Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Métropole - La Réunion - Mayotte - Session Juin 2010

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Durée de l'épreuve : 2 h 00       Coefficient : 1
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.
I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points
12 points

I - Activités numériques

exercice 1

On considère le programme de calcul ci-dessous :
choisir un nombre de départ
multiplier ce nombre par (-2)
ajouter 5 au produit
multiplier le résultat par 5
écrire le résultat obtenu.

1. a) Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5.
    b) Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on ?

2. Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu soit 0 ?

3. Arthur prétend que, pour n’importe quel nombre de départ x, l’expression (x - 5)2 - x2 permet d’obtenir le résultat du programme de calcul.
A-t-il raison ?




exercice 2

L'eau en gelant augmente de volume. Le segment de droite ci-dessous représente le volume de glace (en litres) obtenu à partir d'un volume d’eau liquide (en litres).
Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2010 - troisième : image 1


1. En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes.
    a) Quel est le volume de glace obtenu à partir de 6 litres de liquide ?
    b) Quel volume d’eau liquide faut-il mettre à geler pour obtenir 10 litres de glace ?

2. Le volume de glace est-il proportionnel au volume d’eau liquide ? Justifier.

3. On admet que 10 litres d’eau donnent 10,8 litres de glace. De quel pourcentage ce volume d'eau augmente-t-il en gelant ?


12 points

II - Activités géométriques

exercice 1

Dans la figure ci-dessous :
ABCD est un carré de côté 9 cm ;
les segments de même longueur sont codés.
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1. Faire une figure en vraie grandeur.

2. a) Calculer JK.
    b) L'octogone IJKLMNOP est-il un octogone régulier ? Justifier la réponse.
    c) Calculer l'aire de l'octogone IJKLMNOP.

3. Les diagonales du carré ABCD se coupent en S.
    a) Tracer sur la figure en vraie grandeur le cercle de centre S et de diamètre 9 cm.
    b) Le disque de centre S et de diamètre 9 cm a-t-il une aire supérieure à l'aire de l'octogone ?
Justifier la réponse.




exercice 2

SABC est une pyramide de base triangulaire ABC telle que :
AB = 2 cm ; AC = 4,8 cm ; BC = 5,2 cm.
La hauteur SA de cette pyramide est 3 cm.
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1. Dessiner en vraie grandeur le triangle ABC à partir des deux points B et C donnés sur l'annexe 1.

2. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
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3. On veut construire un patron en vraie grandeur de la pyramide SABC.
Le début de ce patron est dessiné ci-contre à main levée.
Compléter le dessin de la feuille annexe 1 pour obtenir le patron complet, en vraie grandeur de la pyramide.

4. Calculer le volume de SABC en cm3.
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule :
V= \dfrac{1}{3}B \times hB est l'aire d'une base et h la hauteur associée.

Annexe 1 :
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12 points

III - Problème

Une entreprise doit rénover un local.
Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40 m, la largeur est 5,20 me t la hauteur sous plafond est 2,80 m.
Il comporte une porte de 2 m de haut sur 0,80 m de large et trois baies vitrées de 2 m de haut sur 1,60 m de large.
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Première partie : Peinture des murs et du plafond

Les murs et le plafond doivent être peints. L'étiquette suivante est collée sur les pots de la peinture choisie.
Peinture pour murs et plafond
Séchage rapide
Contenance : 5 litres
Utilisation recommandée :
1 litre pour 4 m2


1. a) Calculer l'aire du plafond.
    b) Combien de litres de peinture faut-il pour peindre le plafond ?

2. a) Prouver que la surface de mur à peindre est d'environ 54 m2.
    b) Combien de litres de peinture faut-il pour peindre les murs ?

3. De combien de pots de peinture l'entreprise doit-elle disposer pour ce chantier ?

Deuxième partie : Pose d'un dallage sur le sol

1. Déterminer le plus grand diviseur commun à 640 et 520.

2. Le sol du local doit être entièrement recouvert par des dalles carrées de même dimension.
L'entreprise a le choix entre des dalles dont le côté mesure 20 cm, 30 cm, 35 cm, 40 cm ou 45 cm.
    a) Parmi ces dimensions, lesquelles peut-on choisir pour que les dalles puissent être posées sans découpe ?
    b) Dans chacun des cas trouvés combien faut-il utiliser de dalles ?

Troisième partie : Coût du dallage

Pour l'ensemble de ses chantiers, l'entreprise se fournit auprès de deux grossistes. Les tarifs proposés pour des paquets de 10 dalles sont :
Grossiste A : 48 € le paquet, livraison gratuite.
Grossiste B : 42 € le paquet, livraison 45 € quel que soit le nombre de paquets.

1. Quel est le prix pour une commande de 9 paquets :
    a) avec le grossiste A ?
    b) avec le grossiste B ?

2. Exprimer en fonction du nombre n de paquets :
    a) le prix PA en euros d'une commande de n paquets avec le grossiste A ;
    b) le prix PB en euros d'une commande de n paquets avec le grossiste B.

3. a) Représenter graphiquement chacun de ces deux prix en fonction de n dans le repère donné sur la feuille annexe 2.
    b) Quel est, selon le nombre de paquets achetés, le tarif le plus avantageux ?

Annexe 2 :
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Activités numériques

exercice 1

1. a) On choisit comme nombre de départ 2.
    on multiplie 2 par -2 : on obtient -4 ;
    on ajoute 5 au produit obtenu à la ligne précédente : on obtient 1 ;
    on multiplie 1 par 5 : on obtient 5.
Ainsi, en choisissant 2 comme nombre de départ, on obtient bien 5.

1. b) Si on choisit au départ le nombre 3 :
    on multiplie 3 par -2 : on obtient -6 ;
    on ajoute 5 à -6 : on obtient -1 ;
    on multiplie -1 par 5 : on obtient -5.
En choisissant 3 au départ, on obtient donc en résultat -5.

2. On écrit le programme de calcul sous forme d'une fonction. Pour cela, on choisit comme nombre de départ x.
on multiplie x par -2 : on obtient -2x ;
on ajoute 5 au produit obtenu : -2x+5 ;
on multiplie le résultat par 5 : 5*(-2x+5) = -10x+25.
Autrement dit, pour que le résultat obtenu soit 0, il faut trouver le nombre x solution de l'équation 5\times(-2x+5)=0.
Un produit de facteur étant nul si au moins un de ses facteurs est nul, l'équation revient donc à -2x+5=0 soit \displaystyle\fbox{\math x=\frac{5}{2}}.

3. Développons l'expression proposée par Arthur :
(x-5)^2-x^2\\=x^2-2\times x\times5+5^2-x^2\\=-10x+25
On retrouve bien l'expression trouvée à la question 2 : Arthur a donc raison.




exercice 2

Pour répondre à la question, on lit le graphique ci-dessous :
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1. a) Pour trouver le volume de glace obtenu à partir de 6 litres d'eau, on lit le graphique en partant de la graduation « 6 » de l'axe des abscisses (qui représente le volume d'eau liquide en L).
En suivant la ligne verte tracée sur le graphique ci-dessus, on constate ainsi qu'on peut obtenir 6,5L de glace à partir de 6L d'eau liquide.

1. b) Pour trouver le volume d'eau liquide à mettre à geler pour obtenir 10 litres de glace, on lit le graphique en partant de la graduation « 10 » de l'axe des ordonnées (qui représente le volume de glace en L).
En suivant la ligne rouge tracée sur le graphique ci-dessus, on en déduit qu'il faut mettre à geler 9,3L d'eau liquide pour obtenir 10L de glace.

2. La courbe représentant le volume de glace obtenu en fonction du volume d'eau liquide mis à geler est une droite passant par l'origine.
Le volume de glace est donc bien proportionnel au volume d'eau liquide.

3. Si 10 litres d'eau donnent 10,8 litres de glace, alors 100 litres d'eau donnent 108 litres de glace. En gelant, le volume d'eau augmente donc de 8%.


Activités géométriques

exercice 1

1. Laissé à la sagacité du lecteur.

2. a) Dans le triangle JBK rectangle en B, on a d'après le théorème de Pythagore : JK² = JB² + BK².
D'après le codage de la figure, on a par ailleurs JB = BK = (1/3)*AB = (1/3)*9 = 3 soit 3 cm.
Autrement dit, JK² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18, donc JK=\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2} car JK est positif.

2. b) Un octogone régulier possède 8 côtés de même longueur.
Or, on a montré à la question 2. a) que JB=3 (et donc d'après le codage de la figure, IJ=3) et JK=3\sqrt{2}.
On a donc IJ\neq JK : l'octogone IJKLMNOP n'est pas un octogone régulier.

2. c) Pour calculer l'aire de l'octogone IJKLMNOP, on le découpe en 4 triangles rectangles et 5 carrés de côté (1/3)*AB = 3 cm, comme sur la figure ci-dessous :
Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2010 - troisième : image 9

On a alors \mathcal{A}_{IJKLMNOP} = 4\times\mathcal{A}^{triangle}_{bleu}+5\times\mathcal{A}^{carré}_{rouge} = 4\times\frac{3\times3}{2}+5\times(3\times3)=18+45=63 soit 63 cm².

3. a) On obtient la figure ci-dessous :
Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2010 - troisième : image 10


3. b) Par définition, l'aire d'un disque de diamètre 9 cm (et donc de rayon r=4,5 cm) est \mathcal{A}=\pi\times r^2=\pi\times(4,5)^2\simeq 63,6 soit environ 63,6 cm².
L'aire du disque est donc plus grande que l'aire de l'octogone.




exercice 2

1. On construit la figure à l'aide du compas, comme sur la figure ci-dessous :
Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2010 - troisième : image 11


2. On peut conjecturer que ABC est un triangle rectangle. [BC] étant le plus grand côté, c'est l'unique côté susceptible d'être l'hypoténuse (autrement dit, le triangle ne pourrait être rectangle qu'en A). Calculons :
BC² = (5,2)² = 27,04
AB² + AC² = 2² + (4,8)² = 4 + 23,04 = 27,04.
Ainsi, on a l'égalité BC² = AB² + AC², d'où il résulte que le triangle ABC est rectangle en A, d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

3. Sur le patron déjà dessiné, on ne peut compter que 3 faces. Or, on sait que la pyramide possède 4 faces : il manque donc une face, en l'occurrence ici la face (BSC).
Un patron possible est donc celui présenté ci-dessous, construit au compas, où l'on a décidé de construire la face manquante sur le segment [BC] :
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4. \displaystyle\mathcal{V}_{pyramide}=\frac{1}{3}\times\mathcal{A}_{ABC}\times SA=\frac{1}{3}\times\frac{AB\times AC}{2}\times SA=\frac{1}{\not{3}}\times\frac{\not{2}\times4,8}{\not{2}}\times\not{3}=\fbox{4,8} soit 4,8 cm3.


Problème

Première partie : Peinture des murs et du plafond

1. a) L'aire du plafond est 6,40*5,20 = 33,28 soit 33,28 m².

1. b) Pour peindre 4 m², il est recommandé d'utiliser 1L de peinture. Donc pour peindre 33,28 m², il faudra utiliser 33,28 / 4 = 8,32 soit 8,32L de peinture.

2. a) La surface totale des murs (portes et baies vitrées incluses) est de 2*(2,80)*(6,40) + 2*(2,80)*(5,20) = 64,96 soit 64,96 m².
Il faut ensuite retrancher la surface occupée par la porte et les trois baies vitrées, à savoir (0,80)*2 + 3*2*(1,60) = 11,2 soit 11,2 m².
La surface de mur à peindre est donc de 64,96 - 11,2 = 53,76 soit environ 54 m².

2. b) Pour peindre 4 m², il est recommandé d'utiliser 1L de peinture. Donc pour peindre environ 54 m², il faudra utiliser environ 54/4 = 13,5 soit 13,5L de peinture.

3. Pour ce chantier, l'entreprise doit donc disposer de 8,32 + 13,5 = 21,82 soit environ 21,8L de peinture.
Chaque pot de peinture a une contenance de 5 litres, et (21,8)/5 = 4,36. L'entreprise devra donc disposer de 5 pots de peinture pour ce chantier.

Deuxième partie : Pose d'un dallage sur le sol

1. Pour déterminer le plus grand diviseur commun à 640 et 520, on utilise l'algorithme d'Euclide.
640 = {\color{blue} \fbox{520}}\times1+{\color{red} \fbox{120}}\\ {\color{blue} \fbox{520}}={\color{red} \fbox{120}}\times4+{\color{green} \fbox{40}}\\ {\color{red} \fbox{120}}={\color{green} \fbox{40}}\times3+0
Or le plus grand diviseur commun est le dernier reste non nul, donc pgcd(640;520)=40.

2. a) Les dimensions du sol de la pièce sont de 640 cm par 520 cm. Pour que les dalles puissent être posées sans découpe, il est donc nécessaire que la mesure de leur côté soit un diviseur du PGCD de 640 et 520.
    20 et 40 divisent 40 ;
    30, 35 et 45 ne divisent pas 40.
Pour que les dalles puissent être posées sans découpe, il est donc nécessaire d'utiliser les dalles de 20 cm ou de 40 cm.

2. b) Si l'on choisit des dalles de 40 cm de côté, on peut en poser dans la longueur 640/40 = 16 et dans la largeur 520/40 = 13. Autrement dit, il faudra alors utiliser 16*13 = 208 dalles.
    Si l'on choisit des dalles de 20 cm de côté, on pourra en poser deux fois plus que précédemment dans la longueur, et deux fois plus que précédemment dans la largeur. Autrement dit, il faudra poser quatre fois plus de dalles, soit 208*4=832 dalles.

Troisième partie : Coût du dallage

1. a) Pour une commande de 9 paquets avec le grossiste A, le coût de la commande s'élèvera à 9*48 = 432 soit 432 euros.

1. b) Pour une commande de 9 paquets avec le grossiste B, le coût de la commande s'élèvera à 9*42+45 = 423 soit 423 euros.

2. a) Pour n paquets commandés avec le grossiste A, il faudra payer \mathbf{P_A(n)=48n} euros.

2. b) Pour n paquets commandés avec le grossiste B, il faudra payer \mathbf{P_B(n)=42n+45} euros.

3. a) (On rappelle qu'il suffit de connaître deux points seulement pour pouvoir tracer une droite.)
    La fonction qui à un nombre n de paquets associe le prix P_A(n) à payer est une fonction linéaire : sa représentation graphique est donc une droite qui passe notamment par l'origine A_1 du repère et, par exemple, le point B_1(10;480) (car P_A(10)=48\times10=480).
    La fonction qui à un nombre n de paquets associe le prix P_B(n) à payer est une fonction affine : sa représentation graphique est donc une droite qui passe notamment par les points A_2(0;45) et B_2(10;465).
On obtient alors la courbe ci-dessous :
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3. b) On constate que les deux droites se coupent au point d'abscisse 7,5.
    pour un nombre de paquets inférieur ou égal à 7 (n\leq7) : le tarif du grossiste A est plus avantageux ;
    pour un nombre de paquets supérieur ou égal à 8 (n\geq8) : le tarif du grossiste B est plus avantageux.
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