Fiche de mathématiques
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Les systèmes

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exercice 1

Résoudre les systèmes suivants :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 3x + y - 1  &  0 \\ x - 2y + 3  &  0 \\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 12x + 5y - 26  &  0 \\ 8x - 7y - 38  &  0 \\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 3x + y - 7  &  0 \\ 6x + 2y - 9  &  0 \\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 4x + 5y - 9  &  0 \\ 8x + 10y -18  &  0 \\ \end{array} \right.
Interpréter graphiquement ces systèmes et leurs solutions.



exercice 2

Résoudre le système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \dfrac{12}{x+2} - \dfrac{18}{y + 1}  &  -10 \\  \dfrac{3}{x + 2} + \dfrac{4}{y + 1}  &  5 \\ \end{array} \right.
indication : On pourra poser X = \dfrac{1}{x + 2} \text{ et } Y = \dfrac{1}{y + 1}



exercice 1

\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 3x + y - 1  &  0 \\ x - 2y + 3  &  0 \\ \end{array} \right. équivaut à \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 3x + y  &  1 \\ x - 2y  &  -3 \\ \end{array} \right.
Comme 3 × (-2) - 1 × 1 = -7 \neq 0, alors ce système admet un unique couple solution.
Résolution du système : multiplions la deuxième équation par -3 :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 3x + y  &  1 \\  -3x + 6y  &  9 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 3x + y  &  1 \\  7y  &  10 \\ \end{array} \right. (On additionne la première et la deuxième équation)
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 3x + y  &  1 \\  y  &  \dfrac{10}{7} \\ \end{array} \right. (On a déterminé la valeur de y, on remplace alors cette valeur dans la première équation)
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 3x + \dfrac{10}{7}  &  1 \\  y  &  \dfrac{10}{7} \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 3x  &  1 - \dfrac{10}{7} \times \dfrac13  \\  y  &  \dfrac{10}{7} \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x  &  -\dfrac{3}{7} \times \dfrac13  \\  y  &  \dfrac{10}{7} \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x  &  -\dfrac{1}{7}  \\  y  &  \dfrac{10}{7} \\ \end{array} \right.
D'où : S = \lbrace \left(-\dfrac{1}{7}; \dfrac{10}{7}\right)\rbrace

L'équation 3x + y = 1 est équivalent à y = -3x + 1 [1]
De même, l'équation x - 2y = -3 est équivalente à y = \dfrac12 x + \dfrac32 [2]
Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont sécantes. Le système a donc une unique solution : les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.

\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 12x + 5y - 26  &  0  \\  8x - 7y - 38  &  0 \\ \end{array} \right. équivaut à \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 12x + 5y  &  26  \\  8x - 7y  &  38 \\ \end{array} \right.
Comme 12 × (-7) - 5 × 8 = -124 \neq 0, alors ce système admet un unique couple solution.
Résolution du système : multiplions la première équation par 2 et la deuxième équation par -3 :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 24x + 10y  &  52  \\  -24x + 21y  &  -114 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 24x + 10y  &  52  \\  31y  &  -62 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 12x + 5y  &  26  \\  y  &  -\dfrac{62}{31} = -2 \\ \end{array} \right.
Remplaçons y par -2 dans la première équation :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 12x + 5 \times (-2)  &  26  \\  y  &  -\dfrac{62}{31} = -2 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 12x  &  36  \\  y  &  -\dfrac{62}{31} = -2 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x  &  \dfrac{36}{12} = 3  \\  y  &  -\dfrac{62}{31} = -2 \\ \end{array} \right.
D'où : S = \lbrace (3; - 2)\rbrace

L'équation 12x + 5y = 26 est équivalent à y = -\dfrac{12}{5}x + \dfrac{26}{5} [1]
De même, l'équation 8x - 7y = 38 est équivalente à y = \dfrac87 x - \dfrac{38}{7} [2]
Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont sécantes. Le système a donc une unique solution : les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.

\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 3x + y - 7  &  0 \\ 6x + 2y - 9  &  0 \\ \end{array} \right. équivaut à \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 3x + y  &  7 \\ 6x + 2y  &  9 \\ \end{array} \right.
Comme 3 × 2 - 1 × 6 = 0, alors ce système n'admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions.
L'équation 3x + y = 7 est équivalente à y = -3x + 7 [1]
De même, l'équation 6x + 2y = 9 est équivalente à y = -3 x + \dfrac92 [2]
Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont strictement parallèles (les équations ont même coefficient directeur et des ordonnées à l'origine différentes).
Nous pouvons donc en conclure que ce système n'admet aucune solution.
D'où : S = \emptyset

\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 4x + 5y - 9  &  0 \\  8x + 10y - 18  &  0 \\ \end{array} \right. équivaut à \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 4x + 5y  &  9 \\  8x + 10y  &  18 \\ \end{array} \right.
Comme 4 × 10 - 5 × 8 = 0, alors le système admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions.
L'équation 4x + 5y = 9 est équivalent à y = -\dfrac45 x + \dfrac95
De même, l'équation 8x + 10y = 18 est équivalente à y = -\dfrac45x + \dfrac95
Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont confondues.
Nous pouvons donc en conclure que le système admet une infinité de solutions : les coordonnées des points de la droite d'équation y = -\dfrac45x + \dfrac95.



exercice 2

On considère le système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \dfrac{12}{x + 2} - \dfrac{18}{y + 1}  &  -10 \\  \dfrac{3}{x + 2} + \dfrac{4}{y + 1}  &  5 \\ \end{array} \right.
On effectue un changement de variable en posant : X = \dfrac{1}{x + 2} \text{ et } Y = \dfrac{1}{y + 1}
Le système devient alors :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 12X - 18Y  &  -10  \\  3X + 4Y  &  5} \\ \end{array} \right.
Comme 12 × 4 - 3 × (-18) = 102 \neq 0, alors ce système admet une unique solution.

Résolution du système :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 12X - 18Y  &  -10  \\  3X + 4Y  &  5 \\ \end{array} \right. équivaut à \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6X - 9Y  &  -5  \\  3X + 4Y  &  5 \\ \end{array} \right. (on divise par 2 la première équation)
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6X - 9Y  &  -5  \\  -6X - 8Y  &  -10 \\ \end{array} \right. (on multiplie par -2 la deuxième équation)
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6X - 9Y  &  -5  \\  -17Y  &  -15 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6X - 9Y  &  -5   \\  Y  &  \dfrac{15}{17} \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6X - 9 \times \dfrac{15}{17}  &  -5  \\  Y  &  \dfrac{15}{17} \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6X  &  -5 + \dfrac{135}{17}  \\  Y  &  \dfrac{15}{17} \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} X  &  \dfrac{50}{17} \times \dfrac16  \\  Y  &  \dfrac{15}{17} \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} X  &  \dfrac{25}{51}  \\  Y  &  \dfrac{15}{17} \\ \end{array} \right.

Or n'oublions pas que nous avons établi un changement de variable en posant X = \dfrac{1}{x + 2} \text{ et } Y = \dfrac{1}{y + 1}. Donc :
\dfrac{25}{51} = \dfrac{1}{x + 2} \\ 25(x + 2) = 51 \\ 25x + 50 = 51\\ 25x = 1\\ x = \dfrac{1}{25}
Et :
\dfrac{15}{17} = \dfrac{1}{y + 1} \\ 15(y + 1) = 17\\ 15y + 15 = 17\\ 15y = 2\\ y = \dfrac{2}{15}

D'où : S = \lbrace \left(\dfrac{1}{25}; \dfrac{2}{15}\right)\rbrace
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