Fiche de mathématiques
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Généralités sur les fonctions

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exercice 1

Exemple d'utilisation de la représentation graphique
La courbe ci dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur [-3; 3] :

deux exercices qui montrent des applications aux études de fonctions - seconde : image 1

1. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

2. Résoudre graphiquement les équations suivantes :
a) f(x) = 1b) f(x) = 0
c) f(x) = -1d) f(x) = 2


3. Déterminer le signe de f(x) en fonction de x.

4. Résoudre graphiquement l'équation f(x) = \dfrac{1}{2} x et l'inéquation f(x) \leq \dfrac{1}{2} x



exercice 2

Exemple d'étude du comportement d'une fonction : Le problème de la baignade surveillée

1. Soit f la fonction définie sur [0; 80] par f(x) = -2x² + 160x.
    a) Etudier les variations de la fonction f sur [0; 40], puis sur [40; 80].
    b) En déduire que f admet un maximum sur [0; 80].

2. Un maître nageur dispose d'une corde de 160m de longueur pour délimiter un rectangle de baignade surveillée.
À quelle distance du rivage doit il placer les bouées A et B pour que le rectangle ait une aire maximale ?

deux exercices qui montrent des applications aux études de fonctions - seconde : image 2




exercice 1

1.
 \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline  x&-3&&-2&&1&&3\\ \hline  \hspace{1pt}&1&&&&2&&\\ f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\ \hspace{1pt}&&&-1&&&&0\\ \hline \end{array}

2. a) f(x) = 1
On trace la droite d'équation y = 1 (droite parallèle à l'axe des abscisses). Cette droite coupe la courbe en trois points.
Les solutions de l'équation f(x) = 1 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite.
D'où : S = {-3; -1; 2}

2. b) f(x) = 0
On trace la droite d'équation y = 0 (c'est à l'axe des abscisses). Cette droite coupe la courbe en trois points.
Les solutions de l'équation f(x) = 0 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite.
D'où : S = {-2,5; -1,5; 3}

2. c) f(x) = -1
On trace la droite d'équation y = -1 (droite parallèle à l'axe des abscisses). Cette droite coupe la courbe en un point.
La solution de l'équation f(x) = -1 est l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite.
D'où : S = {-2}

2. d) f(x) = 2
On trace la droite d'équation y = 2 (droite parallèle à l'axe des abscisses). Cette droite coupe la courbe en un point.
La solution de l'équation f(x) = 2 est l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite.
D'où : S = {1}

3. \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline  x&-3&&-2,5&&-1,5&&3\\ \hline  f(x)&&+&0&-&0&+&\\ \hline  \end{array}
Pour tout x \in [-3; -2,5] \cup [-1,5; 3], f(x) \geq 0
Pour tout x \in [-2,5; -1,5], f(x) \leq 0

4. f(x) = \dfrac{1}{2} x
On trace la droite d'équation y = \dfrac{1}{2} x.

deux exercices qui montrent des applications aux études de fonctions - seconde : image 3

Cette droite coupe la courbe en deux points. Les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de la droite et de la courbe.
D'où : S = {-2; 2}

f(x) \leq \dfrac{1}{2} x
Les solutions de cette inéquation sont les abscisses des points de la courbe situés en-dessous ou sur la droite d'équation y = \dfrac{1}{2} x.
D'où : S = {-2} \cup [2; 3].



exercice 2

1. a) Variations de f sur [0; 40] :
Soient a et b deux réels de [0; 40] tels que a < b. On a :
f(a) - f(b) = -2a² + 160a - (-2b² + 160b)
= -2(a² - b²) + 160(a - b)
= -2(a - b)(a + b) + 160(a - b)
= (a - b)(-2(a + b) + 160)
= -2(a - b)(a + b - 80)
Comme a < b, alors a - b < 0.
Comme a et b sont deux réels de [0; 40], alors : a < 40 et b \leq 40.
Donc : a + b < 80, soit a + b - 80 < 0
Par conséquent : -2(a - b)(a + b - 80) < 0
D'où : 0 \leq a < b \leq 40 entraîne f(a) < f(b) : la fonction f est croissante sur [0; 40].

Variations de f sur [40; 80] :
Soient a et b deux réels de [40; 80] tels que a < b. On a :
f(a) - f(b) = -2(a - b)(a + b - 80)
Comme a < b, alors a - b < 0.
Comme a et b sont deux réels de [40; 80], alors : a \geq 40 et b > 40.
Donc : a + b > 80, soit a + b - 80 > 0
Par conséquent : -2(a - b)(a + b - 80) > 0
D'où : 40 \leq a < b \leq 80 entraîne f(a) > f(b) : la fonction f est décroissante sur [40; 80].

1. b) Comme f est croissante sur [0; 40] puis décroissante sur [40; 80], alors f admet un maximum atteint pour x = 40. Ce maximum vaut f(40) = 3 200.

2. x et y représentent les longueurs des côtés du rectangle dessiné sur le schéma.
La longueur de la corde dont on dispose est de 160 mètres, donc : 2x + y = 160,
soit y = 160 - 2x.
L'aire du rectangle est : xy = x(160 - 2x) = -2x² + 160x
D'après les questions précédentes, -2x² + 160x = f(x) et on a montré que cette fonction admet un maximum pour x = 40.
Si x = 40, alors y = 160 - 2 × 40 = 80.
D'où : la largeur du bassin est de 40 mètres et sa longueur de 80 mètres.
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