Fiche de mathématiques

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Système de deux équations du premier degré à deux inconnues

Fiche relue en 2016

Les trois méthodes de résolution

Première méthode : Méthode de substitution

Substituer, c'est remplacer par (mettre à la place de).
Suivre les indications pour résoudre le système suivant :

$\left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + y = 7 \\ 2 x - 3 y = 1 \\ \end{array} \right.$

Première étape :

$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r} 3 x + y = 7 & (1)\\ 2 x - 3 y = 1 & (2)\\ \end{array} \right.$
Isoler y dans l'équation (1)
Remplacer y par sa valeur dans l'équation (2)

$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r} y = ...................... & (1')\\ 2 x - 3 (..............) = 1 & \;\\ \end{array} \right.$

Deuxième étape :
Conserver l'équation (1')
Effectuer les calculs dans l'équation (2)

$\left \lbrace \begin{array}{l} y = ......................\\ ...................... = 1\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} y = ......................\\ ...................... = 1\\ \end{array} \right.$

Troisième étape :
Conserver l'équation (1')
Calculer la valeur de x

$\left \lbrace \begin{array}{l} y = ......................\\ ...................................\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} y = ......................\\ ...................................\\ \end{array} \right.$

Quatrième étape :
Remplacer x dans (1') par la valeur trouvée, et calculer y
Conserver la valeur de x

$\left \lbrace \begin{array}{l} y = ...................\\ x = ....................\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} y = ...................\\ x = ....................\\ \end{array} \right.$

CONCLUSION : $\left \lbrace \begin{array}{l} x = \\ y = \\ \end{array} \right.$ ou S = {( ; )}.

Phrase de conclusion : Le système $\left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + y = 7 \\ 2 x - 3 y = 1 \\ \end{array} \right.$ admet pour solution ( ; ) .

Vérification :

Deuxième méthode : Méthode d'addition (ou combinaison linéaire)

Résoudre le système

$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r} 3 x + 2 y = 7 & (1)\\ 5 x - 2 y = 1 & (2)\\ \end{array} \right.$
Remarque :
* Coefficient de y dans (1) : ...........
* Coefficient de y dans (2) : ...........
Ce sont deux nombres ........................

Propriété à utiliser : On obtient une égalité en ajoutant membre à membre deux égalités .
Première étape :
Écrire l'équation obtenue en ajoutant membre à membre les équations (1) et (2)
Conserver l'une des deux équations ( (1) ou (2) ) ==>

$\left \lbrace \begin{array}{l} \; \\ \; \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} x= \\ \; \\ \end{array} \right.$

Deuxième étape
Conserver la valeur de x
Remplacer x par sa valeur et calculer y

$\left \lbrace \begin{array}{l} x= \\ \; \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} x= \\ \; \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} x= \\ \; \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} x= \\ \; \\ \end{array} \right.$

CONCLUSION : $\left \lbrace \begin{array}{l} x = \\ y = \\ \end{array} \right.$ ou S = {( ; )}.

Phrase de conclusion : Le système $\left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + 2 y = 7 \\ 5 x - 2 y = 1 \\ \end{array} \right.$ admet pour solution ( ; ) .

Vérification :

Troisième méthode : Méthode graphique

x
y

D₂ : y = .............

x
y

b) Représentation graphique :

Relever les coordonnées du point I, intersection des deux droites . I ( ....... ; ......... ) .

c) Conclusion :
Le point I est situé simultanément sur les deux droites . Ses coordonnées vérifient les deux équations et sont solutions du système proposé .
$\left \lbrace \begin{array}{l} x = \\ y = \\ \end{array} \right.$ ou S = {( ; )}.

Phrase de conclusion : Le système $\left \lbrace \begin{array}{l} 2 x - y = -1 \\ x + y = 1 \\ \end{array} \right.$ admet pour solution ( ; ) .

Vérification :

exercice 1

a) Résoudre les systèmes suivants par la méthode de substitution .

$\left \lbrace \begin{array}{l} 5 x + y = 3 \\ 6 x + 2 y = -2 \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} 2 x + 3 y = 7 \\ y = 5 x \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} x = 2 y \\ x + y = 1 \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} 19 x + 7 y = 26 \\ - x + 3 y = 2 \\ \end{array} \right.$

b) Résoudre les systèmes suivants par la méthode d'addition.
$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r @{ \; } r}3 x + 2 y = 7 & (1) & \times \_\_\_\_\_\_ \\ 6 x - 5 y = - 4 & (2) & \;\\ \end{array} \right.$ Écrire ici le nombre par lequel il faut multiplier l'équation (1) pour que les coefficients de x soient opposés.
Écrire le nouveau système et le résoudre .
$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r @{ \; } r}3 x + 2 y = 7 & (1) & \times \_\_\_\_\_\_ \\ 6 x - 5 y = - 4 & (2) & \times \_\_\_\_\_\_\\ \end{array} \right.$ Écrire ici les nombres par lesquels il faut multiplier les deux équations pour que les coefficients de y soient opposés.
Écrire le nouveau système et le résoudre . Vérifier avec le résultat trouvé précédemment .

exercice 2

Résoudre $\left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + 7 y = 44 \\ 5 x - 11 y = - 40 \\ \end{array} \right.$
Choisir les coefficients par lesquels il faut multiplier les deux équations pour que les x aient des coefficients opposés . Effectuer ces produits et écrire le nouveau système. Écrire l'équation obtenue en additionnant membre à membre les deux équations du nouveau système Elle permet de calculer y. Calculer alors la valeur de x.

Voir la correction

Les trois méthodes de résolution

Première méthode : Méthode de substitution

Substituer, c'est remplacer par (mettre à la place de).
Suivre les indications pour résoudre le système suivant :

$\left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + y = 7 \\ 2 x - 3 y = 1 \\ \end{array} \right.$

Première étape :

$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r} 3 x + y = 7 & (1)\\ 2 x - 3 y = 1 & (2)\\ \end{array} \right.$
Isoler y dans l'équation (1)
Remplacer y par sa valeur dans l'équation (2)

$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r} y = 7-3x & (1')\\ 2 x - 3 (7-3x) = 1 & \;\\ \end{array} \right.$

Deuxième étape :
Conserver l'équation (1')
Effectuer les calculs dans l'équation (2)

$\left \lbrace \begin{array}{l} y = 7-3x\\ 2x-21+9x = 1\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} y = 7-3x\\ 11x-21 = 1\\ \end{array} \right.$

Troisième étape :
Conserver l'équation (1')
Calculer la valeur de x

$\left \lbrace \begin{array}{l} y = 7-3x\\ 11x=22\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} y = 7-3x\\ x=2\\ \end{array} \right.$

Quatrième étape :
Remplacer x dans (1') par la valeur trouvée, et calculer y
Conserver la valeur de x

$\left \lbrace \begin{array}{l} y = 7-3\times 2\\ x = 2\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} y = 1\\ x = 2\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} x = 2\\ y = 1\\ \end{array} \right.$

Vérification dans le système proposé : $3\times 2+1=7 \;\checkmark \text{ et } 2\times 2-3\times 1=1 \;\checkmark$

Phrase de conclusion : Le système $\left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + y = 7 \\ 2 x - 3 y = 1 \\ \end{array} \right.$ admet pour solution le couple ( 2,1 ) .

Deuxième méthode : Méthode d'addition (ou combinaison linéaire)

Résoudre le système
$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r} 3 x + 2 y = 7 & (1)\\ 5 x - 2 y = 1 & (2)\\ \end{array} \right.$
Remarque :
* Coefficient de y dans (1) : 2
* Coefficient de y dans (2) : -2
Ce sont deux nombres opposés.

Propriété à utiliser : On obtient une égalité en ajoutant membre à membre deux égalités .
Première étape :
Écrire l'équation obtenue en ajoutant membre à membre les équations (1) et (2)
Conserver l'une des deux équations ( (1) ou (2) ) ==>
$\left \lbrace \begin{array}{l} 8x=8 \\ 5x-2y=1 \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} x= 1\\ 5x-2y=1 \\ \end{array} \right.$

Deuxième étape
Conserver la valeur de x
Remplacer x par sa valeur et calculer y

$\left \lbrace \begin{array}{l} x= 1\\ 5-2y=1 \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} x= 1\\ 4=2y \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} x=1 \\ y=2 \\ \end{array} \right.$

Vérification dans le système proposé : $3\times 1+2\times 2=7\;\checkmark \text{ et } 5\times 1-2\times 2=1\;\checkmark$

Phrase de conclusion : Le système $\left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + 2 y = 7 \\ 5 x - 2 y = 1 \\ \end{array} \right.$ admet pour solution ( 1,2 ) .

Troisième méthode : Méthode graphique

Résoudre le système suivant :

$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r}2 x - y = - 1 & (1)\\ x + y = 1 & (2)\\ \end{array} \right.$

L'équation (1) est celle de la droite D₁. La droite D₁ est d'équation $y = 2x + 1$
L'équation (2) est celle de la droite D₂. La droite D₂ est d'équation $y = -x+1$
Tracer les droites D₁ et D₂ sur le même graphique .

a) Tracé des deux droites
Pour tracer une droite, il suffit d'en connaître deux points. Pour cela, on remplace x par deux valeurs (pas trop proches l'une de l'autre) et on calcule la valeur de y correspondante.
Tracé de D₁ d'équation $y = 2x + 1$ .

$\begin{array} {|c|cc|cc|} \hline x & -1 & & 2& \\ \hline y &-1 & &5 & \\ \hline \text{Point}&A(-1;-1)&&B(2;5)& \\ \hline \end{array}$

Tracé de D₂ d'équation $y = -x + 1$ .

$\begin{array} {|c|cc|cc|} \hline x & -1 & & 3& \\ \hline y &2 & &-2 & \\ \hline \text{Point}&C(-1;2)&&E(3;-2)& \\ \hline \end{array}$

b) Représentation graphique :

un cours sur les systèmes suivi de deux exercices d'application - troisième : image 3

Relever les coordonnées du point I, intersection des deux droites. Graphiquement I ( 0 ; 1 )

Vérifions que les coordonnées du point I sont bien solutions du système proposé.
$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r}2 \times 0 - 1 = - 1 & \checkmark \\ 0 + 1 = 1 & \checkmark \\ \end{array} \right.$
c) Conclusion :
Le point I est situé simultanément sur les deux droites . Ses coordonnées vérifient les deux équations et sont solutions du système proposé .

Phrase de conclusion : Le système $\left \lbrace \begin{array}{l} 2 x - y = -1 \\ x + y = 1 \\ \end{array} \right.$ admet pour solution le couple ( 0 ; 1 ) .

exercice 1.

a)
$\begin {array}{lll}\left\lbrace\begin{array}l 5x+y=3 \\ 6x+2y=-2 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}ly=-5x+3\\6x+2(-5x+3)=-2 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}ly=-5x+3\\6x-10x+6=-2 \end{array} &\\ \,\\ \left\lbrace\begin{array}ly=-5x+3\\-4x+6=-2 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}ly=-5x+3\\-4x=-2 -6\end{array} & \left\lbrace\begin{array}ly=-5x+3\\-4x=-8\end{array} &\\ \,\\ \left\lbrace\begin{array}ly=-5x+3\\x=2\end{array} & \left\lbrace\begin{array}ly=-5\times 2+3\\x=2\end{array} & \left\lbrace\begin{array}ly=-7\\x=2\end{array}\end{array}$

Une rapide vérification dans le système initial permet de se contrôler et on peut affirmer que :

le système $\left\lbrace\begin{array}l 5x+y=3 \\ 6x+2y=-2 \end{array}$ admet pour solution le couple (2;-7).

$\begin{array}{lll}\left\lbrace\begin{array}l 2x+3y=7 \\ y=5x \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l 2x+3\times 5x=7 \\ y=5x \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l 17x=7 \\ y=5x \end{array} & \\ \, \\ \left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{7}{17} \\ y=5x \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{7}{17}\\ y=5\times \dfrac{7}{17} \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{7}{17}\\ y=\dfrac{35}{17} \end{array} \end{array}$
Après vérification dans le système initial, on peut dire que

le système $\left\lbrace\begin{array}l 2x+3y=7 \\ y=5x \end{array}\quad \,$ admet pour solution le couple $\left(\dfrac{7}{17};\dfrac{35}{17}\right)$

$\begin{array}{llll}\left\lbrace\begin{array}l x=2y \\ x+y=1 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l x=2y \\2y+y=1 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l x=2y \\y=\frac{1}{3} \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l x=\frac{2}{3} \\y=\frac{1}{3} \end{array} \end{array}$
Conclusion : le système admet pour solution le couple $\left( \dfrac{2}{3} ;\dfrac{1}{3}\right)}$

$\begin{array}{lll}\left\lbrace\begin{array}l 19x+7y =26\\ -x+3y=2 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l 19x+7y =26\\ x=3y-2 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l 19(3y-2)+7y =26\\ x=-3y+2 \end{array} & \\ \left\lbrace\begin{array}l 57y-38 =26\\ x=-3y+2 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l 64y =64\\ x=-3y+2 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l y =1\\ x=-3y+2 \end{array} &\\ \left\lbrace\begin{array}l y =1\\ x=1 \end{array}\end{array}$

Conclusion : le système admet pour solution le couple $\left(1 ;1\right)$

b)

$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r @{ \; } r}3 x + 2 y = 7 & (1) & \times \red{(-2) }\\ 6 x - 5 y = - 4 & (2) & \;\\ \end{array} \right.$ Écrire ici le nombre par lequel il faut multiplier l'équation (1) pour que les coefficients de x soient opposés.

$\begin{array}{llll}\left\lbrace\begin{array}l -6x-4y=-14 (1)\\ 6x-5y=-4 (2) \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l -9y=-18 \\ 6x-5y=-4 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l y=2 \\ 6x-5y=-4 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l y=2 \\ 6x-5\times 2=-4 \end{array} & \\ \left\lbrace\begin{array}l y=2 \\ 6x-10=-4 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l y=2 \\ 6x=6 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l y=2 \\ x=1 \end{array} & & \end{array}$
Conclusion : le système admet pour solution le couple (1;2)

$\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r @{ \; } r}3 x + 2 y = 7 & (1) & \times \red{5}_ \\ 6 x - 5 y = - 4 & (2) & \times \red{2}\\ \end{array} \right.$ Écrire ici les nombres par lesquels il faut multiplier les deux équations pour que les coefficients de y soient opposés.

$\begin{array}{lll}\left\lbrace\begin{array}l 15x+10y=35 \\ 12x-10y=-8 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l 15x+10y=35 (1)\\ 27x=35-8=27 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l 15x+10y=35 \\ x=1 \end{array} & \\ \left\lbrace\begin{array}l 15\times 1+10y=35 \\ x=1 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l 10y=35-15 =20 \\ x=1 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}ly=\dfrac{20}{10}=2 \\ x=1 \end{array} \end{array}$

On retrouve bien sûr le même couple solution que précédemment (1 ; 2).

exercice 2.

$\left\lbrace\begin{array}l 3x+7y=44 (1) \times \red{5} \\5 x-11y=-40 (2) \times \red{(-3)}\end{array}$ pour que les coefficients de x soient opposés
$\begin{array}{llll}\left\lbrace\begin{array}l 15x+35y=220 \\-15 x+33y=120 \end{array}& \left\lbrace\begin{array}l 3x+7y=44 (1) \\35y+33y=220+120 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l 3x+7y=44 \\68y=340 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l 3x+7y=44 \\y=\dfrac{340}{68}=5 \end{array} & \\ \left\lbrace\begin{array}l 3x+7\times 5=44 \\y=5 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l 3x=44-35=9 \\y=5 \end{array} & \left\lbrace\begin{array}l x=3 \\y=5 \end{array} &&\end{array}$
Conclusion : la solution du système est le couple (3;5).
^{Merci à}

un cours sur les systèmes suivi de deux exercices d'application - troisième : image 1

^{pour avoir contribué à cette fiche.}

Publié par malou/labo le 12-01-2020

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