I Résolution de systèmes de 2 équations à 2 inconnues

Un système d'équations est un ensemble d'équation possédant très souvent plusieurs inconnues. Dans le cas qui nous intéresse, on veut résoudre des systèmes du type c'est-à-dire trouver le couple qui soit solution des deux équations en même temps.

Prenons l'exemple suivant : .
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre ce type de système d'équations à 2 inconnues.

1. La méthode par substitution

Elle part du principe que le couple solution , s'il existe, est commun aux 2 équations. On va donc chercher à exprimer une des deux inconnues en fonction de l'autre pour ensuite se ramener à résoudre une équation où il n'y a plus qu'une seule inconnue.
A l'aide de l'équation on peut écrite que .
On obtient alors le système :
On va maintenant remplacer le de la seconde équation par son expression en fonction de qu'on vient de trouver.
Cela donne alors :
On développe cette seconde équation et on obtient :
On simplifie l'écriture de la deuxième équation :
On résout maintenant l'équation du premier degré pour trouver la valeur de :
Maintenant qu'on connaît la valeur de , il ne nous reste plus qu'à remplacer par sa valeur dans la première équation. Pour un soucis de lecture, on va échanger de place les deux équations : On finit les calculs : La solution de notre système est donc .

Il peut être utile de procéder à une vérification. Pour cela, on remplace les inconnues par les valeurs qu'on vient de trouver dans chacune des équations et on vérifie si on retrouve bien l'égalité :
Remarque : Cette méthode est particulièrement utile quand est des coefficients de ou de vaut ou .

2. La méthode par combinaisons linéaires

Cette méthode utilise les propriétés suivantes :
Le but de cette méthode est de multiplier les équations par des nombres judicieusement choisis pour qu'en additionnant ou soustrayant les équations on n'ait plus qu'une seule inconnue.
Reprenons notre système :
On va chercher, par exemple, à "éliminer" l'inconnue . Pour cela on va :
multiplier la première équation par qui est le coefficient de l'inconnue de la seconde équation.
multiplier la seconde équation par qui est le coefficient de l'inconnue de la première équation.
On obtient alors le système :
On va maintenant soustraire nos deux équations pour ainsi ne plus avoir de termes en .

On remplace maintenant cette valeur dans l'une des deux équations :
Si on choisit la première équation : soit et donc .
La solution du système est donc .
On vérifie que la solution proposée vérifie la seconde équation : .

3. Interprétation graphique

Tu verras au lycée que les équation du type correspondent en fait à des équations de droite.
Voyons comment montrer, sur un exemple, qu'il s'agit bien d'une droite quand .
peut aussi s'écrire . Il s'agit donc d'une expression affine qui est, par conséquent, représentée par une droite.
La solution du système correspond aux coordonnées, dans un repère, du point d'intersection des deux droites.
A l'aide d'un logiciel de géométrie, on a tracé les deux droites associées au système

On lit les coordonnées du point d'intersection qui correspondent aux valeurs trouvées lors de la résolution du système.

II Résolution de problèmes

Exemple : (brevet Nouvelle Calédonie Mars 2015)
L'association des Enfants Heureux organise une course. Chaque enfant a un vélo ou un tricyle. L'organisateur a compté enfants et roues.
1. Combien de vélos et combien de tricycles sont engagés dans cette course?
2. Chaque vélo engagé rapporte F et chaque tricycle F. Calculer la somme que l'association des Enfants Heureux recevra.

1. Première étape : on identifie ce que nos inconnues vont représenter.
On cherche le nombre de vélos et le nombre de tricycle engagés.
On va donc appeler le nombre de vélos et le nombre de tricyles.
Deuxième étape : on met en équation le problème donné.
On a enfants. Cela signifie donc que .
On a compté roues. Chaque vélo possède roues et chaque tricycles possède roues. On a donc l'équation .
Troisième étape : On résout le système .
A l'aide de la méthode par substitution.












On vérifie que le couple est bien solution du système.


A l'aide de la méthode par combinaisons linéaires




On reporte cette valeur dans la première équation :
donc et finalement .
On contrôle que les valeurs trouvées vérifient la seconde équation : .

Conclusion : vélos et tricycles étaient engagés dans cette course.
2. On utilise ces valeurs pour répondre à la question posée.

L'association recevra donc F grace à cette course.