Fiche de mathématiques
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Exercice Equations et inéquations

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Exercice

1. On considère l'équation (2x-1)(x+4)-(2x-1)^2=0
Factoriser l'expression puis résoudre algébriquement cette équation par le calcul et enfin vérifier graphiquement les solutions trouvées.

2. Résoudre l'inéquation \frac{4x-1}{4-x} \geq 0.







1. (2x-1)(x+4)-(2x-1)^2 =(2x-1)[(x+4)-(2x-1)] =(2x-1)(-x+5)
On doit donc résoudre l'équation (2x-1)(-x+5)=0
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un de ses facteurs au moins est nul.

Par conséquent :

2x-1=0 \\ \Leftrightarrow  2x=1 \\ \Leftrightarrow  x=\frac{1}{2} \\ \text{ ou } \\ -x+5=0 \\ \Leftrightarrow  -x=-5 \\ \Leftrightarrow  x=5

Les solutions de l'équation sont donc \frac{1}{2} et 5.
Exercice Equations et inéquations : image 1


Les solutions trouvées par le calcul sont bien cohérentes avec celles trouvées sur le graphique.

2. On étudie le signe de 4x-1 puis celui de 4-x
4x-1=0 revient à x=\frac{1}{4}.
4x-1 > 0 revient à x> \frac{1}{4}.

4-x=0 revient à x=4.
4-x>0 revient à x<4.

On obtient ainsi le tableau de signe suivant :

\begin{array} {|c|cccccccc|} x & -\infty & & \frac 1 4 & & 4 & & +\infty & \\ \hline {\text{signe de }4x-1} & & - & 0 & + & & + & & \\ \hline {\text{signe de }4-x} & & + & & + &0 & - & & \\ \hline {\text{signe de }\frac{4x-1}{4-x}} & & -&0 & + & \|& -& & \\ \hline \end{array}


Ainsi la solution de \frac{4x-1}{4-x} \geq 0 \text{ est } [\frac{1}{4};4[.
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