Fiche de mathématiques
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Systèmes linéaires, fonctions affines, fonctions linéaires

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I. Systèmes linéaires

Définition :
Un système linéaire à deux inconnues peut s'écrire sous cette forme :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} ax+by & c \\ a'x+b'y & c' \\ \end{array} \right.     où a, a', b, b', c et c' sont des réels donnés.


Résoudre un tel système, c'est trouver les couples (x ; y) vérifiant ce système.

Exemple :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x+y & 0 \\ 4x+3y & 1 \\ \end{array} \right.
\marhcal{S} = \left \lbrace \left( - \displaystyle \frac{1}{2} ; 1 \right) \right \rbrace

Il peut y avoir une infinité de solutions, une unique solution, ou aucune solution.
Si ab' - a'b \ne 0, alors le système admet une unique solution.
Exemple :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x+y & 0 \\ 4x+3y & 1 \\ \end{array} \right.
2 \times 3 - 4 \times 1\ne0.
Il n'y a qu'une solution.

Si ab'-a'b = 0, alors il y a deux cas à envisager :
       Les deux équations sont proportionnelles et il y a une infinité de solution.
Exemple :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x+3y & 5 (1) \\ 4x+6y & 10 (2)\\ \end{array} \right.
2\times6-4\times3=0 et (2) = 2 × (1).
Il y a une infinité de solutions
       Les deux équations ne sont pas proportionnelles et il n'y a aucune solution.
Exemple :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x+3y & 5 (1)\\ 4x+6y & 5 (2)\\ \end{array} \right.
2\times6-4\times3=0 et pas de proportionnalité.
Il n'y a pas de solution.


II. Fonctions affines

Définition :
On appelle fonction affine les fonctions du type : x \mapsto m x + p avec m, p \in \mathbb{R}.


Exemple :
Un abonnement de cinéma revient à 10 € la carte, puis 5 € à chaque séance.
Pour x séances, cela revient à 5x + 10 euros.
Ainsi on peut définir la fonction qui donne le prix en fonction du nombre de séances : x \mapsto 5x + 10.

Remarques :
Si p = 0, la fonction est dite linéaire : x \mapsto m x avec m réel.
Si m = 0, la fonction est dite constante : x \mapsto p avec p réel.
Propriété :
Soit f une fonction affine définie par x \mapsto m x + p avec m, p \in \mathbb{R}.
     f est croissante sur \mathbb{R} si m > 0.
     f est décroissante sur \mathbb{R} si m < 0.


La démonstration se fait à l'aide de la définition de croissance et décroissance d'une fonction.

Tableau de valeurs de la fonction x \mapsto 5x + 10 :
x0123456
5x + 1010152025303540

Ce n'est pas un tableau de proportionnalité. La fonction n'est pas linéaire. Ainsi, on ne peut trouver le réel m par simple division.


III. Taux de variation

Exemple : Trouver la fonction affine telle que nous ayons :
x-4-235
f(x)-9-559

Nous savons qu'une telle fonction s'écrit sous cette forme : f(x) = m x + p avec m et p réels.
Ainsi en particulier nous avons : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} f(-2) & -2m+p = -5 \\ f(3) & 3m+p = 5 \\ \end{array} \right.
En soustrayant membre à membre nous obtenons : (3 - (-2)) m = 8 - (-7), soit : m = \displaystyle \frac{5-(-5)}{3-(-2)}=2
Pour le nombre p, il suffira de remplacer la valeur de m dans une des équations :
p = 5 - 3   2 = -1
Ainsi la fonction affine est : x \mapsto 2x - 1.

Plus généralement, pour trouver le réel m, il suffit de prendre deux réels x_1 et x_2 distincts tels qu'on connaît les images. Nous avons ainsi : \fbox{ \displaystyle m = \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} }.
Définition :
\displaystyle \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} est appelé taux de variation de la fonction f.




IV. Variation d'une fonction affine

Représentation graphique de la fonction affine : x \mapsto 2x - 1 sur \mathbb{R}.
cours sur les systèmes, fonctions affines et fonctions linéaires - seconde : image 1
Définitions :
Une fonction affine est représentée par une droite.
Le nombre m est appelé coefficient directeur de la droite représentant la fonction f : x \mapsto m x + p avec m, p \in \mathbb{R}.
(le vecteur de coordonnées \bigl(\begin{smallmatrix}1\\m\end{smallmatrix}\bigr) est appelé vecteur directeur de la droite).
Le nombre p est appelé ordonnée à l'origine de la droite représentant la fonction f : x \mapsto m x + p avec m, p \in \mathbb{R}.
y = m x + p est appelé équation réduite de la droite représentant la fonction f : x \mapsto m x + p avec m, p \in \mathbb{R}.


Remarque :
La droite parallèle à l'axe des ordonnées ne représente pas une fonction affine.
cours sur les systèmes, fonctions affines et fonctions linéaires - seconde : image 2

Propriété :
Soient deux droites (d) d'équation y = m x + p et (d') d'équation y = m' x + p'.
(d) // (d') \Longleftrightarrow  m = m'


La démonstration se fait à l'aide de vecteurs :
Soit \vec{u} et \vec{u'} les vecteurs directeurs de la droite (d) et de la droite (d').
(d) // (d') \Longleftrightarrow \vec{u} et \vec{u'} sont colinéaires.
(d) // (d') \Longleftrightarrow  x_{\vec{u}} \times y_{\vec{u'}'} - x_{\vec{u'}}\times y_{\vec{u}} = 0.
(d) // (d') \Longleftrightarrow  1 \times m' - 1 \times m = 0.
(d) // (d') \Longleftrightarrow  m = m'.

Recherche du signe de m x + p avec m \neq 0
m x + p = 0 \Longleftrightarrow x = - \displaystyle \frac{p}{m}.
\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty &  & -\frac{p}{m} & & +\infty \\ \hline mx + p & & \text{signe de -m} & 0 & \text{signe de m}& \\ \hline \end{tabvar}

Exemple :
Soit la fonction f définie par : x \mapsto 2x - 1 sur \mathbb{R}.
\begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -\infty &  & \frac{1}{2} & & +\infty \\ \hline 2x-1 & & - & 0 & + & \\ \hline \end{tabvar}
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