Fiche de mathématiques
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Vecteurs et Repérages

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I. Vecteurs

Définition :
Soient A et B deux points distincts.
Le vecteur \overrightarrow{\text{AB}} se caractérise par :
   Sa direction : celle de la droite (AB) (et des parallèles à (AB)).
   Son sens : du point A au point B.
   Sa norme : la longueur du segment [AB]. Elle est notée ||\overrightarrow{\text{AB}}||.


Cas particulier :
Lorsque A = B, le vecteur \overrightarrow{\text{AB}} s'appelle vecteur nul, noté \vec{0}.
vecteurs et repérages - seconde : image 1
Définition :
Deux vecteurs sont égaux, s'ils ont \left \lbrace \begin{array}{l} \text{même direction} \\ \text{même sens} \\ \text{même norme} \\ \end{array} \right.


Propriété :
Soient A, B, C et D quatre points.
\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} \Longleftrightarrow ABDC est un parallélogramme.
\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}} \Longleftrightarrow D est l'image du point C par la translation de vecteur \overrightarrow{\text{AB}}.

vecteurs et repérages - seconde : image 5

Relation de Chasles :
Pour tous points A, B et C, on a : \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{AC}}.

vecteurs et repérages - seconde : image 6

Règle du parallélogramme :
Pour tous points A, B et C, on a : \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AD}} tel que ABDC est un parallélogramme éventuellement aplati.

vecteurs et repérages - seconde : image 7


II. Colinéarité de deux vecteurs

1. Multiplication par un réel

Définition :
Soit un réel k non nul et un vecteur \vec{u} non nul.
Le vecteur k\vec{u} se caractérise par :
   la même direction que \vec{u}
   \left \lbrace \begin{array}{l} \text{le même sens de}~\vec{u}~\text{si}~k > 0 \\ \text{le sens contraire de}~\vec{u}~\text{si}~k < 0 \\ \end{array} \right.
   La norme |||k|.\vec{u}||.


Cas particulier :
Si k = 0 ou si \vec{u} = \vec{0}, alors k\vec{u} = \vec{0}.

Propriété :
Soit k et k' deux réels et \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs.
(k + k') \vec{u} = k\vec{u} + k' \vec{u} \\ k(k' \vec{u}) = (kk')\vec{u} \\ k(\vec{u}+\vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}


Remarque :
Le vecteur \overrightarrow{\text{BA}} opposé au vecteur \overrightarrow{\text{AB}} a même direction, même norme, mais son sens est contraire. \overrightarrow{\text{BA}} = -\overrightarrow{\text{AB}}

2. Vecteurs colinéaires

Définition :
Deux vecteurs sont dits colinéaires lorsqu'ils ont même direction.


Théorème :
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l'un est le produit de l'autre par un réel.
\vec{u} et \vec{v} sont colinéaires \Longleftrightarrow \vec{v} = k\vec{u} avec k \in \mathbb{R}.
k est appelé coefficient de colinéarité.

vecteurs et repérages - seconde : image 8

Propriété :
Tout vecteur colinéaire à \overrightarrow{\text{AB}} est un vecteur directeur de la droite (AB).
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{CD}} sont colinéaires.

vecteurs et repérages - seconde : image 9

Propriété :
Les points A, B et C sont alignés si et seulement si \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{AC}} sont colinéaires.

vecteurs et repérages - seconde : image 10

Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si \overrightarrow{\text{AB}} = 2\overrightarrow{\text{AI}}.
vecteurs et repérages - seconde : image 11


III. Repérage dans le plan

1. Repère

Un repère du plan est constitué de trois points distincts (O ; I ; J).
O étant l'origine.
(OI) la droite représentant l'axe des abscisses.
(OJ) la droite représentant l'axe des ordonnées.
vecteurs et repérages - seconde : image 12

Ce repère est également noté (\text{O} ; \vec{i} , \vec{j}) avec \vec{i} = \overrightarrow{\text{OI}} et \vec{j} = \overrightarrow{\text{OJ}}.
(\vec{i} , \vec{j}) forme une base du repère.
Définition :
Dans le repère (\text{O} ; \vec{i} , \vec{j}),
   les coordonnées d'un point M sont l'unique couple (x ; y) vérifiant : \overrightarrow{\text{OM}} = x\vec{i} + y\vec{j}.
x étant l'abscisse du point M et y l'ordonnée.
   Les coordonnées d'un vecteur \vec{u} sont l'unique couple (x ; y) vérifiant : \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}.



vecteurs et repérages - seconde : image 2

\vec{u} = 3\vec{i} + 2\vec{j}
D'où : \vec{u} a pour coordonnées (3 ; 2).

2. Coordonnées

Propriété :
Deux vecteurs sont dits égaux si et seulement si leurs coordonnées, dans un repère, sont égales.
Dans (\text{O} ; \vec{i} , \vec{j}), soit \vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}a' \\b' \end{pmatrix}, on a : \vec{u} = \vec{v} \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}a = a'\\ b = b'\end{matrix}\right..



vecteurs et repérages - seconde : image 3

\left.\begin{matrix}\vec{u} = 3\vec{i}+2\vec{j}\\ \vec{v}=3\vec{i}+2\vec{j}\end{matrix}\right\rbrace \Longleftrightarrow\vec{u}=\vec{v}

Propriété :
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs et k un réel. (\text{O} ; \vec{i} , \vec{j}), un repère.
Si \vec{u} \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} et \vec{v} \begin{pmatrix}a' \\b' \end{pmatrix}, alors \vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix}a+a' \\ b + b'\end{pmatrix} et k\vec{u}\begin{pmatrix}ka\\kb\end{pmatrix}.


Conséquence :
Soit dans le repère (\text{O} ; \vec{i} , \vec{j}), A (x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) deux points.
On a \overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}.

3. Vecteurs colinéaires

Propriété :
Deux vecteurs \vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & kx' \\ y & ky' \\ \end{array} \right. , avec k \in \mathbb{R}.


Corollaire :
Deux vecteurs \vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si xy' - x'y = 0.


Mémo technique :
vecteurs et repérages - seconde : image 4
Avec le produit en croix, nous avons : xy' = x'y.

Propriété :
Dans un plan muni d'un repère, on a :
I milieu du segment [AB] si et seulement si les coordonnées de I vérifient : \displaystyle{\(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\)}



4. Repère orthonormé

Définition :
Un repère est dit orthonormé si ||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1 et si l'axe des ordonnées est perpendiculaire à l'axe des abscisses.


Les calculs de longueur ne se font que dans un repère orthonormé !

Propriété :
Dans un repère orthonormé, on a :
||\vec{u}|| = \sqrt{x^2+y^2} avec \vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.
Soient \text{A}(x_{\text{A}} ; y_{\text{A}}) et \text{B}(x_{\text{B}} ; y_{\text{B}}), alors \text{AB} = \sqrt{\left(x_{\text{B}} - x_{\text{A}} \right)^2 + \left(y_{\text{B}} - y_{\text{A}} \right)^2}

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