Fiche de mathématiques

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Fonctions polynômes du second degré et parabole :

des exercices classiques

exercice 1.

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions du second degré ?
Le cas échéant, on précisera les valeurs des coefficients a, b et c, ainsi que les coordonnées du sommet de la parabole.
a) $f(x) = -x²+2x+7$
b) $g(x) = 2x²-3$
c) $h(x) = x-8$
d) $j(x) = 5x + x² +9$

exercice 2.

Soit la fonction $f$ définie sur R par $f(x) = 2x²-4x-6$ , et $\mathcal C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
a) dresser le tableau de variation de la fonction $f$
b) en déduire l'extremum de la fonction ; pour quelle valeur de x cet extremum est-il atteint ?
c) faire un tableau de valeurs pour $x$ entier compris entre -4 et 6
d) tracer $\mathcal C_f$ sur un repère orthogonal dont vous aurez judicieusement choisi l'échelle
e) tracer la droite d'équation x=1. Que représente cette droite par rapport à la parabole ?
f) montrer que la forme factorisée de $f(x)$ est $f(x) = 2 (x - 3) (x + 1)$
g) en déduire les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal C_f$ avec l'axe des abscisses

Voir la correction

exercice 1.

a) $f(x) = -x^2+2x+7$
$a = -1$ en effet $-x^2 = (-1) \times x^2$ donc $a\neq0$ , il s'agit donc bien d'une fonction polynôme de degré 2.
b = 2
c = 7

Les coordonnées du sommet sont :

son abscisse est : $\alpha =\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-2}{2\times (-1)}=\dfrac{-2}{-2}=1$

son ordonnée est : $\beta=f(\alpha)=-1^2+2\times 1+7=8$
Le sommet S a pour coordonnées $(1\;;\;8)$

b) $g(x)=2x^2-3$
$a=2$ donc $a\neq 0$ et g est bien une fonction polynôme de degré 2
$b=0$ ; en effet, il n'y a pas de terme en $x$
$c=-3$

Les coordonnées du sommet sont :

son abscisse est : $\alpha =\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-0}{2\times 2}=0$

son ordonnée est : $\beta=f(\alpha)=2\times 0^2-3=-3$
Le sommet S a pour coordonnées $(0\;;\;-3)$

c) $h(x)=x-8$
$a=0$ ; en effet il n'y a pas de terme en $x^2$ ; h n'est pas un polynôme du second degré, mais une fonction affine ; sa représentation graphique est une droite.

d) $j(x)=5x+x^2+9$
On commence par écrire les puissances de $x$ dans l'ordre décroissant. On obtient : $j(x)=x^2+5x+9$
$a=1$ , donc $a\neq 0$ , il s'agit bien d'une fonction polynôme de degré 2.
$b=5 \text{ et } c=9$

Les coordonnées du sommet sont :

son abscisse est : $\alpha =\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-5}{2\times 1)}=\dfrac{-5}{2}$

son ordonnée est : $\beta=f(\alpha)=\dfrac{11}{4}$
Le sommet S a pour coordonnées $\left(\dfrac{-5}{2}\;;\;\dfrac{11}{4}\right)$

exercice 2.

a) $f(x)=2x^2-4x-6$ est une fonction polynôme du second degré, avec $a=2\;,\; b=-4\;,\; c=-6$
Sa courbe $\mathcal C_f$ est une parabole

$a> 0$ donc la parabole est "tournée vers le haut"

On calcule les coordonnées du sommet
$\alpha = \dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-4)}{2\times 2}=\dfrac{4}{4}=1$ et $\beta=f(1)=-8$

tableau de variation
$\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & 1 & & +\infty & \\ \hline {f(x)} & & \searrow &_{-8} & \nearrow & & \end{array}$
La fonction est décroissante sur $]-\infty\;;\;1]$ puis croissante sur $[1\;;\;+\infty[$

b) L'extremum est un minimum. Le minimum de la fonction est -8 ; et il est atteint pour $x=1$

c) Tableau de valeurs

$\begin{array} {|c|c|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|} \hline x & -4 & -3 & & -2 & & -1 & & 0 & & 1 & & 2 & & 3& & 4& & 5 &&6& \\ \hline {f(x)} & 42& 24 & & 10 & & 0 & & -6 & & -8 & & -6 & & 0 & & 10 & & 24 & & 42& \\ \hline \end{array}$

Les points de coordonnées (-4;42) ; (-3;24) ; (-2;10) etc. appartiennent à la courbe $\mathcal C_f$

d) sur le tableau précédent, on voit que sur l'intervalle [-4 ; 6] :

- Les abscisses varient de -4 à 6, soit une amplitude de 6-(-4)=10
On peut choisir une échelle de 1 cm pour 1 unité des abscisses (10 cm)

- Les ordonnées varient de -8 à 42, soit une amplitude de 42-(-8)=50
On peut choisir une échelle de 1 cm pour 5 unités des ordonnées (50/5 = 10 cm)
On place chaque point à partir du tableau de valeurs, et on les relie à la main, en lissant le tracé.

Exercices : fonctions polynômes de degré 2 et parabole : image 1

e) La droite d'équation $x=1$ est la droite parallèle à l'axe des ordonnées, et qui passe par le sommet S (voir graphique ci-dessus, en pointillés verts).
C'est l'axe de symétrie de la parabole.

f)On développe :
$2(x-3)(x+1)=2(x^2+x-3x-3)=2(x^2-2x-3)=2x^2-4x-6=f(x)$

f) Les abscisses des points d'intersection de $\mathcal C_f$ avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation $f(x) = 0$ .
On va choisir l'expression factorisée de $f(x)$ .
$2(x-3)(x+1)=0$ équivaut à dire $(x-3)(x+1)=0$ (équation produit nul)
On obtient $x-3=0\text{ ou } x+1=0$ soit $x=3 \text{ ou } x=-1$

Les points d'intersection sont donc $A(-1\;;\;0)$ et $B(3\;;\;0)$

Exercices : fonctions polynômes de degré 2 et parabole : image 2

Remarque : le milieu du segment [AB] appartient à l'axe de symétrie de la parabole.

Merci à carita pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Publié par malou le 31-10-2020

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