Fiche de mathématiques
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Equations et inéquations

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Prérequis
Dans ce chapitre tu auras besoin de savoir résoudre des équations du premier degré (ax+b=0), de bien connaitre la règle des signes et d'avoir compris la notion d'intervalle.

Enjeu
On va voir ici comment résoudre graphiquement et algébriquement des équations et des inéquations et notamment déterminer le signe de produits ou de quotients de polynômes du premier degré. Ce chapitre est important pour la suite de tes études en mathématiques puisqu'il te permettra d'étudier, l'année prochaine, les variations de fonctions, point important du programme du lycée.



I. Résolution graphique


Dans un premier temps, regardons comment résoudre graphiquement des équations et des inéquations du type f(x)<k ou f(x)<g(x). Cela permettra ensuite, quand on en sera à la résolution algébrique de ces questions, de vérifier que les solutions trouvées sont cohérentes avec le graphique obtenu sur la calculatrice ou sur un ordinateur.

1) Equations du type f(x)=k et inéquation du type f(x)<k


Prenons, par exemple, la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2-3x+2 et déterminons graphiquement les solutions de l'équation f(x)=3.
Pour cela, on représente la fonction f et on trace la droite horizontale passant par le point de coordonnées (0;3) (qui a donc pour équation y=3).
Equations et inéquations : image 1


On détermine ensuite, s'ils existent, les points d'intersection entre la courbe et la droite et enfin on lit leurs abscisses respectives.

Sur l'exemple, les abscisses respectives des points A et B sont environ -1,2 et 4,2.
L'équation f(x)=3 a donc pour solution -1,2 et 4,2.

Si maintenant on s'intéresse à résoudre l'inéquation f(x)<3, on cherche les abscisses des points de la courbe situés strictement sous la droite. Il s'agit, par conséquent, des abscisses comprises entre celles de C et D.

Equations et inéquations : image 2

La solution de l'inéquation f(x)<3 est donc environ ]-1,2;4,2[.

On aurait pu également s'intéresser à la solution de l'inéquation (x) \geq 3. Elle est constituée des réels n'appartenant pas à l'intervalle précédent, c'est-à-dire

]- \infty ;-1,2]\cup[4,2;+ \infty [


Il faut faire attention aux bornes des intervalles : doit-on les inclure ou non dans l'ensemble solution. Cela dépend si l'inégalité est stricte (< ou >) ou pas (\leq \text{ ou } \geq).


2) Equations du type f(x)=g(x) et inéquations du type f(x)<g(x)


On va reprendre le même principe que dans la partie précédente mais au lieu de représenter une fonction et une droite, on va utiliser la représentation graphique de deux fonctions. On va ensuite s'intéresser aux éventuels points d'intersections des deux courbes.
Equations et inéquations : image 3


Les abscisses des points d'intersection des deux courbes sont environ -2,8 , -0,2 et 2,4. Graphiquement, les solutions de l'équation f(x)=g(x) sont donc environ -2,8 , -0,2 et 2,4.
On peut également, avec ce graphique, déterminer graphiquement les solutions de l'inéquation f(x)<g(x) : il s'agit des abscisses des points de la courbe représentant f situés sous la courbe représentant g.

Equations et inéquations : image 4

La solution de cette inéquation est donc graphiquement ]-2,8;-0,2[\cup]2,4;+\infty[ (ce sont évidemment des valeurs approchées).
Comme on vient de le constater, pour l'équation et l'inéquation, une résolution graphique ne permet pas toujours de fournir des solutions exactes. La fenêtre graphique utilisée ne permet pas toujours non plus de voir toutes les solutions. C'est pour cela qu'on va maintenant s'intéresser à leur résolution algébrique.

II. Résolution algébrique d'une équation


Au collège, tu as vu comment résoudre les équations du type ax+b=0. Nous allons voir, ici, comment résoudre des équations du second degré. Cette étude, en générale, est au programme de 1ère mais, dans certains cas, il est possible de fournir les solutions dès la classe de 2nd.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=(x-1)^2-9 (forme 1).
Déterminons la forme développée : f(x)=x^2-2x+1-9=x^2-2x-8 (forme 2)
Et la forme factorisée :
f(x) =(x-1)^2-3^2  = (x-1+3)(x-1-3) = (x+2)(x-4) (forme 3)
En fonction des équations étudiées on va privilégier l'une ou l'autre des formes.

f(x)=-9
On va utiliser la forme 1. On obtient ainsi (x-1)^2-9=-9 \text{ soit } (x-1)^2=0
La seule solution est donc 1

f(x)=-8
On va utiliser la forme 2. On obtient ainsi x^2-2x-8=-8 soit x^2-2x=0 ou encore x(x-2)=0
On est ramené à l'étude d'une équation produit : un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
On résout donc les équations : x=0 et x-2=0
Les solutions de l'équation sont donc 0 et 2.

f(x) = 0
On va utiliser la forme 3. On doit résoudre l'équation produit (x+2)(x-4)=0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
On résout donc les équations : x+2=0 et x-4=0
Les solutions de l'équation sont donc -2 et 4.

Il ne s'agit évidemment ici que de cas particuliers d'équations du second degré. Cependant les équations que tu auras à étudier ne seront pas nécessairement de ce type là mais il faudra essayer de te ramener à l'étude d'équations connues en développant ou factorisant les expressions fournies.

III. Signe d'un produit ou d'un quotient


Tu as vu la règle des signes au collège. Nous allons l'utiliser cette année pour déterminer le signe d'un produit ou d'un quotient en fonction des valeurs de x.

Signe de (x-1)(3-x)
On va étudier séparément le signe de chacun des facteurs.
x-1=0 \text{ si } x=1 \text{ et } x-1>0 \text{ si, et seulement si, } x>1

On obtient ainsi le tableau suivant :

\begin{array} {|c|cccccc|} \hline x & -\infty & & 1 & & +\infty & \\ \hline {x-1} & & - & 0 & + & & \\ \hline \end{array}

3-x=0 \text{ si } x=3 \text{ et } 3-x>0 \text{ si, et seulement si, } 3>x
Equations et inéquations : image 6


On regroupe ces deux informations dans un même tableau et on applique la règle des signes pour obtenir le signe de leur produit.
\begin{array} {|c|cccccccc|} x & -\infty & & 1 &  & 3 &  & +\infty & \\ \hline {(x-1)} &  & - & 0 & + & & + &  &  \\ \hline {(3-x)} &  & + &  & + & 0 & - &  &  \\ \hline {(x-1)(3-x)} &  &- &0 & + &0 & - & & \\ \hline \end{array}


On est alors en mesure de résoudre, par exemple, l'inéquation (x-1)(3-x) \geq 0 en lisant les informations données par la dernière ligne du tableau.

La solution de cette inéquation est [1\,;3].

Ce qui est valable avec deux facteurs est évidemment valable pour 3, 4,... facteurs. Il suffit d'ajouter des lignes et des colonnes à ce tableau.
Voyons ce qui se passe dans le cas d'un quotient. La règle des signes s'applique de la même manière mais il va falloir être prudent quant à l'annulation du dénominateur.

signe de \frac{x-1}{3-x}.

Puisqu'il s'agit d'une fraction, il est interdit que son dénominateur s'annule. Mais on a vu que 3-x s'annulait pour x=3. On va donc être obligé d'interdire cette valeur dans le tableau de signes. Cela va être symbolisé par une double barre verticale en lieu et place du zéro, qu'on avait dans le tableau de signes du produit, sur la ligne du quotient.

Equations et inéquations : image 8


La solution de l'inéquation \frac{x-1}{3-x}\leq0 \text{ est donc } ]-\infty;1]\cup]3;+\infty[.
Il faut bien faire attention aux bornes des intervalles.

Remarque : On peut être amené à résoudre des équations du type \frac{x-1}{3-x}<2.
Cette inéquation revient à résoudre \frac{x-1}{3-x}-2<0. On met alors au même dénominateur et on se retrouve à étudier de nouveau le signe d'un quotient.
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