Fiche de mathématiques
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Fonctions Carré et Inverse

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I. Rappels

Propriétés du carré d'un nombre réel :
     Le carré d'un nombre réel est positif ou nul, c'est-à-dire : quel que soit le nombre réel x, x²\ge0.
     Deux nombres réels opposés ont même carré, c'est-à-dire : quel que soit le nombre réel x, (-x)² = x².


Produits remarquables :
Quels que soient les nombres réels a et b,
     (a + b)² = a² + 2ab + b²
     (a - b)² = a² - 2ab + b²
     (a - b)(a + b) = a² - b²



II. Fonction carré

Définition :
La fonction carré f est définie sur \mathbb{R} par : f(x) = x².


Propriété :
La fonction carré est décroissante sur ]-\infty; 0] et croissante sur [0 ; +\infty[.


La fonction carré présente un minimum égal à 0 en 0.
Son tableau de variations est le suivant :
présentation des fonctions carrée et inverse - seconde : image 1

La courbe représentative de la fonction carrée est la suivante :
présentation des fonctions carrée et inverse - seconde : image 2

Définition :
Dans un plan muni d'un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction carré est une courbe appelée parabole.


L'origine du repère est le sommet de cette parabole.
Propriété :
La représentation graphique de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.



III. Fonction inverse

Définition :
La fonction inverse f est définie pour tout nombre réel différent de 0 par : f(x) = \dfrac{1}{x}.


La fonction inverse est définie sur \mathbb{R} \backslash \lbrace0\rbrace ou sur \mathbb{R}^*.
Propriété :
Propriété :_ La fonction inverse est décroissante sur ]-\infty; 0[ et décroissante sur ]0 ; +\infty[.


Son tableau de variations est le suivant :
présentation des fonctions carrée et inverse - seconde : image 4

Dans le tableau de variations, la double-barre sous 0 indique que la fonction n'est pas définie en 0.
La courbe représentative de la fonction inverse est la suivante :
présentation des fonctions carrée et inverse - seconde : image 5

Définition :
Dans un plan muni d'un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction inverse est une courbe appelée hyperbole.


Propriété :
La représentation graphique de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine du repère.

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