Exercice sur la résolution de systèmes
exercice
1. On considère le système suivant :
![\begin{cases} 45x+30y=510 \\27x+20y=316 \end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \begin{cases} 45x+30y=510 \\27x+20y=316 \end{cases})
.
a. Les nombres
![x=10](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x=10)
et
![y=2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y=2)
sont-ils solutions de ce système?
b. Résoudre le système.
2. Pour les fêtes de fin d'année, un groupe d'amis souhaite emmener leurs enfants assister à un
spectacle au Palais des Congrès à Paris.
Les tarifs sont les suivants :
![45](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?45)
euros par adulte et
![30](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?30)
euros par enfant s'ils réservent en catégorie 1.
![27](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?27)
euros par adulte et
![20](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?20)
euros par enfant s'ils réservent en catégorie 2.
Le coût total pour ce groupe d'amis est de
![510](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?510)
euros s'ils réservent en catégorie 1 et
![316](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?316)
euros s'ils
réservent en catégorie 2.
Déterminer le nombre d'adultes et d'enfants de ce groupe?
1. a. Regardons si les nombres
![x=10](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x=10)
et
![y=2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y=2)
vérifient chacune
des deux équations :
Le couple
![(10;2)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(10;2))
n'est donc pas solution du système.
b. Nous allons résoudre ce système à l'aide de combinaisons linéaires :
![\begin{array}{rcccl} &900x&+&600y&=10~200 \\-(&810x&+&600y&=9~480) \\ \hline &90x & & &=720\\ && \text{donc} &x&= 8 \end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \begin{array}{rcccl} &900x&+&600y&=10~200 \\-(&810x&+&600y&=9~480) \\ \hline &90x & & &=720\\ && \text{donc} &x&= 8 \end{array})
On reporte ce résultat dans la première équation :
![45 \times 8 + 30y=510](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? 45 \times 8 + 30y=510)
soit
![360+30y=510](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?360+30y=510)
donc
![30y=150](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?30y=150)
d'où
![y=5](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y=5)
.
On vérifie que le couple
![(8;5)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(8;5))
est bien solution de la seconde équation :
![27\times 8+20\times 5=216+100=316\checkmark](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? 27\times 8+20\times 5=216+100=316\checkmark)
.
Par conséquent la solution du système est
![(8;5)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(8;5))
.
2. On appelle
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
le nombre d'adultes et
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
le nombre d'enfants.
Avec la première catégorie on obtient l'équation
![45A+30E=510](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?45A+30E=510)
.
Avec la seconde catégorie on obtient l'équation
![27A+20E=316](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?27A+20E=316)
.
On est donc ramené à résoudre le système
![\begin{cases} 45A+30E=510\\27A+20E=316\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases} 45A+30E=510\\27A+20E=316\end{cases})
.
D'après la question précédente le couple
![(8;5)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(8;5))
est solution de ce système.
Il y avait donc
![8](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?8)
adultes et
![5](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?5)
enfants dans ce groupe.