Les systèmes

exercice 1

équivaut à
Comme 3 × (-2) - 1 × 1 = -7 0, alors ce système admet un unique couple solution.
Résolution du système : multiplions la deuxième équation par -3 :

(On additionne la première et la deuxième équation)
(On a déterminé la valeur de y, on remplace alors cette valeur dans la première équation)




D'où :

L'équation 3x + y = 1 est équivalent à [1]
De même, l'équation x - 2y = -3 est équivalente à [2]
Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont sécantes. Le système a donc une unique solution : les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.

équivaut à
Comme 12 × (-7) - 5 × 8 = -124 0, alors ce système admet un unique couple solution.
Résolution du système : multiplions la première équation par 2 et la deuxième équation par -3 :



Remplaçons y par -2 dans la première équation :



D'où :

L'équation 12x + 5y = 26 est équivalent à [1]
De même, l'équation 8x - 7y = 38 est équivalente à [2]
Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont sécantes. Le système a donc une unique solution : les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.

équivaut à
Comme 3 × 2 - 1 × 6 = 0, alors ce système n'admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions.
L'équation 3x + y = 7 est équivalente à y = -3x + 7 [1]
De même, l'équation 6x + 2y = 9 est équivalente à [2]
Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont strictement parallèles (les équations ont même coefficient directeur et des ordonnées à l'origine différentes).
Nous pouvons donc en conclure que ce système n'admet aucune solution.
D'où :

équivaut à
Comme 4 × 10 - 5 × 8 = 0, alors le système admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions.
L'équation 4x + 5y = 9 est équivalent à
De même, l'équation 8x + 10y = 18 est équivalente à
Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont confondues.
Nous pouvons donc en conclure que le système admet une infinité de solutions : les coordonnées des points de la droite d'équation .

exercice 2

On considère le système suivant :

On effectue un changement de variable en posant :
Le système devient alors :

Comme 12 × 4 - 3 × (-18) = 102 0, alors ce système admet une unique solution.

Résolution du système :
équivaut à (on divise par 2 la première équation)
(on multiplie par -2 la deuxième équation)







Or n'oublions pas que nous avons établi un changement de variable en posant . Donc :

Et :


D'où :