Fiche de mathématiques
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Equations et Inéquations

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exercice 1


Soit la fonction f définie sur I par son expression f(x) en fonction de x. Dresser le tableau de signes de f(x).
1. f(x) = (x + 1)(5 - x) ; I = \mathbb{R}

2. f(x) = \dfrac{3x+1}{x-2} ; I = ]-\infty; 2[\cup]2; +\infty[



exercice 2

Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : (2x + 3)² = (2x + 3)(x - 4).



exercice 3

Résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation : \dfrac{3x+2}{x-2} \le 5.



exercice 4

Soit la fonction f définie sur I par son expression en fonction de x. A l'aide d'un tableau, étudier le signe de f(x).

1. I = ]-\infty; -2[ ; f(x) = \dfrac{2x-3}{x+2}

2. I = ]-\infty; -1[\cup]-1; +\infty[ ; f(x) = \dfrac{5-2x}{x+1}



exercice 5

Soit la fonction f définie sur la réunion d'intervalles ]-\infty; -1[\cup]-1; +\infty[ par : f(x) = \dfrac{3x}{x+1}-1.

1. Écrire f(x) sous la forme d'un seul quotient.

2. Dresser le tableau du signe de f(x).



exercice 1

1. Étudions le signe de chacun des facteurs :
Signe de (x + 1) : (x + 1) est positif pour x > -1.
Signe de (5 - x) : (5 - x) est positif pour x < 5.
Dressons le tableau de signes :

\begin{array} {|c|cccccccc|} \hline x & -\infty & & -1& & 5 & & +\infty & \\ \hline {x+1} & & - & 0 & + & | & + & &  \\ \hline {5-x} & & + & | & + & 0 & - & &  \\ \hline {(x+1)(5-x)} & &- & 0& + & 0& - & &  \\ \hline \end{array}

2. Déterminons les signes du numrateur et du dénominateur :
Signe de (3x + 1) : (3x + 1) est positif pour x > (-1/3)
Signe de (x - 2) : (x - 2) est positif pour x > 2
D'où le tableau de signes suivant :

\begin{array} {|c|cccccccc|} \hline x & -\infty & & -\frac{1}{3}& & 2 & & +\infty & \\ \hline {3x+1} & & - & 0 & + & | & + & &  \\ \hline {x-2} & & - & | & - & 0 & +& &  \\ \hline {\frac{3x+1}{x-2}} & &+& 0& - & ||& +& &  \\ \hline \end{array}




exercice 2

(2x + 3)² - (2x + 3)(x - 4) = 0
ce qui est équivalent à : (2x + 3)(2x + 3 - x + 4) = 0
ce qui est équivalent à : (2x + 3)(x + 7) = 0
Les solutions sont -3/2 ou -7.



exercice 3

\dfrac{3x+2}{x-2} \le 5 est équivalent à : \dfrac{3x+2}{x-2}-5 \le 0
qui est équivalent à : \dfrac{3x+2-5(x-2)}{x-2} \le 0
qui est équivalent à : \dfrac{-2x+12}{x-2} \le 0
Et on étudie le signe de ce quotient :

\begin{array} {|c|cccccccc|} \hline x & -\infty & &2& & 6 & & +\infty & \\ \hline {-2x+12} & & + & | & + & 0 & - & &  \\ \hline {x-2} & & - & 0 & + & | & +& &  \\ \hline {\frac{-2x+12}{x-2}} & &-& ||& +&0& -& &  \\ \hline \end{array}



L'ensemble des solutions est : ]-\infty; 2 [\cup[6 ; +\infty[.



exercice 4

1.
\begin{array} {|c|cccc|}\hline x & -\infty & & -2 & \\ \hline {2x-3} & & - &| & \\ \hline {x+2} & & - &0 & \\ \hline {\frac{2x-3}{x+2}} & & +& ||& \\ \hline \end{array}


2.


\begin{array} {|c|cccccccc|}\hline  x & -\infty & &-1& & \frac{5}{2} & & +\infty & \\ \hline {5-2x} & & + & | & + & 0 & - & &  \\ \hline {x+1} & & - & 0 & + & | & +& &  \\ \hline {\frac{5-2x}{x+1}} & &-& ||& +&0& -& &  \\ \hline \end{array}




exercice 5

1. f(x) = \dfrac{2x-1}{x+1}

2. Le tableau de signes est le suivant :


\begin{array} {|c|cccccccc|}\hline  x & -\infty & & -1& & \frac{1}{2} & & +\infty & \\ \hline {2x-1} & & - & | & - & 0 & + & &  \\ \hline {x+1} & & - & 0 & + & | & +& &  \\ \hline {\frac{2x-1}{x+1}} & &+& 0& - & ||& +& &  \\ \hline \end{array}
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