Fiche de mathématiques
> >

Sytèmes d'équations

Partager :
Prérequis :
Dans ce chapitre sur les résolutions de systèmes d'équations tu vas avoir besoin de savoir résoudre des équations du type ax+b=c et calculer correctement avec des fractions.

Enjeu :
Le but de ce chapitre est de trouver, quand elle existe, la solution commune à plusieurs équations possédant plusieurs inconnues. Tu auras besoin de cette notion au lycée, par exemple, quand tu aborderas les équations de droites et que tu chercheras les coordonnées du point d'intersection de deux droites.

I Résolution de systèmes de 2 équations à 2 inconnues

Un système d'équations est un ensemble d'équation possédant très souvent plusieurs inconnues. Dans le cas qui nous intéresse, on veut résoudre des systèmes du type \begin{cases} ax+by=c\\dx+ey=f \end{cases} c'est-à-dire trouver le couple (x;y) qui soit solution des deux équations en même temps.

Prenons l'exemple suivant : \begin{cases} 3x+y=5\\2x-3y=-4 \end{cases}.
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre ce type de système d'équations à 2 inconnues.

1. La méthode par substitution

Elle part du principe que le couple solution (x;y), s'il existe, est commun aux 2 équations. On va donc chercher à exprimer une des deux inconnues en fonction de l'autre pour ensuite se ramener à résoudre une équation où il n'y a plus qu'une seule inconnue.
A l'aide de l'équation  3x+y=5 on peut écrite que y=5-3x.
On obtient alors le système :
\begin{cases} y=5-3x\\ 2x-3y=-4 \end{cases}
On va maintenant remplacer le y de la seconde équation par son expression en fonction de x qu'on vient de trouver.
Cela donne alors :
\begin{cases} y=5-3x \\2x-3(5-3x)=-4 \end{cases}
On développe cette seconde équation et on obtient :
 \begin{cases} y=5-3x\\2x-15+9x=-4 \end{cases}
On simplifie l'écriture de la deuxième équation :
\begin{cases} y=5-3x \\11x=11 \end{cases}
On résout maintenant l'équation du premier degré pour trouver la valeur de x :
\begin{cases} y=5-3x\\x=1 \end{cases}
Maintenant qu'on connaît la valeur de x, il ne nous reste plus qu'à remplacer x par sa valeur dans la première équation. Pour un soucis de lecture, on va échanger de place les deux équations :
\begin{cases} x=1\\y=5-3\times 1 \end{cases}
On finit les calculs :
 \begin{cases}x=1\\y=2 \end{cases}
La solution de notre système est donc (1;2).

Il peut être utile de procéder à une vérification. Pour cela, on remplace les inconnues par les valeurs qu'on vient de trouver dans chacune des équations et on vérifie si on retrouve bien l'égalité :
 \begin{cases} 3\times 1+ 2 =3+2 =5 \checkmark \\2\times 1-3\times 2 = 2-6=-4 \checkmark \end{cases}

Remarque : Cette méthode est particulièrement utile quand est des coefficients de x ou de y vaut 1 ou -1.

2. La méthode par combinaisons linéaires

Cette méthode utilise les propriétés suivantes :
Propriétés :
On peut multiplier ou diviser une équation d'un système par un nombre non nul sans changer les solutions du système.
On peut ajouter ou soustraire deux équations d'un système sans changer les solutions du système.

Le but de cette méthode est de multiplier les équations par des nombres judicieusement choisis pour qu'en additionnant ou soustrayant les équations on n'ait plus qu'une seule inconnue.
Reprenons notre système : \begin{cases} 3x+y=5\\2x-3y=-4 \end{cases}
On va chercher, par exemple, à "éliminer" l'inconnue x. Pour cela on va :
multiplier la première équation par 2 qui est le coefficient de l'inconnue de la seconde équation.
multiplier la seconde équation par 3 qui est le coefficient de l'inconnue de la première équation.
On obtient alors le système :
 \begin{cases} 6x+2y=10\\6x-9y=-12\end{cases}
On va maintenant soustraire nos deux équations pour ainsi ne plus avoir de termes en x.
 \phantom{\dfrac{\dfrac{1}{2}}{4}}
 \begin{array}{rcccl} & 6x&+&2y&=10 \\-(&6x&-&9y&=-12)\\ \hline & & &11y&=22 \\ & &\text{donc} & y&=2\end{array}
On remplace maintenant cette valeur dans l'une des deux équations :
Si on choisit la première équation :  3x+2=5 soit 3x=3 et donc x=1.
La solution du système est donc (1;2).
On vérifie que la solution proposée vérifie la seconde équation : 2\times 1-3\times 2 = 2-6 = -4 \checkmark.

3. Interprétation graphique

Tu verras au lycée que les équation du type ax+by=c correspondent en fait à des équations de droite.
Voyons comment montrer, sur un exemple, qu'il s'agit bien d'une droite quand b\neq 0.
3x+y=5 peut aussi s'écrire y=5-3x. Il s'agit donc d'une expression affine qui est, par conséquent, représentée par une droite.
La solution du système correspond aux coordonnées, dans un repère, du point d'intersection des deux droites.
A l'aide d'un logiciel de géométrie, on a tracé les deux droites associées au système \begin{cases} 3x+y=5\\2x-3y=-4 \end{cases}
Résoudre des systèmes et les mettre en équation : image 1
On lit les coordonnées du point d'intersection (1;2) qui correspondent aux valeurs trouvées lors de la résolution du système.

II Résolution de problèmes

Exemple : (brevet Nouvelle Calédonie Mars 2015)
L'association des Enfants Heureux organise une course. Chaque enfant a un vélo ou un tricyle. L'organisateur a compté 64 enfants et 151 roues.
1. Combien de vélos et combien de tricycles sont engagés dans cette course?
2. Chaque vélo engagé rapporte 500 F et chaque tricycle 400 F. Calculer la somme que l'association des Enfants Heureux recevra.

1. Première étape : on identifie ce que nos inconnues vont représenter.
On cherche le nombre de vélos et le nombre de tricycle engagés.
On va donc appeler V le nombre de vélos et T le nombre de tricyles.
Deuxième étape : on met en équation le problème donné.
On a 64 enfants. Cela signifie donc que V+T=64.
On a compté 151 roues. Chaque vélo possède 2 roues et chaque tricycles possède 3 roues. On a donc l'équation 2V+3T=151.
Troisième étape : On résout le système \begin{cases} V+T=64\\2V+3T=151\end{cases}.
A l'aide de la méthode par substitution.

 \begin{cases} V=64-T\\2V+3T=151\end{cases}

 \begin{cases} V=64-T\\2(64-T)+3T=151\end{cases}

 \begin{cases} V=64-T\\128-2T+3T=151\end{cases}

 \begin{cases} V=64-T\\T=23\end{cases}

 \begin{cases} T=23\\V=64-23\end{cases}

 \begin{cases} T=23\\V=41\end{cases}
On vérifie que le couple (41;23) est bien solution du système.
\begin{cases} 41+23=64\checkmark \\ 2\times 41+3\times 23 = 82+69 = 151 \checkmark \end{cases}

A l'aide de la méthode par combinaisons linéaires

\begin{cases} V+T=64 & (\times 2)\\2V+3T=151 &(\times 1)\end{cases}

 \begin{array}{rcccl} &2V&+&2T&=128 \\-(&2V&+&3T&=151)\\ \hline & & &-T&=-23 \\ & &\text{donc} & T & =23 \end{cases}
On reporte cette valeur dans la première équation :
 V+23=64 donc V=64-23 et finalement V=41.
On contrôle que les valeurs trouvées vérifient la seconde équation : 2\times 41+3\times 23=82+69=151\checkmark.

Conclusion : 41 vélos et 23 tricycles étaient engagés dans cette course.
2. On utilise ces valeurs pour répondre à la question posée.
41\times 500+23\times 400=29~700
L'association recevra donc 29~700 F grace à cette course.

Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Eh01
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1225 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !