Fiche de mathématiques
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Système de deux équations du premier degré à deux inconnues

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Fiche relue en 2016

Les trois méthodes de résolution

Première méthode : Méthode de substitution

Substituer, c'est remplacer par (mettre à la place de).
Suivre les indications pour résoudre le système suivant :

\left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + y  = 7 \\ 2 x - 3 y = 1 \\ \end{array} \right.

Première étape :

\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r} 3 x + y  = 7 & (1)\\ 2 x - 3 y = 1  & (2)\\ \end{array} \right.
Isoler y dans l'équation (1)
Remplacer y par sa valeur dans l'équation (2)

\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r} y = ...................... & (1')\\ 2 x - 3 (..............) = 1 & \;\\ \end{array} \right.

Deuxième étape :
Conserver l'équation (1')
Effectuer les calculs dans l'équation (2)

\left \lbrace \begin{array}{l} y = ......................\\ ...................... = 1\\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l} y = ......................\\ ...................... = 1\\ \end{array} \right.

Troisième étape :
Conserver l'équation (1')
Calculer la valeur de x

\left \lbrace \begin{array}{l} y = ......................\\ ...................................\\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l} y = ......................\\ ...................................\\ \end{array} \right.

Quatrième étape :
Remplacer x dans (1') par la valeur trouvée, et calculer y
Conserver la valeur de x

\left \lbrace \begin{array}{l} y = ...................\\ x = ....................\\ \end{array} \right.


\left \lbrace \begin{array}{l} y = ...................\\ x = ....................\\ \end{array} \right.

CONCLUSION : \left \lbrace \begin{array}{l} x = \\ y = \\ \end{array} \right.       ou S = {(      ;      )}.

Phrase de conclusion : Le système \left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + y  = 7 \\ 2 x - 3 y = 1 \\ \end{array} \right. admet pour solution (      ;      ) .

Vérification :



Deuxième méthode : Méthode d'addition (ou combinaison linéaire)

Résoudre le système

\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r} 3 x + 2 y = 7 & (1)\\ 5 x  - 2 y = 1  & (2)\\ \end{array} \right.
Remarque :
* Coefficient de y dans (1) : ...........
* Coefficient de y dans (2) : ...........
Ce sont deux nombres ........................

Propriété à utiliser : On obtient une égalité en ajoutant membre à membre deux égalités .
Première étape :
Écrire l'équation obtenue en ajoutant membre à membre les équations (1) et (2)
Conserver l'une des deux équations ( (1) ou (2) ) ==>

\left \lbrace \begin{array}{l} \; \\ \; \\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l} x= \\ \; \\ \end{array} \right.

Deuxième étape
Conserver la valeur de x
Remplacer x par sa valeur et calculer y

\left \lbrace \begin{array}{l} x= \\ \; \\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l} x= \\ \; \\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l} x= \\ \; \\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l} x= \\ \; \\ \end{array} \right.

CONCLUSION : \left \lbrace \begin{array}{l} x = \\ y = \\ \end{array} \right.       ou S = {(      ;      )}.

Phrase de conclusion : Le système \left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + 2 y = 7 \\ 5 x  - 2 y  = 1 \\ \end{array} \right. admet pour solution (      ;      ) .

Vérification :



Troisième méthode : Méthode graphique

Résoudre le système suivant :

\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r}2 x - y = - 1 & (1)\\ x + y = 1 & (2)\\ \end{array} \right.

L'équation (1) est celle de la droite D1. La droite D1 est d'équation y = .............
L'équation (2) est celle de la droite D2. La droite D2 est d'équation y = .............
Tracer les droites D1 et D2 sur le même graphique .

a) Tableaux de valeurs :
D1 : y = .............
x          
y    

D2 : y = .............
x          
y    


b) Représentation graphique :













Relever les coordonnées du point I, intersection des deux droites . I ( ....... ; ......... ) .

c) Conclusion :
Le point I est situé simultanément sur les deux droites . Ses coordonnées vérifient les deux équations et sont solutions du système proposé .
\left \lbrace \begin{array}{l} x = \\ y = \\ \end{array} \right.       ou S = {(      ;      )}.

Phrase de conclusion : Le système \left \lbrace \begin{array}{l} 2 x - y = -1 \\ x  + y = 1 \\ \end{array} \right. admet pour solution (      ;      ) .

Vérification :




exercice 1

a) Résoudre les systèmes suivants par la méthode de substitution .
\left \lbrace \begin{array}{l} 5 x + y = 3 \\ 6 x + 2 y = -2 \\ \end{array} \right. \left \lbrace \begin{array}{l} 2 x + 3 y = 7 \\ y = 5 x \\ \end{array} \right. \left \lbrace \begin{array}{l} x = 2 y \\ x + y = 1 \\ \end{array} \right. \left \lbrace \begin{array}{l} 19 x + 7 y = 26 \\ - x + 3 y = 2 \\ \end{array} \right.

b) Résoudre les systèmes suivants par la méthode d'addition.
\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r @{ \; } r}3 x + 2 y = 7 & (1) & \times \_\_\_\_\_\_ \\ 6 x - 5 y = - 4 & (2) & \;\\ \end{array} \right. Écrire ici le nombre par lequel il faut multiplier l'équation (1) pour que les coefficients de x soient opposés.
Écrire le nouveau système et le résoudre .
\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r @{ \; } r}3 x + 2 y = 7 & (1) & \times \_\_\_\_\_\_ \\ 6 x - 5 y = - 4 & (2) & \times \_\_\_\_\_\_\\ \end{array} \right. Écrire ici les nombres par lesquels il faut multiplier les deux équations pour que les coefficients de y soient opposés.
Écrire le nouveau système et le résoudre . Vérifier avec le résultat trouvé précédemment .



exercice 2

Résoudre \left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + 7 y = 44 \\ 5 x - 11 y = - 40 \\ \end{array} \right.
Choisir les coefficients par lesquels il faut multiplier les deux équations pour que les x aient des coefficients opposés . Effectuer ces produits et écrire le nouveau système. Écrire l'équation obtenue en additionnant membre à membre les deux équations du nouveau système Elle permet de calculer y. Calculer alors la valeur de x.



Les trois méthodes de résolution

Première méthode : Méthode de substitution

Substituer, c'est remplacer par (mettre à la place de).
Suivre les indications pour résoudre le système suivant :

\left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + y  = 7 \\ 2 x - 3 y = 1 \\ \end{array} \right.

Première étape :

\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r} 3 x + y  = 7 & (1)\\ 2 x - 3 y = 1  & (2)\\ \end{array} \right.
Isoler y dans l'équation (1)
Remplacer y par sa valeur dans l'équation (2)

\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r} y = 7-3x & (1')\\ 2 x - 3 (7-3x) = 1 & \;\\ \end{array} \right.

Deuxième étape :
Conserver l'équation (1')
Effectuer les calculs dans l'équation (2)

\left \lbrace \begin{array}{l} y = 7-3x\\ 2x-21+9x = 1\\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l} y = 7-3x\\ 11x-21 = 1\\ \end{array} \right.

Troisième étape :
Conserver l'équation (1')
Calculer la valeur de x

\left \lbrace \begin{array}{l} y = 7-3x\\ 11x=22\\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l} y = 7-3x\\ x=2\\ \end{array} \right.

Quatrième étape :
Remplacer x dans (1') par la valeur trouvée, et calculer y
Conserver la valeur de x

\left \lbrace \begin{array}{l} y = 7-3\times 2\\ x = 2\\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l} y = 1\\ x = 2\\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l} x = 2\\ y = 1\\ \end{array} \right.

Vérification dans le système proposé : 3\times 2+1=7 \;\checkmark \text{ et } 2\times 2-3\times 1=1 \;\checkmark

Phrase de conclusion : Le système \left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + y  = 7 \\ 2 x - 3 y = 1 \\ \end{array} \right. admet pour solution le couple ( 2,1 ) .




Deuxième méthode : Méthode d'addition (ou combinaison linéaire)

Résoudre le système
\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r} 3 x + 2 y = 7 & (1)\\ 5 x  - 2 y = 1  & (2)\\ \end{array} \right.
Remarque :
* Coefficient de y dans (1) : 2
* Coefficient de y dans (2) : -2
Ce sont deux nombres opposés.

Propriété à utiliser : On obtient une égalité en ajoutant membre à membre deux égalités .
Première étape :
Écrire l'équation obtenue en ajoutant membre à membre les équations (1) et (2)
Conserver l'une des deux équations ( (1) ou (2) ) ==>
\left \lbrace \begin{array}{l} 8x=8 \\ 5x-2y=1 \\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l} x= 1\\ 5x-2y=1 \\ \end{array} \right.

Deuxième étape
Conserver la valeur de x
Remplacer x par sa valeur et calculer y

\left \lbrace \begin{array}{l} x= 1\\ 5-2y=1 \\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l} x= 1\\ 4=2y \\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{l} x=1 \\ y=2 \\ \end{array} \right.

Vérification dans le système proposé : 3\times 1+2\times 2=7\;\checkmark \text{ et } 5\times 1-2\times 2=1\;\checkmark

Phrase de conclusion : Le système \left \lbrace \begin{array}{l} 3 x + 2 y = 7 \\ 5 x  - 2 y  = 1 \\ \end{array} \right. admet pour solution ( 1,2 ) .




Troisième méthode : Méthode graphique

Résoudre le système suivant :

\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r}2 x - y = - 1 & (1)\\ x + y = 1 & (2)\\ \end{array} \right.

L'équation (1) est celle de la droite D1. La droite D1 est d'équation y = 2x + 1
L'équation (2) est celle de la droite D2. La droite D2 est d'équation y = -x+1
Tracer les droites D1 et D2 sur le même graphique .

a) Tracé des deux droites
Pour tracer une droite, il suffit d'en connaître deux points. Pour cela, on remplace x par deux valeurs (pas trop proches l'une de l'autre) et on calcule la valeur de y correspondante.
Tracé de D1 d'équation y = 2x + 1.

\begin{array} {|c|cc|cc|} \hline x & -1 & & 2& \\ \hline  y &-1  & &5 &  \\ \hline \text{Point}&A(-1;-1)&&B(2;5)& \\ \hline \end{array}


Tracé de D2 d'équation y = -x + 1.

\begin{array} {|c|cc|cc|} \hline x & -1 & & 3& \\ \hline  y &2  & &-2 & \\ \hline \text{Point}&C(-1;2)&&E(3;-2)&  \\ \hline \end{array}


b) Représentation graphique :
un cours sur les systèmes suivi de deux exercices d'application - troisième : image 3

Relever les coordonnées du point I, intersection des deux droites. Graphiquement I ( 0 ; 1 )

Vérifions que les coordonnées du point I sont bien solutions du système proposé.
\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r}2 \times 0 - 1 = - 1 & \checkmark \\ 0 + 1 = 1 & \checkmark \\ \end{array} \right.
c) Conclusion :
Le point I est situé simultanément sur les deux droites . Ses coordonnées vérifient les deux équations et sont solutions du système proposé .

Phrase de conclusion : Le système \left \lbrace \begin{array}{l} 2 x - y = -1 \\ x  + y = 1 \\ \end{array} \right. admet pour solution le couple ( 0 ; 1 ) .


exercice 1.


a)
\begin {array}{lll}\left\lbrace\begin{array}l 5x+y=3 \\ 6x+2y=-2 \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}ly=-5x+3\\6x+2(-5x+3)=-2 \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}ly=-5x+3\\6x-10x+6=-2 \end{array} &\\ \,\\  \left\lbrace\begin{array}ly=-5x+3\\-4x+6=-2 \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}ly=-5x+3\\-4x=-2 -6\end{array} &  \left\lbrace\begin{array}ly=-5x+3\\-4x=-8\end{array} &\\ \,\\  \left\lbrace\begin{array}ly=-5x+3\\x=2\end{array} &  \left\lbrace\begin{array}ly=-5\times 2+3\\x=2\end{array} &  \left\lbrace\begin{array}ly=-7\\x=2\end{array}\end{array}

Une rapide vérification dans le système initial permet de se contrôler et on peut affirmer que :

le système \left\lbrace\begin{array}l 5x+y=3 \\ 6x+2y=-2  \end{array} admet pour solution le couple (2;-7).



\begin{array}{lll}\left\lbrace\begin{array}l 2x+3y=7 \\ y=5x \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l 2x+3\times 5x=7 \\ y=5x \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l 17x=7 \\ y=5x \end{array} & \\ \, \\  \left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{7}{17} \\ y=5x \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{7}{17}\\ y=5\times \dfrac{7}{17} \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{7}{17}\\ y=\dfrac{35}{17} \end{array} \end{array}
Après vérification dans le système initial, on peut dire que

le système \left\lbrace\begin{array}l 2x+3y=7 \\ y=5x \end{array}\quad \, admet pour solution le couple \left(\dfrac{7}{17};\dfrac{35}{17}\right)



\begin{array}{llll}\left\lbrace\begin{array}l x=2y \\ x+y=1 \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l x=2y \\2y+y=1 \end{array} &   \left\lbrace\begin{array}l x=2y \\y=\frac{1}{3} \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l x=\frac{2}{3} \\y=\frac{1}{3} \end{array} \end{array}
Conclusion : le système admet pour solution le couple  \left(  \dfrac{2}{3} ;\dfrac{1}{3}\right)}



\begin{array}{lll}\left\lbrace\begin{array}l 19x+7y =26\\ -x+3y=2 \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l 19x+7y =26\\ x=-3y+2 \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l 19(-3y+2)+7y =26\\ x=-3y+2 \end{array} & \\  \left\lbrace\begin{array}l -50y+38 =26\\ x=-3y+2 \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l 50y =12\\ x=-3y+2 \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l y =\dfrac{6}{25}\\ x=-3y+2 \end{array} &\\  \left\lbrace\begin{array}l y =\dfrac{6}{25}\\ x=-3\times \dfrac{6}{25}+2 \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l y =\dfrac{6}{25}\\ x=\dfrac{-18}{25}+2 \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l y =\dfrac{6}{25}\\ x=\dfrac{32}{25} \end{array}\end{array}

Conclusion : le système admet pour solution le couple \left(\dfrac{32}{25} ;\dfrac{6}{25}\right)


b)

\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r @{ \; } r}3 x + 2 y = 7 & (1) & \times \red{(-2) }\\ 6 x - 5 y = - 4 & (2) & \;\\ \end{array} \right. Écrire ici le nombre par lequel il faut multiplier l'équation (1) pour que les coefficients de x soient opposés.

\begin{array}{llll}\left\lbrace\begin{array}l -6x-4y=-14  (1)\\ 6x-5y=-4  (2) \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l -9y=-18   \\ 6x-5y=-4  \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l y=2  \\ 6x-5y=-4   \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l y=2   \\ 6x-5\times 2=-4  \end{array} & \\  \left\lbrace\begin{array}l y=2  \\ 6x-10=-4  \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l y=2   \\ 6x=6  \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l y=2   \\ x=1   \end{array} & & \end{array}
Conclusion : le système admet pour solution le couple (1;2)



\left \lbrace \begin{array}{l @{ \; } r @{ \; } r}3 x + 2 y = 7 & (1) & \times \red{5}_ \\ 6 x - 5 y = - 4 & (2) & \times \red{2}\\ \end{array} \right. Écrire ici les nombres par lesquels il faut multiplier les deux équations pour que les coefficients de y soient opposés.

\begin{array}{lll}\left\lbrace\begin{array}l 15x+10y=35    \\ 12x-10y=-8  \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l 15x+10y=35    (1)\\ 27x=35-8=27 \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l 15x+10y=35    \\ x=1 \end{array} & \\  \left\lbrace\begin{array}l 15\times 1+10y=35   \\ x=1 \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l 10y=35-15 =20  \\ x=1 \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}ly=\dfrac{20}{10}=2  \\ x=1 \end{array} \end{array}

On retrouve bien sûr le même couple solution que précédemment (1 ; 2).

exercice 2.


\left\lbrace\begin{array}l 3x+7y=44   (1) \times \red{5} \\5 x-11y=-40  (2) \times  \red{(-3)}\end{array} pour que les coefficients de x soient opposés
\begin{array}{llll}\left\lbrace\begin{array}l 15x+35y=220   \\-15 x+33y=120  \end{array}&  \left\lbrace\begin{array}l 3x+7y=44   (1)  \\35y+33y=220+120  \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l 3x+7y=44     \\68y=340  \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l 3x+7y=44     \\y=\dfrac{340}{68}=5 \end{array} & \\  \left\lbrace\begin{array}l 3x+7\times 5=44     \\y=5 \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l 3x=44-35=9   \\y=5 \end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l x=3  \\y=5 \end{array} &&\end{array}
Conclusion : la solution du système est le couple (3;5).
Merci à
un cours sur les systèmes suivi de deux exercices d'application - troisième : image 1
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