Fiche de mathématiques
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Fonctions numériques

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exercice 1

  Ensemble de définition d'une fonction
Indiquer sur quelle(s) partie(s) de \mathbb{R} les fonctions suivantes sont définies :
1. f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{2}2. f(x) = \dfrac{2}{x^2 - 4}
3. f(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 - 14x + 49}4. f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 1}{2 - x}}



exercice 2

  Fonctions égales
Les fonctions f et g suivantes sont elles égales ?
1. f(x) = x^2 + 4x + 4et g(x) = (x + 2)^2
2. f(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{3(x - 2)}et g(x) = \dfrac{x + 1}{3}
3. f(x) = \dfrac{x - 1}{2x - 5}et g(x) = \dfrac{1 - x}{5 - 2x}



exercice 3

  Fonctions paires, impaires.
Etudier la parité des fonctions f suivantes :
1. D_f = \mathbb{R} \text{ et } f(x) = 3x
2. D_f = \mathbb{R} \text{ et } f(x) = \dfrac{x^2 - 2}{x^2 + 1}
3. D_f = \mathbb{R} \text{ et } f(x) = x^2 - x
4. D_f = \mathbb{R}\backslash \lbrace -1; 0; 1\rbrace  \text{ et } f(x) = \dfrac{-4}{x^3 - x}
5. D_f = \left]-\infty; -\sqrt{5}\right] \cup \left[\sqrt{5}; +\infty\right[ \text{ et } f(x) = \sqrt{x^2 - 5}
6. D_f = \mathbb{R}^{\ast} \text{ et } f(x) = \dfrac{4|x|}{x}


exercice 4

  Représentation graphique d'une fonction
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}), représenter graphiquement les fonctions f suivantes; indiquer pour chacune d'elles (par lecture graphique) l'ensemble des solutions de l'équation f(x) = 0 (S1) et de l'inéquation f(x) > 0 (S2) :
1. f(x) = 3x + 22. f(x) = 1 - x
3. f(x) = x^2 - 14. f(x) = \dfrac{2}{2 - x}



exercice 5

  Sens de variation d'une fonction
1. Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = - x + 2.
Etudier les variations de f sur \mathbb{R}.

2. Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = 3x^2.
Montrer que f est décroissante sur \small ]-\infty; 0] et que f est croissante sur [0; +\infty[



exercice 1

1 Aucun problème de définition de f : toutes les valeurs possibles pour x ont une image par f.
D'où : Df = \mathbb{R}

2. f(x) = \dfrac{2}{x^2 - 4}
f est définie si et seulement si le dénominateur ne s'annule pas. On cherche donc la (ou les) valeur(s) interdite(s) :
x^2 - 4 \neq 0 \\ x \neq -2 \text{ et } x \neq 2
D'où : Df = \mathbb{R} \setminus \lbrace -2 ; 2 \rbrace

3. f(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 - 14x + 49}
x^2 - 14x + 49 \neq 0 \\ (x - 7)^2 \neq 0 \\ x \neq 7
D'où : Df = \mathbb{R} \setminus \lbrace 7 \rbrace.

4. f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 1}{2 - x}}.
Il faut que l'expression sous la racine soit positif ou nul et que le dénominateur soit non nul :
\dfrac{x + 1}{2 - x} \geq 0 \text{ et } 2 - x \neq 0.
Etudions le signe de \dfrac{x + 1}{2 - x} :
x + 1 \leq 0 \text{ si et seulement si } x \leq -1\\ \text{et } 2 - x \leq 0 \text{ si et seulement si } x \geq 2

Tableau de signes :
\begin{array}{|c|lcccccr|}  \hline x & -\infty&&-1&&2&&+\infty\\ \hline  x + 1&&-&0&+&&+& \\ \hline  2 - x&&+&&+&0&-& \\ \hline \dfrac{x + 1}{2 - x}&&-&0&+&||&-& \\ \hline \end{array}

D'où : x \in [-1; 2[.



exercice 2

1. Df = Dg = \mathbb{R}.
On reconnaît l'identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b²
Donc f(x) = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 = g(x)
D'où : f = g

2. Df = \mathbb{R} \setminus \lbrace 2\rbrace et Dg = \mathbb{R}
Or, pour que deux fonctions soient égales il faut qu'elles le soient pour TOUTES les valeurs de x. Pour x = 2, f n'est pas définie et g l'est.
D'où : f \neq g

3. D_f = \mathbb{R}\setminus \left \lbrace \frac52 \right \rbrace  \hspace{5pt} \text{ et } \hspace{5pt} D_f = \mathbb{R} \setminus \left \lbrace \frac52 \right \rbrace
De plus, f(x) = \dfrac{x - 1}{2x - 5} = \dfrac{-(-x + 1)}{-(-2x + 5)} = \dfrac{1 - x}{-2x + 5} = g(x)
D'où : f = g



exercice 3

1.
L'ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0.
Pour tout x appartenant à Df, f(-x) = 3(-x) = -3x = -f(x)
D'où : la fonction f est impaire.

2.
L'ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0.
Pour tout x appartenant à Df, f(-x) = \dfrac{(-x)^2 - 2}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{x^2 - 2}{x^2 + 1} = f(x)
D'où : la fonction f est paire.

3.
L'ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0.
Pour tout x appartenant à Df, f(-x) = (-x)^2 - (-x) = x^2 + x
Donc : f(-x) \neq f(x) et f(-x) \neq -f(x).
D'où : f n'est ni paire ni impaire.

4.
L'ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0.
Pour tout x appartenant à Df, f(-x) = \dfrac{-4}{(-x)^3 - (-x)} = \dfrac{-4}{-(x^3 - x)} = -f(x)
D'où : la fonction f est impaire.

5.
L'ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0.
Pour tout x appartenant à Df, f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 5} = \sqrt{x^2 - 5} = f(x)
D'où : la fonction f est paire.

6.
L'ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0.
Pour tout x appartenant à Df, f(-x) = \dfrac{4|-x|}{-x} = \dfrac{4|x|}{-x} = -f(x)
D'où : la fonction f est impaire.


exercice 4

1.
cinq exercices reprenant ce qu'il faut savoir pour des études de fonctions - seconde : image 5

S_1 = \lbrace -\frac23\rbrace  \text{ et } S_2 = \left]-\frac23; +\infty\right[.

2.
cinq exercices reprenant ce qu'il faut savoir pour des études de fonctions - seconde : image 6

S1 = {1} et S2 = ]-\infty; 1[.

3.
cinq exercices reprenant ce qu'il faut savoir pour des études de fonctions - seconde : image 7

S_1 = \lbrace -1; 1\rbrace  \text{ et } S_2 = ]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[.

4.
cinq exercices reprenant ce qu'il faut savoir pour des études de fonctions - seconde : image 8

S_1 = \emptyset \text{ et } S_2 = ]-\infty; 2[.


exercice 5

1. f(x) = -x + 2
Soient a et b deux réels tels que a < b, alors :
-a > -b et -a + 2 > -b + 2
D'où : a < b entraîne f(a) > f(b) : f est décroissante sur \mathbb{R}

2. f(x) = 3x²
Soient a et b deux réels de \small ]-\infty; 0] tels que a < b \small \leq 0, alors :
f(a) - f(b) = 3a² - 3b² = 3(a² - b²) = 3(a - b)(a + b)
Comme a et b sont deux réels négatifs, alors a + b < 0.
Comme a < b, alors a - b < 0.
Donc : 3(a - b)(a + b) > 0
D'où : a < b \small \leq 0 entraîne f(a) > f(b) : f est décroissante sur \small ]-\infty; 0].

Soient a et b deux réels de \small [0; +\infty[ tels que 0 \small \leq a < b, alors :
f(a) - f(b) = 3(a - b)(a + b)
Comme a et b sont deux réels positifs, alors a + b > 0.
Comme a < b, alors a - b < 0.
Donc : 3(a - b)(a + b) < 0
D'où : 0 \leq a < b entraîne f(a) < f(b) : f est croissante sur \small [0; +\infty[.
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