Soit , un ensemble de nombres réels.
Définir une fonction sur l'ensemble , c'est associer à chaque réel de un unique réel .
On note :
est l'ensemble de définition de la fonction
est un antécédent de par la fonction
est l'image de par la fonction
Remarque : est une variable qu'on peut remplacer par une autre lettre :
Attention : est un nombre, alors que est une fonction (une boîte noire).
Exemples : On note la température d'une ville entre 8h et 20h. A chaque instant compris entre [8 ; 20], on associe la température mesurée f(t).
Ainsi s'il fait 10°C à 9h, on note : .
L'ensemble de définition de est [8 ; 20].
Soit g la fonction définie sur [-4 ; 7] par :
L'ensemble de définition de g est [-4 ; 7].
On associe le nombre -2 à 3 × (-2)² + 2 × (-2) - 1 = 7.
Ceci se note : g(-2) = 7.
Soit h la fonction définie par : .
Dire que est l'image de 6 par h s'écrit : .
L'image de 3 par h n'existe pas.
L'ensemble de définition de h est .
II. Représentation graphique
Définition :
Dans un plan muni d'un repère, la courbe représentative de la fonction est l'ensemble des points tel que :
L'abscisse appartient à l'ensemble de définition de ;
L'ordonnée est l'image de par : .
Exemple : soit la fonction définie sur par .
Table de valeurs :
-1
0
1
1,5
1,75
2
2,25
2,5
3
4
4
-1
-4
-4,75
-4,94
-5
-4,94
-4,75
-4
-1
Résolution graphique (unité le centimètre) :
Résoudre :
Résolution graphique :
S = {-0.5 ; 4.5}
Résolution algébrique :
Supposons qu'il existe un réel vérifiant
D'où :
Vérification : et .
S = .
Résoudre graphiquement revient à :
D'où : S = ]-0.5 ; 4.5[
Résoudre :
Résolution graphique :
S =
Résolution algébrique :
Supposons qu'il existe un réel vérifiant
D'où :
Un carré est toujours positif, ainsi il y a contradiction.
S =
III. Variation d'une fonction
1. Fonctions croissantes
Définition :
On dit qu'une fonction est croissante sur un intervalle I lorsque :
pour tous a et b I, on a : .
Remarque : l'ordre est conservé.
Représentation graphique :
Exemple : La fonction définie par : est croissante sur l'intervalle [2 ; 4] (voire sur [2 ; +[).
2. Fonctions décroissantes
Définition :
On dit qu'une fonction est décroissante sur un intervalle I lorsque :
pour tous a et b I, on a : .
Remarque : l'ordre est inversé.
Représentation graphique :
Exemple : La fonction définie par : est décroissante sur l'intervalle [-1 ; 2] (voire sur ]- ; 2]).
3. Tableau de variation
Le sens de variation d'une fonction est résumé par un tableau.
Exemple : Le tableau de variation de la fonction définie par : est :
4. Extrémum
Définition :
Soit une fonction définie sur et un réel .
est le maximum M de la fonction sur si pour tout de , on a : .
est le minimum m de la fonction sur si pour tout de , on a : .
Exemple : la fonction définie par : f a pour minimum -5. Il est atteint en 2.
Sur l'intervalle [-6 ; -3], a pour maximum 59 atteint en -6.
Publié par Muriel
le
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