Fiche de mathématiques
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Exercice sur la fonction carré

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exercice 1



Déterminer, lorsque c'est possible, les antécédents des nombres suivants par la fonction carré.
1. 36
2. -9
3. 2
4. \frac{16}{49}


exercice 2

On considère la fonction f définie sur [-3 ; 5] par f(x) = x^2.

1. Représenter graphiquement la fonction f.
2. Dans chacun des cas suivants, déterminer le minimum, le maximum de la fonction f sur l'intervalle I indiqué et pour quelles valeurs ils sont atteints. Justifie la réponse.
a) I = [1 ; 4]
b) I = [-2 ; -1]
c) I = [-1 ; 2]


exercice 3

Résoudre graphiquement dans \mathbb{R} les inéquations suivantes :
1. x^2 > 25
2. x^2 > 0
3. x^2 \geq  -2
4. x^2 \leq 5
5. x^2 \leq -3

exercice 4

Dans chacun des cas, déterminer un encadrement de x^2. Justifie tes réponses.
1. x \in [2 ; 4]
2. x \in [-5 ; -2]
3. x \in [-4 ; 3]
4. x \in [-5 ; 1[

exercice 5

Dans chacun des cas, comparer les nombres suivants en utilisant les variations de la fonction carré.
1. (-5)^2 \text{ et } (-3)^2
2. 22 et 62
3. (-\sqrt{3})^2 et (-\sqrt{5})^2
4. 1,52 et (1+\frac{1}{3})^2





exercice 1


1. Les antécédents de 36 par la fonction carré sont solutions de l'équation x^2=36
x^2=36 \\x^2-36=0\\ (x-6)(x+6)=0\\x=6 \text{ ou } x=-6
Les antécédents de 36 par la fonction carré sont -6 et 6.

2. On veut résoudre l'équation x^2 = -9.
Un carré étant toujours positif, cette équation n'a pas de solution et -9 n'a pas d'antécédent par la fonction carré.

3. On veut résoudre l'équation x^2 = 2.
Elle possède deux solutions : \sqrt{2} et -\sqrt{2}.
Les antécédents de 2 par la fonction carré sont donc -\sqrt{2} et \sqrt{2}.

4. On veut résoudre l'équation x^2 = \frac{16}{49}.
Elle possède deux solutions  \frac{4}{7} et -\frac{4}{7}.
Ainsi les antécédents de \frac{16}{49} sont -\frac{4}{7} et \frac{4}{7}.


exercice 2

On considère la fonction f définie sur [-3 ; 5] par f(x) = x^2.

Exercice sur la fonction carré : image 1

a. Sur I = [1 ; 4]
La fonction carré est strictement croissante sur l'intervalle [0 ;+\infty [.
Par conséquent, pour tout x \in [1 ; 4] on a :
1^2 \leq x^2 \leq 4^2 soit 1 \leq x^2 \leq 16.
Le minimum de f sur I est donc 1 atteint en 1 et son maximum est 16 atteint en 4.

b. Sur I = [-2 ; -1]
La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle ]-\infty  ;0].
Par conséquent, pour tout x \in [-2 ; -1] on a :
(-1)^2 \leq x \leq (-2)^2 soit 1 \leq x^2 \leq 4.
Le minimum de f sur I est donc 1 atteint en -1 et son maximum est 4 atteint en -2.

c. Sur I = [-1 ; 2]
La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle ]-\infty  ; 0].
Donc si x \in [-1 ; 0] alors 0^2 \leq x^2 \leq (-1)^2 soit 0 \leq x^2 \leq 1.

La fonction carré est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +\infty [.
Donc si x \in [0 ; 2] alors 0^2 \leq x^2 \leq 2^2 soit 0 \leq x \leq 4.

En résumé si x \in I alors 0 \leq x^2 \leq 4
Le minimum de la fonction f est donc 0 atteint en 0 et son maximum est 4 atteint en 2.


exercice 3


1. x^2 > 25
Exercice sur la fonction carré : image 2

La solution de cette inéquation est ]-\infty  ; -5[\cup ]5 ; +\infty [.

2. x^2 >0
Exercice sur la fonction carré : image 3

La solution de cette inéquation est ]-\infty  ; 0[\cup ]0 ; +\infty [

3. x^2 \geq  -2
Exercice sur la fonction carré : image 4

Tous les nombres sont donc solution de cette inéquation.

4. x^2 \leq 5
Exercice sur la fonction carré : image 7

La solution de cette inéquation est donc [-\sqrt{5};\sqrt{5}].

5. x^2 \leq -3
Un carré ne peut pas être négatif. Par conséquent aucun nombre n'est solution de cette inéquation.

exercice 4


1. x \in [2 ; 4]
La fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +\infty [.
Par conséquent 2^2 \leq x \leq 4^2 soit 4 \leq x^2 \leq 16.

2. x \in [-5 ; -2]
La fonction carré est strictement décroissante sur ]-\infty  ; 0].
Par conséquent (-2)^2 \leq x^2 \leq (-5)^2 soit 4 \leq x^2 \leq 25.

3. x \in [-4 ; 3]
La fonction carré est strictement décroissante sur ]-\infty  ; 0]
Donc si x \in [-4 ; 0] alors 0^2 \leq x^2 \leq (-4)^2 soit 0 \leq x^2 \leq 16.

La fonction carré est strictement croissante sur [0 ;+\infty [
Donc si x \in [0 ; 3] alors 0^2 \leq x^2 \leq 3^2 soit 0 \leq x^2 \leq 9.

Par conséquent si x \in [-4 ; 3] alors 0 \leq x^2 \leq 16
C'est flagrant quand on trace la courbe.
Exercice sur la fonction carré : image 6

4. x \in [-5 ; 1[
La fonction carré est strictement décroissante sur ]-\infty  ; 0]
Donc si x \in [-5 ; 0] alors 02 \leq x^2 \leq (-4)2 soit 0 \leq x^2 \leq 25.

La fonction carré est strictement croissante sur [0 ;+\infty [
Donc si x \in [0 ; 1[ alors 0^2 \leq x^2 < 1^2 soit 0 \leq x^2 < 1.

Par conséquent si x \in [-5 ; 1[ alors 0 \leq x^2 \leq 25
Remarque : la valeur 1 est atteinte pour x = -1.


exercice 5


La fonction carré est strictement décroissante sur ]-\infty  ; 0].
Or -5 < -3 < 0 donc (-5)2 > (-3)2

La fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +\infty [.
Or 0 < 2 < 6 donc 22 < 62

La fonction carré est strictement décroissante sur ]-\infty  ; 0].
Or -\sqrt{5} < -\sqrt{3} < 0 donc (-\sqrt{3})^2 < (-\sqrt{5})^2

La fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +\infty [.
Or 1 + \frac{1}{3} \approx  1,33 < 1,5 donc 1,5^2 > (1+\frac{1}{3})^2
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