Fiche de mathématiques
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Fonctions linéaires et affines

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Fiche relue en 2016
Cours de mathématiques - Programme de seconde


Prérequis
Dans ce chapitre nous ferons appel essentiellement à tes connaissances sur le calcul littéral, les résolutions d'équations et la lecture graphique sur les représentations de fonctions.



Enjeu
Ce chapitre a déjà été abordé en classe de troisième mais il est important de le revoir pour bien assimiler la notion de fonction sur des objets simples. Il faut être capable à l'issu de ce chapitre de déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine par le calcul ou par lecture graphique, de représenter une fonction affine.



1. Définitions


Définition
On appelle fonction affine, toute fonction f définie sur l'ensemble des réels, noté \mathbb{R}, par f(x)=ax+ba et b sont deux réels.



Exemple : La fonction
f définie sur \mathbb{R} par f(x)=2x-5 est une fonction affine.

Remarque : Si le nombre b=0 on parle alors de fonction linéaire.

Ainsi la fonction définie par f(x)=3x est linéaire. En revanche la fonction définie par f(x)=2x^2-3 n'est ni linéaire, ni affine.

Définition
Soit f est une fonction affine définie pour tous réels x par f(x)=ax+b. Le nombre a est appelé coefficient directeur de la fonction et b l'ordonnée à l'origine.



Le coefficient directeur indique « la vitesse » à laquelle la fonction progresse verticalement et l'ordonnée à l'origine est l'ordonnée du point d'intersection de la courbe représentant la fonction et l'axe des ordonnées.

Exemple : Si f(x)=2x-5, le coefficient directeur est 2 et l'ordonnée à l'origine est 5.

2. Représentation graphique


La propriété suivante nous assure que toute fonction affine (ou linéaire) est représentée dans un repère du plan par une droite. La réciproque sera vue dans le chapitre sur les équations de droites.
Propriété
La représentation graphique, dans un repère du plan, d'une fonction affine est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.



On considère la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=-\frac{1}{4}x+3. On souhaite en fournir une représentation graphique.

Pour cela on choisit deux nombres au hasard et on va calculer les images respectives. En théorie, ces nombres peuvent être quelconque mais dans la pratique, du fait des erreurs de tracés, il est préférable d'avoir un écart raisonnable, dépendant du repère utilisé.

Ici, on va utiliser, par exemple x=-1 \text{ et } x=4.

f(-1) = -\frac{1}{4}\times(-1)+3=\frac{1}{4}+3=\frac{13}{4} Par conséquent la droite représentant la fonction f passe par le point de coordonnées (-1;\frac{13}{4})

f(4)=-\frac{1}{4}\times4+3=-1+3=2 Par conséquent la droite représentant la fonction f passe par le point de coordonnées (4;2).

Fonctions linéaires et affines - Cours maths seconde : image 1


Remarque : La droite représentant une fonction linéaire passe par l'origine du repère.

3. Expression algébrique


Un des enjeux de ce chapitre est d'être capable de déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine d'une fonction affine graphiquement et par le calcul.
Propriété
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=ax+b. Alors pour tous réels x_1 et x_2 distincts, on a : a=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}



Exemple 1 :
On considère la fonction affine f telle que f(1)=2\text{ et }f(3)=-4. On veut déterminer l'expression algébrique de cette fonction.
L'expression algébrique de cette fonction est de la forme f(x)=ax+b.

D'après la propriété ci-dessus, on a a=\frac{f(1)-f(3)}{1-3}=\frac{2-(-4)}{-2}=-3.

Ainsi f(x)=-3x+b.
On sait que f(1)=2. Mais on a également f(1)=-3\times1+b=-3+b.
Par conséquent -3+b=2 d'où b=5.
Finalement, une expression algébrique de f\text{ est }f(x)=-3x+5.
On vérifie que f(3)=-4. f(3)=-3\times3+5=-9+5=-4

Exemple 2 :
On souhaite déterminer graphiquement l'expression algébrique de la fonction dont la représentation est donnée ci-dessous.

Fonctions linéaires et affines - Cours maths seconde : image 2


La représentation graphique de la fonction f étant une droite, une expression algébrique est f(x)=ax+b.
On cherche deux points à coordonnées entières appartenant à la droite et on va déterminer le rapport \frac{\text{écart vertical}}{\text{écart horizontal}}.

Fonctions linéaires et affines - Cours maths seconde : image 3


Donc a=\frac{-1}{4}\text{ et }b=2 car il s'agit de l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. Finalement f(x)=-\frac{1}{4}x+2.

4. Variation et signe d'une fonction affine



Les notations restent les mêmes que précédemment. Soit f la fonction affine définie par f(x)=ax+b avec a\text{ et } b réels.
Remarque : si a=0 alors f(x)=b. Il s'agit alors d'une fonction constante, dont il est facile de donner le signe (même signe que b).
Variation
La variation d'une fonction affine dépend du signe de a, le coefficient directeur de f.


\begin{array}{c|c}\text{ cas } a > 0 &\text{ cas } a < 0 \\ \hline  f \text{ est croissante sur R }& f \text{ est décroissante sur R } \\ \\ \begin{array} {|c|cccc|} x & -\infty & & +\infty & \\\hline { } & & & & \\ {f} & & \nearrow & & \end{array} & \begin{array} {|c|cccc|} x & -\infty & & +\infty & \\\hline { } & & & & \\ {f} & & \searrow & & \end{array} \\ \\ \text{ la droite } ``\text{ monte} ''& \text{ la droite } ``\text{ descend }'' \\  \end{array}
Fonctions linéaires et affines - Cours maths seconde : image 7
Signe
Rappel : pour a\neq 0 f(x)=0 \text{ si } x=\dfrac{-b}{a} soit f\left(\dfrac{-b}{a}\right)=0

Nous allons étudier le signe de f(x)=ax+b suivant que a>0 ou a<0


\begin{array}{c|c}\text{ cas } a > 0 &\text{ cas } a < 0 \\ \\ \text{ la fonction est croissante, }&\text{ la fonction est décroissante, } \\ \text{ lorsque } x < -\dfrac{b}{a} \text{ alors } f(x) <f(\frac{-b}{a})&\text{ lorsque } x < -\dfrac{b}{a} \text{ alors }f(x)> f( -\dfrac{b}{a}) \\ \\f(x) < 0 & f(x)  > 0 \\ \\ \text{ et donc le signe de } f(x) \text{ est négatif  }&\text{ et donc le signe de } f(x) \text{ est positif } \\ \text{ et dans le tableau on mettra un signe } {\red{-}}& \text{ et dans le tableau on mettra un signe } {\red{+}}  \\   \\ \begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & -b/a & & +\infty & \\\hline {signe~de } & & & & & & \\ {ax + b} & & {\red{-}} & 0 & + & & \end{array}  &  \begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & -b/a & & +\infty & \\\hline {signe~de } & & & & & & \\ {ax + b} & & {\red{+}} & 0 & - & & \end{array} \\  \end{array}

Résumé
On peut résumer les deux cas a > 0 \text{ et } a < 0 \text{ dans le tableau suivant : }


\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & -b/a & & +\infty & \\\hline {signe~de } & & & & & & \\ {ax + b} && signe ~de~-a & 0 & signe~de~a & & \\ \hline \end{array}



Exemples


\begin{array}{c|c}\text{ cas } a > 0 &\text{ cas } a < 0 \\ \text{ Soit la fonction f définie sur R par } & \text{ Soit la fonction f définie sur R par }\\ f(x) = 2x+6  & f(x) = -3x+2 \\ \\ a=2 \text{ est le coefficient directeur de } f & a=-3 \text{ est le coefficient directeur de } f \\     b = 6 \text{ est l'ordonnée à l'origine } & b=2  \text{ est l'ordonnée à l'origine } \\   \\ \textbf{ Etude de la variation de } f &  \textbf{ Etude de la variation de } f\\   a>0\text{ donc la fonction est croissante sur R } & a<0\text{ donc la fonction est décroissante sur R } \\ \\   \textbf{ Tableau de variation } & \textbf{ Tableau de variation } \\ \\   \begin{array} {|c|cccc|} x & -\infty & & +\infty & \\\hline { } & & & & \\ {f} & & \nearrow & & \end{array}   &   \begin{array} {|c|cccc|} x & -\infty & & +\infty & \\\hline { } & & & & \\ {f} & & \searrow & & \end{array} \\ \\     \textbf{ Etude du signe de } f(x) &  \textbf{ Etude du signe de } f(x)\\       \end{array}

\begin{array}{c|c}\text{On a  } \dfrac{-b}{a}=\dfrac{-6}{2}=-3  &\text{On a  } \dfrac{-b}{a}=\dfrac{2}{3} \\ \\ \begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & -3 & & +\infty & \\\hline { } & & & & & & \\ {2x+6} & & - & 0 & + & & \\ \end{array} & \begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & \frac{2}{3} & & +\infty & \\\hline { } & & & & & & \\ {-3x+2} & & + & 0 & - & & \\ \end{array} \\ \end{array}

Fonctions linéaires et affines - Cours maths seconde : image 9

Merci à Carita pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche
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