Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Antilles-Guyane - Session Juin 2008

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

2 points

exercice 1

En précisant les différentes étapes de calcul :

1. Calculer le nombre A ci-dessous et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible : $\text{A} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{17}{9} - \dfrac{1}{3}}$ .

2. Donner l'écriture scientifique de B : $\text{B} = \dfrac{81 \times 10^3 \times 6 \times 10^{-10}}{18 \times 10^{-2}}$ .

6 points

exercice 2

Pour chaque ligne du tableau suivant, 4 réponses (A, B, C et D) sont proposées.
Écrire dans la dernière colonne du tableau la (ou les) lettre(s) correspondant à la (ou les) bonne(s) réponse(s).

Énoncé	Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D	Réponse
$\dfrac{6 + 3}{7 + 3}$	$\dfrac{6}{7}$	0,9	$\dfrac{6}{7} + 1$	$\dfrac{9}{10}$
En développant $(3x + 6)^2$ , on obtient	$3x^2 + 36x + 36$	$9x^2 + 36$	$9x^2 + 36x + 36$	$45x + 36$
En factorisant $16x^2 - 4$ , on obtient	$(4x - 2)^2$	$(4x - 2) (4x + 2)$	$(4x + 2)^2$	$(16x - 2) (16x + 2)$
$\sqrt{16} \times \sqrt{5} =$	$\sqrt{16 \times 5}$	$\sqrt{16 + 5}$	$5\sqrt{4}$	$4\sqrt{5}$
$\sqrt{9 + 16 + 25} =$	$3 + 4 + 5$	$\sqrt{50}$	$\sqrt{9} + \sqrt{16} + \sqrt{25}$	$7,07$
La fonction affine $f$ vérifie : $f(0) = 1$ et $f(1) = 2$ . $f$ est définie par	$f(x) = x - 1$	$f(x) = x + 1$	$f(x) = 3x - 1$	$f(x) = 3 - x$

4 points

exercice 3

On considère deux fonctions affines : $f(x) = \dfrac{4}{3}x - 3$ et $g(x) = - x + 6$ Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J), unité : 1 cm.

1. Construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ .

2. Soit K le point d'intersection de ces deux droites.
Déterminer par le calcul les coordonnées du point K.

12 points

Activités géométriques

6 points

exercice 1

La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.

Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2008 - troisième : image 1

Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
On donne : AB = 4,5 cm ; AC = 3 cm ; AN = 4,8 cm et MN = 6,4 cm.

1. Calculer AM et BC.

2. On sait de plus que AE = 5 cm et AF = 7,5 cm.
Montrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.

6 points

exercice 2

Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2008 - troisième : image 2

On considère la pyramide SABCD ci-contre :
la base est le rectangle ABCD de centre O.
AB = 40 cm et BD = 50 cm.
La hauteur [SO] mesure 81 cm.

1. Montrer que AD = 30 cm.

2. Calculer en cm³, le volume de la pyramide SABCD.

3. Soit O' le point de [SO] tel que SO' = 54 cm.
On coupe la pyramide par un plan passant par O' et parallèle à sa base.
    a) Quelle est la nature de la section A'B'C'D' obtenue ?
    b) La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD.
Donner le coefficient de réduction.
    c) Quel est le volume de SA'B'C'D' ?

4. a) Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{SAO}}$ .
    b) Donner une valeur approchée de l'angle $\widehat{\text{SAO}}$ arrondie au degré près.

12 points

Problème

Dans ce problème, l'unité de longueur est le cm et l'unité d'aire, le cm². On utilisera une feuille de papier millimétré pour la figure.
(O, I, J ) est un repère orthonormé, avec OI = OJ = 1 cm.

1. Placer les points suivants : A(3 ;-5) ; B(1 ; 6) et C(-3 ; 3).

2. a) Montrer par le calcul que AB $= 5\sqrt{5}$ ; AC = 10 et BC = 5.
    b) Démontrer que ABC est un triangle rectangle en C.

3. a) Construire le point D, image de A dans la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{BC}}$ .
    b) Justifier que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
    c) Recopier et compléter sans justifications les égalités : $\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{CB}} = \cdots\cdots \qquad ; \qquad \overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{\text{BC}} = \cdots\cdots$
4. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{BC}}$ .

5. a) Calculer l'aire du parallélogramme ABCD.
    b) Soit K le centre de symétrie du parallélogramme ABCD.
Calculer les coordonnées du point K.

Correction

Activités numériques

exercice 1

1. $A=\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{17}{9}-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6}}{\dfrac{17}{9}-\dfrac{3}{9}}=\dfrac{\dfrac{7}{6}}{\dfrac{14}{9}}=\dfrac{7}{6}\times\dfrac{9}{14}=\dfrac{7\times 9}{6\times 14}=\dfrac{7\times 3\times 3}{3\times 2\times 7\times 2}=\dfrac{3}{4}$ , et cette dernière fraction est irréductible.

2. $B=\dfrac{81\times 10^3\times 6\times 10^{-10}}{18\times 10^{-2}}=\dfrac{9\times 9\times 2\times 3\times 10^3\times 10^{-10}}{9\times 2\times 10^{-2}}=9\times 3\times 10^{3-10-(-2)}=27\times 10^{-5}=2,7\times 10^{-4}$ .

exercice 2

1. réponses B et D.
2. réponse C.
3. réponse B.
4. réponses A et D.
5. réponse B.
6. réponse B.

exercice 3

1. Voici les représentations graphiques des fonctions f et g :

Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2008 - troisième : image 3

2 Soient $(x_0;y_0)$ les coordonnées du point K ; comme K appartient à C_f, on a $y_0=\dfrac{4}{3}x_0-3$ . Comme K appartient aussi à C_g, on a d'autre part $y_0=-x_0+6$ . Ainsi, $(x_0;y_0)$ vérifie le système suivant : $\left \lbrace \begin{array}{l} y_0=\dfrac{4}{3}x_0-3 \\ y_0=-x_0+6 \\ \end{array} \right.$ . Résolvons ce système :
$\left \lbrace \begin{array}{l} y_0=\dfrac{4}{3}x_0-3 \\ y_0=-x_0+6\\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{l} -x_0+6=\dfrac{4}{3}x_0-3 \\ y_0=-x_0+6\\ \end{array} \right.$
La première de ces équations donne : $-x_0-\dfrac{4}{3}x_0=-9$ , puis $-\dfrac{7}{3}x_0=-9$ , et enfin $x_0=\dfrac{27}{7}$ . En remplaçant cette valeur dans la deuxième équation, on obtient : $y_0=-x_0+6=-\dfrac{27}{7}+\dfrac{42}{7}=\dfrac{15}{7}$ .
K a pour coordonnées : $\left(\dfrac{27}{7},\dfrac{15}{7}\right)$ .

Activités géométriques

exercice 1

1. Les points A, B, M d'une part, et A, C, N d'autre part, sont alignés dans cet ordre. De plus, les droites (BC) et (MN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a : $\dfrac{\text{AB}}{\text{AM}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AN}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{MN}}$ . On en déduit :
$\text{AM}=\dfrac{\text{AB}\times \text{AN}}{\text{AC}}=\dfrac{4,5\times 4,8}{3}=7,2$ .
$\text{BC}=\dfrac{\text{AC}\times \text{MN}}{\text{AN}}=\dfrac{3\times 6,4}{4,8}=4$ .

2. Les points E, A, C d'une part, et F, A, B d'autre part, sont alignés dans cet ordre. De plus, $\dfrac{\text{AB}}{\text{AF}}=\dfrac{4,5}{7,5}=0,6$ et $\dfrac{\text{AC}}{\text{AE}}=\dfrac{3}{5}=0,6$ : ainsi, $\dfrac{\text{AB}}{\text{AF}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AE}}$ .
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (EF) sont parallèles.

exercice 2

1. Puisque ABCD est un rectangle, le triangle ABD est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore, on a alors : $\text{AB}^2+\text{AD}^2=\text{BD}^2$ , ce qui entraîne que $\text{AD}^2=\text{BD}^2-\text{AB}^2=50^2-40^2=900$ , d'où $\text{AD}=30$ cm.

2. Le volume de la pyramide vaut : $\dfrac{\text{Aire de ABCD}\times \text{SO}}{3}=\dfrac{40\times 30\times 81}{3}=32400$ cm³.

3. a) Le quadrilatère A'B'C'D' est un rectangle.

3. b) Le coefficient de réduction est $k=\dfrac{\text{SO}'}{\text{SO}}=\dfrac{54}{81}=\dfrac{2}{3}$ .

3. c) Le volume de SA'B'C'D' est $\text{volume de SABCD}\times k^3=32400\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=9600$ cm³.

4. a) Le triangle SAO est rectangle en O. On a $\text{SO}=81$ cm et $\text{OA}=\dfrac{1}{2}\text{AC}=\dfrac{1}{2}\text{BD}=25$ cm. Alors $\tan(\widehat{SAO})=\dfrac{\text{SO}}{\text{OA}}=\dfrac{81}{25}=3,24$ .

4. b) $\tan^{-1}(3,24)\approx 72,8°$ . À un degré près, $\widehat{SAO}\approx 73°$ .

Problème

Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2008 - troisième : image 4

2.a) $\text{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(-2)^2+11^2}=\sqrt{4+121}=\sqrt{125}=\sqrt{25\times 5}=5\sqrt{5}$ .
De même, $\text{AC}=\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ et $BC=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5$ .
2.b) On a $\text{AB}^2=125$ , et $\text{AC}^2+\text{BC}^2=25+100=125$ aussi. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

3.a) voir la figure.

3.b) D est l'image de A par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{BC}}$ : on a donc $\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{BC}}$ ; on en déduit que ABCD est un parallélogramme.

3.c) $\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{CB}}=\overrightarrow{\text{AB}}$ ; $\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{BD}}$ .

4. Le vecteur $\overrightarrow{\text{BC}}$ a pour coordonnées $(x_C-x_B, y_c-y_B)=(-4,-3)$ .

5.a) L'aire du parallélogramme ABCD vaut $\text{BC}\times \text{AC}=5\times 10=50$ cm² (car (AC) est perpendiculaire à (BC)).

5.b) K est le milieu de [AC] ; ses coordonnées sont donc $\left(\dfrac{x_A+x_C}{2},\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$ , soit $K(0,-1)$ .

Publié par TP/critou le 17-05-2010

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