Fiche de mathématiques
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Fonction inverse

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exercice 1




On considère la fonction inverse f. Dans chacun des cas suivants, déterminer les images des réels fournis par la fonction f.

1 2

2 \frac{3}{4}

3 -0,2

4 -\frac{1}{7}

5 10^6

6 10^{-7}

7 \sqrt{2}


exercice 2


Dans chacun des cas suivants, utilise les variations de la fonction inverse pour déterminer à quel intervalle appartient \frac{1}{x} .

1 x \in  [3 ; 5]
2 x \in  ]-8 ; -3]
3 x \in  ]0 ; 7]
4 x \in  ]-9 ; 0[



exercice 3


Résoudre les inéquations suivantes :

1 \frac{1}{x} \geq  5

2 \frac{1}{x}  < 2

3 \frac{1}{x}  \geq  -2

4 \frac{1}{x}  < 7


exercice 4


Dans chacun des cas compare, en justifiant, les inverses des nombres fournis.

1 1,5 et 2,1
2 -0,5 et -2
3 -3,4 et 5
4 \sqrt{2} et \sqrt{5}
5 -3 et 3


exercice 5


On considère la fonction inverse f et la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x) = 2 - x.
Après avoir représenté graphiquement ces deux fonctions, détermine les coordonnées du point d'intersection des deux courbes.





exercice 1


1 L'image de 2 par la fonction f est \frac{1}{2}

2 L'image de \frac{3}{4} par la fonction f est \frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}

3 L'image de -0,2 par la fonction f est \frac{1}{-0,2} = -5

4 L'image de -\frac{1}{7} par la fonction f est \frac{1}{-\frac{1}{7}}=-7

5 L'image de 10^6 par la fonction f est \frac{1}{10^6} = 10^{-6}

6 L'image de 10^{-7} par la fonction f est \frac{1}{10^{-7}} = 10^7

7 L'image de \sqrt{2} par la fonction f est \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}


exercice 2


1 x \in  [3 ; 5]
La fonction inverse est décroissante sur l'intervalle ]0 ; +\infty [.
Par conséquent \frac{1}{x} \in  [\frac{1}{5};\frac{1}{3}].

2 x \in  ]-8 ; -3]
La fonction inverse est décroissante sur l'intervalle ]-\infty  ; 0[.
Par conséquent \frac{1}{x} \in [-\frac{1}{3}  ;-\frac{1}{8}[

3 x \in  ]0 ; 7]
La fonction inverse est décroissante sur l'intervalle ]0 ; +\infty [.
Par conséquent \frac{1}{x}\in [\frac{1}{7}  ;+\infty [

4 x \in  ]-9 ; 0[
La fonction inverse est décroissante sue l'intervalle ]-\infty  ; 0[.
Par conséquent \frac{1}{x} \in ]-\infty ;-\frac{1}{9}[


exercice 3


1 \frac{1}{x} \geq  5
Exercices sur la fonction inverse : image 1

Le point d'intersection de la courbe avec la droite est \frac{1}{5} .
On s'intéresse donc aux abscisses des points de la partie en rouge.
La solution de cette inéquation est par conséquent ]0;\frac{1}{5}].

2 \frac{1}{x} < 2
Exercices sur la fonction inverse : image 2

Le point d'intersection de la courbe avec la droite est \frac{1}{2} = 0,5.
On s'intéresse donc aux abscisses des points de la partie en rouge.
La solution de cette inéquation est donc ]-\infty  ; 0[ \cup  ]0,5 ; +\infty[.

3 \frac{1}{x} \geq  -2
Exercices sur la fonction inverse : image 3

Le point d'intersection de la courbe avec la droite est -\frac{1}{2} = -0,5.
On s'intéresse donc aux abscisses des points de la partie en rouge.
La solution de cette inéquation est donc ]-\infty  ; -0,5] \cup  ]0 ; +\infty [

4 \frac{1}{x} < 7
Exercices sur la fonction inverse : image 4

Le point d'intersection de la courbe avec la droite est \frac{1}{7}.
On s'intéresse donc aux abscisses des points de la partie en rouge.
La solution de cette inéquation est donc ]-\infty  ; 0[ \cup ]\frac{1}{7};+\infty [.


exercice 4


1 1,5 et 2,1
La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +\infty [.
Or 1,5 < 2,1 par conséquent \frac{1}{1,5} > \frac{1}{2,1} .

2 La fonction inverse est décroissante sur ]-\infty  ; 0[.
Or -0,5 > -2 par conséquent \frac{1}{-0,5} < \frac{1}{-2} .

3 Un nombre et son inverse ont le même signe .
Or -3,4 < 0 et 5 > 0
Par conséquent \frac{1}{-3,4} < 0 et \frac{1}{5} > 0 . Donc \frac{1}{-3,4} < \frac{1}{5}

4 La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +\infty [.
Or \sqrt{2} < \sqrt{5} donc \frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\sqrt{5}} .

5 Un nombre et son inverse ont le même signe .
Or -3 < 0 et 3 > 0
Par conséquent \frac{1}{-3} < 0 et \frac{1}{3} > 0 . Donc \frac{1}{-3} < \frac{1}{3}


exercice 5


Exercices sur la fonction inverse : image 5

L'abscisse du point d'intersection de ces deux courbes vérifie f(x) = g(x)
Soit \frac{1}{x} = 2 - x
Par conséquent \frac{1}{x} - 2 + x = 0
Ou encore \frac{1 - 2x + x^2}{x} = 0
C'est-à-dire \frac{(x - 1)^2}{x} = 0
Donc x = 1.
Or f(1) = \frac{1}{1}  = 1.

Par conséquent le point d'intersection des deux courbes a pour coordonnées (1 ; 1).
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