Fiche de mathématiques
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Fonctions : Généralités

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I. Définition

Soit \mathcal{D}, un ensemble de nombres réels.
Définir une fonction f sur l'ensemble \mathcal{D}_{f}, c'est associer à chaque réel x de \mathcal{D}_{f} un unique réel y.
On note :
\begin{array}{lccc} f : & \mathcal{D}_{f} & \rightarrow & \mathbb{R} \\  & x & \mapsto & y=f(x) \\ \end{array}
\mathcal{D}_{f} est l'ensemble de définition de la fonction f
x est un antécédent de y par la fonction f
y = f(x) est l'image de x par la fonction f

Remarque : x est une variable qu'on peut remplacer par une autre lettre : t \mapsto f(t)
Attention : f(x) est un nombre, alors que f est une fonction (une boîte noire).

Exemples :
On note la température d'une ville entre 8h et 20h. A chaque instant t compris entre [8 ; 20], on associe la température mesurée f(t).
Ainsi s'il fait 10°C à 9h, on note : f(9) = 10.
L'ensemble de définition de f est [8 ; 20].
Soit g la fonction définie sur [-4 ; 7] par : g(x) = 3x^2 + 2x -1
L'ensemble de définition de g est [-4 ; 7].
On associe le nombre -2 à 3 × (-2)² + 2 × (-2) - 1 = 7.
Ceci se note : g(-2) = 7.
Soit h la fonction définie par : x \mapsto \dfrac{1}{x-3}.
Dire que \dfrac{1}{3} est l'image de 6 par h s'écrit : h(6) = \dfrac{1}{3}.
L'image de 3 par h n'existe pas.
L'ensemble de définition de h est \mathbb{R}\backslash\lbrace3\rbrace.


II. Représentation graphique

Définition :
Dans un plan muni d'un repère, la courbe représentative de la fonction f est l'ensemble des points \text{M} (x~;~y) tel que :
   L'abscisse x appartient à l'ensemble de définition de f ;
   L'ordonnée y est l'image de x par f : y = f(x).

Fonctions Généralités - seconde : image 1

Exemple : soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = (x - 2)^2 - 5.
Table de valeurs :
x-1011,51,7522,252,534
f(x) = (x - 2)^2 - 54-1-4-4,75-4,94-5-4,94-4,75-4-1

Résolution graphique (unité le centimètre) :
Fonctions Généralités - seconde : image 2


Résoudre : f(x) = 1,25
Résolution graphique :
Fonctions Généralités - seconde : image 3

S = {-0.5 ; 4.5}
Résolution algébrique :
Supposons qu'il existe un réel x vérifiant f(x) = \dfrac{5}{4}
D'où : (x - 2)^2 - 5 = \dfrac{5}{4}
\Rightarrow (x - 2)^2 = \dfrac{25}{4} \\ \Rightarrow (x - 2)^2 - \dfrac{25}{4} = 0 \\ \Rightarrow \left(x - 2 - \dfrac{5}{2} \right) \left(x - 2 + \dfrac{5}{2} \right) =0 \\ \Rightarrow x = \dfrac{9}{2} \text{ ou } x = -\dfrac{1}{2}
Vérification : f \left(\dfrac{9}{2} \right) = \dfrac{5}{4} et f \left(-\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{5}{4}.
S = \lbrace -\dfrac{1}{2} ; \dfrac{9}{2} \rbrace.

Résoudre f(x) < 1,25 graphiquement revient à :
Fonctions Généralités - seconde : image 4

D'où : S = ]-0.5 ; 4.5[


Résoudre : f(x) = -6
Résolution graphique :
Fonctions Généralités - seconde : image 5

S = \emptyset
Résolution algébrique :
Supposons qu'il existe un réel x vérifiant f(x) = -6
D'où : (x - 2)^2 - 5 = -6
\Rightarrow (x - 2)^2 = -1 Un carré est toujours positif, ainsi il y a contradiction.
S = \emptyset


III. Variation d'une fonction

1. Fonctions croissantes

Définition :
On dit qu'une fonction est croissante sur un intervalle I lorsque :
pour tous a et b \in I, on a : a \le b \Rightarrow f(a) \le f(b).


Remarque : l'ordre est conservé.
Représentation graphique :
Fonctions Généralités - seconde : image 6
Exemple :
La fonction f définie par : f (x) = (x - 2)^2 - 5 est croissante sur l'intervalle [2 ; 4] (voire sur [2 ; +\infty[).

2. Fonctions décroissantes

Définition :
On dit qu'une fonction est décroissante sur un intervalle I lorsque :
pour tous a et b \in I, on a : a \le b \Rightarrow f(a) \ge f(b).


Remarque : l'ordre est inversé.
Représentation graphique :
Fonctions Généralités - seconde : image 7
Exemple :
La fonction f définie par : f (x) = (x - 2)^2 - 5 est décroissante sur l'intervalle [-1 ; 2] (voire sur ]-\infty ; 2]).

3. Tableau de variation

Le sens de variation d'une fonction f est résumé par un tableau.
Exemple : Le tableau de variation de la fonction f définie par : f (x) = (x - 2)^2 - 5 est :
\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty &  & 2 & & +\infty \\ \hline f(x) &  & \decroit & \niveau{1}{2} -5 & \croit & \\ \hline \end{tabvar}

4. Extrémum

Définition :
Soit f une fonction définie sur \mathcal{D}_{f} et un réel a \in \mathcal{D}_{f}.
f(a) est le maximum M de la fonction f sur \mathcal{D}_{f} si pour tout x de \mathcal{D}_{f}, on a : f(x) \le f(a).
f(a) est le minimum m de la fonction f sur \mathcal{D}_{f} si pour tout x de \mathcal{D}_{f}, on a : f(x) \ge f(a).


Exemple : la fonction f définie par : f (x) = (x - 2)^2 - 5 a pour minimum -5. Il est atteint en 2.
Sur l'intervalle [-6 ; -3], f a pour maximum 59 atteint en -6.
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