Fiche de mathématiques
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Fonctions polynômes du second degré et parabole :

des exercices classiques

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exercice 1.


Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions du second degré ?
Le cas échéant, on précisera les valeurs des coefficients a, b et c, ainsi que les coordonnées du sommet de la parabole.
a) f(x) = -x²+2x+7
b) g(x) = 2x²-3
c) h(x) = x-8
d) j(x) = 5x + x² +9

exercice 2.


Soit la fonction f définie sur R par f(x) = 2x²-4x-6, et \mathcal C_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
a) dresser le tableau de variation de la fonction f
b) en déduire l'extremum de la fonction ; pour quelle valeur de x cet extremum est-il atteint ?
c) faire un tableau de valeurs pour x entier compris entre -4 et 6
d) tracer \mathcal C_f sur un repère orthogonal dont vous aurez judicieusement choisi l'échelle
e) tracer la droite d'équation x=1. Que représente cette droite par rapport à la parabole ?
f) montrer que la forme factorisée de f(x) est f(x) = 2 (x - 3) (x + 1)
g) en déduire les coordonnées des points d'intersection de \mathcal C_f avec l'axe des abscisses





exercice 1.


a) f(x) = -x^2+2x+7
a = -1 en effet -x^2 = (-1) \times x^2 donc  a\neq0, il s'agit donc bien d'une fonction polynôme de degré 2.
b = 2
c = 7

Les coordonnées du sommet sont :

son abscisse est : \alpha =\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-2}{2\times (-1)}=\dfrac{-2}{-2}=1

son ordonnée est : \beta=f(\alpha)=-1^2+2\times 1+7=8
Le sommet S a pour coordonnées (1\;;\;8)

b) g(x)=2x^2-3
a=2 donc a\neq 0 et g est bien une fonction polynôme de degré 2
b=0 ; en effet, il n'y a pas de terme en x
c=-3

Les coordonnées du sommet sont :

son abscisse est : \alpha =\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-0}{2\times 2}=0

son ordonnée est : \beta=f(\alpha)=2\times 0^2-3=-3
Le sommet S a pour coordonnées (0\;;\;-3)

c) h(x)=x-8
a=0 ; en effet il n'y a pas de terme en x^2 ; h n'est pas un polynôme du second degré, mais une fonction affine ; sa représentation graphique est une droite.

d) j(x)=5x+x^2+9
On commence par écrire les puissances de x dans l'ordre décroissant. On obtient :j(x)=x^2+5x+9
a=1 , donc a\neq 0 , il s'agit bien d'une fonction polynôme de degré 2.
b=5 \text{ et } c=9

Les coordonnées du sommet sont :

son abscisse est : \alpha =\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-5}{2\times 1)}=\dfrac{-5}{2}

son ordonnée est : \beta=f(\alpha)=\dfrac{11}{4}
Le sommet S a pour coordonnées \left(\dfrac{-5}{2}\;;\;\dfrac{11}{4}\right)

exercice 2.


a) f(x)=2x^2-4x-6 est une fonction polynôme du second degré, avec a=2\;,\; b=-4\;,\; c=-6
Sa courbe \mathcal C_f est une parabole

a> 0 donc la parabole est "tournée vers le haut"

On calcule les coordonnées du sommet
\alpha = \dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-4)}{2\times 2}=\dfrac{4}{4}=1 et \beta=f(1)=-8

tableau de variation
\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & 1 & & +\infty & \\ \hline {f(x)} & & \searrow &_{-8} & \nearrow & & \end{array}

La fonction est décroissante sur ]-\infty\;;\;1] puis croissante sur [1\;;\;+\infty[

b) L'extremum est un minimum. Le minimum de la fonction est -8 ; et il est atteint pour x=1

c) Tableau de valeurs

\begin{array} {|c|c|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|} \hline x & -4 & -3 & & -2 & & -1 & & 0 & & 1 & & 2 & & 3& & 4& & 5 &&6& \\ \hline {f(x)} & 42& 24 & & 10 & & 0 & & -6 & & -8 & & -6 & & 0 & & 10 & & 24 & & 42& \\ \hline \end{array}


Les points de coordonnées (-4;42) ; (-3;24) ; (-2;10) etc. appartiennent à la courbe \mathcal C_f

d) sur le tableau précédent, on voit que sur l'intervalle [-4 ; 6] :

- Les abscisses varient de -4 à 6, soit une amplitude de 6-(-4)=10
On peut choisir une échelle de 1 cm pour 1 unité des abscisses (10 cm)

- Les ordonnées varient de -8 à 42, soit une amplitude de 42-(-8)=50
On peut choisir une échelle de 1 cm pour 5 unités des ordonnées (50/5 = 10 cm)
On place chaque point à partir du tableau de valeurs, et on les relie à la main, en lissant le tracé.
Exercices : fonctions polynômes de degré 2 et parabole : image 1


e) La droite d'équation x=1 est la droite parallèle à l'axe des ordonnées, et qui passe par le sommet S (voir graphique ci-dessus, en pointillés verts).
C'est l'axe de symétrie de la parabole.

f)On développe :
2(x-3)(x+1)=2(x^2+x-3x-3)=2(x^2-2x-3)=2x^2-4x-6=f(x)

f) Les abscisses des points d'intersection de \mathcal C_f avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation f(x) = 0.
On va choisir l'expression factorisée de f(x).
2(x-3)(x+1)=0 équivaut à dire (x-3)(x+1)=0 (équation produit nul)
On obtient x-3=0\text{ ou } x+1=0 soit x=3 \text{ ou } x=-1

Les points d'intersection sont donc  A(-1\;;\;0) et B(3\;;\;0)
Exercices : fonctions polynômes de degré 2 et parabole : image 2


Remarque : le milieu du segment [AB] appartient à l'axe de symétrie de la parabole.


Merci à carita pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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