Fiche de mathématiques
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Exercice sur la résolution de systèmes

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exercice

1. On considère le système suivant : \begin{cases} 45x+30y=510 \\27x+20y=316 \end{cases}.
a. Les nombres x=10 et y=2 sont-ils solutions de ce système?
b. Résoudre le système.
2. Pour les fêtes de fin d'année, un groupe d'amis souhaite emmener leurs enfants assister à un spectacle au Palais des Congrès à Paris.
Les tarifs sont les suivants :
\bullet 45 euros par adulte et 30 euros par enfant s'ils réservent en catégorie 1.
\bullet 27 euros par adulte et 20 euros par enfant s'ils réservent en catégorie 2.
Le coût total pour ce groupe d'amis est de 510 euros s'ils réservent en catégorie 1 et 316 euros s'ils réservent en catégorie 2.
Déterminer le nombre d'adultes et d'enfants de ce groupe?



Voir la correction


1. a. Regardons si les nombres x=10 et y=2 vérifient chacune des deux équations :

45 \times 10+30\times 2 = 450 + 60 =510\checkmark
27\times 10+20 \times 2=270 + 40 = 310 \neq 316

Le couple (10;2) n'est donc pas solution du système.
b. Nous allons résoudre ce système à l'aide de combinaisons linéaires :
\begin{cases} 45x+30y=510&(\times 20)\\27x+20y=316 &(\times 30) \end{cases}

\begin{array}{rcccl} &900x&+&600y&=10~200 \\-(&810x&+&600y&=9~480) \\ \hline &90x & & &=720\\ && \text{donc} &x&= 8 \end{array}
On reporte ce résultat dans la première équation :
45 \times 8 + 30y=510 soit 360+30y=510 donc 30y=150 d'où y=5.
On vérifie que le couple (8;5) est bien solution de la seconde équation :
27\times 8+20\times 5=216+100=316\checkmark.
Par conséquent la solution du système est (8;5).
2. On appelle A le nombre d'adultes et E le nombre d'enfants.
Avec la première catégorie on obtient l'équation 45A+30E=510.
Avec la seconde catégorie on obtient l'équation 27A+20E=316.

On est donc ramené à résoudre le système \begin{cases} 45A+30E=510\\27A+20E=316\end{cases}.

D'après la question précédente le couple (8;5) est solution de ce système.
Il y avait donc 8 adultes et 5 enfants dans ce groupe.

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