictement décroissante sur ]-\infty~;~-2[ et strictement croissante sur ]-2~;~+\infty[

\begin{array}{c|*{5}{c}} x&-\infty&&-2&&+\infty\\\hline f&&\searrow&_{-21}&\nearrow&\\\end{array}

4N-second degré : variation, forme canonique, factorisation : image 2

2
1 tracé de la courbe
4N-second degré : variation, forme canonique, factorisation : image 3

2 tableau de variation
\begin{array}{c|*{5}{c}} x&-\infty&&1&&+\infty\\\hline f&&\nearrow&^2&\searrow&\\\end{array}

3 En utilisant la forme canonique, nous obtenons  f(x)=a(x-1)^2+2 . Déterminons a en écrivant que la parabole passe par B
0=a(3-1)^2+2 d'où  a=-\dfrac{1}{2}
Une écriture de f(x) est  \boxed{f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+2} ou en développant \boxed{ f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{3}{2}}
4
\checkmark Nous traçons la droite d'équation  y=\dfrac{3}{2} et nous lisons les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe soit  x_1=0 \quad x_2=2
L'ensemble des solutions de l'équation f(x)=\dfrac{3}{2} est  \mathcal{S}=\lbrace 0~;~2\rbrace

\checkmark Les solutions de l'inéquation f(x)\ge 0 sont les abscisses des points pour lesquelles la courbe P est située au dessus de l'axe des abscisses ou le coupe.
Les points d'intersection de la courbe et de l'axe des abscisses sont A et B. La courbe est située au-dessus de l'axe entre ces deux points. \mathcal{S}=[-1~;~3]
4N-second degré : variation, forme canonique, factorisation : image 4
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