Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Asie - Session Juin 2010

Durée de l'épreuve : 2 h 00 Coefficient : 1
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.

I - Activités numériques	12 points
II - Activités géométriques	12 points
III - Problème	12 points
Qualité de rédaction et de présentation	4 points

12 points

Activités numériques

4 points

exercice 1

On donne les nombres suivants :
A $= \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} \div \dfrac{8}{15}$ B = $\dfrac{6 \times 10^{-2} \times 5 \times 10^2}{1,5 \times 10^{-4}}$ et C = $\sqrt{12} - 5\sqrt{3} + 2\sqrt{48}$ .

Pour les trois questions suivantes, on écrira au moins une étape de calcul.

1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

2. Calculer B et donner le résultat sous forme scientifique.

3. Écrire C sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un nombre entier.

exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.
Pour chaque question, trois réponses sont proposées et une seule est exacte.
Pour chacune des quatre questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.

1. L'expression $(2x - 5)^2$ a pour forme développée :
Proposition 1 : $4x^2 -25$
Proposition 2 : $4x^2 - 20x - 25$
Proposition 3 : $4x^2 - 20x + 25$

2. L'expression $9x^2 - 144$ a pour forme factorisée :
Proposition 1 : $(3x - 12)(3x + 12)$
Proposition 2 : $(3x -12)^2$
Proposition 3 : $(9x - 12)(9x + 12)$

3. L'équation $- 3x + 7 = 0$ a pour solution :
Proposition 1 : $\dfrac{- 7}{3}$
Proposition 2 : $\dfrac{7}{3}$
Proposition 3 : $\dfrac{- 3}{7}$

4. La partie en orange représente les solutions de l'inéquation $5x + 3 \ge 2x + 9$
Proposition 1 :

Diplôme National du Brevet Asie Juin 2010 - troisième : image 1

Proposition 2 :

Diplôme National du Brevet Asie Juin 2010 - troisième : image 2

Proposition 3 :

Diplôme National du Brevet Asie Juin 2010 - troisième : image 3

exercice 3

Dans un magasin, tous les articles d'une même catégorie sont au même prix.
Pierre et Clothilde décident d'y acheter des DVD et des bandes dessinées.
Ils possèdent chacun 75 €. Pierre achète un DVD et 4 bandes dessinées; il lui reste 14,50 €.
Clothilde dépense 73,50 € pour l'achat de 2 DVD et 3 bandes dessinées.
Calculer le prix de chaque article.

12 points

Activités géométriques

exercice 1

On considère la figure ci-dessous :

Diplôme National du Brevet Asie Juin 2010 - troisième : image 4

1. Montrer que le triangle ABO est rectangle.

2. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

3. Le triangle OCD est-il rectangle? Justifier.

exercice 2

Lors d'une intervention, les pompiers doivent atteindre une fenêtre F située à 18 mètres au-dessus du sol en utilisant leur grande échelle [PF]. Ils doivent prévoir les réglages de l'échelle.
Le pied P de l'échelle est situé sur le camion à 1,5 m du sol et à 10 m de l'immeuble.

Diplôme National du Brevet Asie Juin 2010 - troisième : image 5

1. D'après les informations ci-dessus, déterminer la longueur RF.

2. Déterminer l'angle que fait l'échelle avec l'horizontale, c'est-à-dire $\widehat{\text{FPR}}$ , arrondi à l'unité.

3. L'échelle a une longueur maximale de 25 mètres.
Sera-t-elle assez longue pour atteindre la fenêtre F ?

12 points

Problème

On rappelle les formules suivantes :

Périmètre d'un cercle de rayon $R$ : $2\pi R$
Aire d'un disque de rayon $R$ : $\pi R^2$
Volume d'un cône : $\dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$ .

Partie 1

Un cocktail sans alcool est préparé avec 8 cL de jus d'abricot, 6 cL de jus d'ananas, 2 cL de jus de citron vert et 2 cL de sirop de cerise.

1. Quelle est la proportion de jus d'abricot dans ce cocktail ?

2. Pour préparer un pichet contenant 2,7 litres de ce cocktail, quel quantité de jus d'abricot faut-il prévoir ?

Partie 2

Lors d'une fête, une personne sert ce cocktail dans des verres qui ont la forme d'un cône de révolution.
Le bord du verre est un cercle de rayon OC = 5,9 cm.
Ce cercle est situé dans un plan horizontal.
La droite (OS), axe du cône, est verticale et OS = 6,8 cm.
La figure donnée n'est pas réalisée à l'échelle.

Diplôme National du Brevet Asie Juin 2010 - troisième : image 6

1. a) Calculer, en cm³, le volume de ce verre, arrondi à l'unité.
b) En déduire que la contenance de ce verre est d'environ 25 cL.
On utilisera cette valeur dans la suite du problème.

2. a) Dans cette question, le serveur remplit les verres aux quatre cinquièmes de leur hauteur.
On admet que le liquide occupe un cône de hauteur SO' dont la base est le disque de rayon O'C'. On considère que ce disque est horizontal comme le bord du verre.
Calculer le volume de cocktail contenu dans chaque verre. On donnera le résultat au centilitre près.
b) 43 personnes sont attendues à cette fête. Sachant qu'en moyenne, chacune d'elles consommera 3 verres, 20 litres de cocktail suffiront-ils ?

3. Le graphique fourni ci-dessous représente les variations du volume de cocktail contenu dans le verre en fonction de la hauteur de liquide.

Diplôme National du Brevet Asie Juin 2010 - troisième : image 7

    a) Le volume est-il proportionnel à la hauteur de liquide ? Justifier la réponse.
    b) Par lecture graphique, en faisant apparaître les tracés utiles, déterminer :
    Le volume de cocktail si la hauteur de liquide atteint 3 cm.
    La hauteur de liquide si le volume servi est 17 cL.

Voir la correction

Activités numériques

exercice 1

1. Calculons A :
$A = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} \div \dfrac{8}{15}\\\\ A = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} \times \dfrac{15}{8}\\\\ A = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2 \times 3 \times 5}{3 \times 2 \times 4}\\\\ A = \dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4}\\\\ A = -\dfrac{2}{4}\\\\ A = -\dfrac{1}{2}$

2. Calculons B :
$B = \dfrac{6 \times10^{-2} \times 5 \times10^{2}}{1,5 \times 10^{-4}}\\\\ B = \dfrac{6 \times 5 \times 10^{-2+2}}{1,5\times10^{-4}}\\\\ B = 20 \times 10^{0-(-4)}\\ B = 20 \times 10^{4}\\ B = 2,0 \times 10 \times 10^4 \\ B = 2,0\times10^{5}$

3. Écrivons C sous la forme $a \sqrt{3}$ :
$C = \sqrt{12} - 5\sqrt{3} + 2\sqrt{48}\\ C = \sqrt{2^{2}\times 3} - 5\sqrt{3} + 2\sqrt{4^{2} \times 3}\\ C = 2 \sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 2 \times 4 \sqrt{3}\\ C = 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 8\sqrt{3}\\ C = (2 - 5 + 8)\sqrt{3}\\ C = 5\sqrt{3}$

exercice 2

Les justifications ne sont pas nécessaires mais simplement indicatives.
1. Proposition 3 : $4x^2 - 20x + 25$
car : $(2x-5)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 5 + 5^{2} = 4x^{2} - 20x + 25$

2. Proposition 1 : $(3x - 12)(3x + 12)$
car : $9x^2 - 144 = (3x)^2 - 12^2 = (3x - 12)(3x + 12)$

3. Proposition 2 : $\dfrac{7}{3}$
car : $-3x + 7 = 0$
$-3x = 0 - 7\\ x = \dfrac{-7}{-3} \\ x = \dfrac{7}{3}$

4. Proposition 1.
car : $5x + 3 \geq 2x + 9$
$5x - 2x + 3 \geq 9 \\ 3x + 3 \geq 9 \\ 3x \geq 9 - 3 \\ 3x \geq 6\\ x \geq \dfrac{6}{3} \\ x \geq 2$
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 2.

exercice 3

Soit $\text{[math]}$ le prix d'un DVD et soit $y$ le prix d'une bande dessinée.
Pierre possède 75 euros. Après avoir acheté un DVD et 4 bandes dessinées il lui reste 14,50 euros. Il a donc payé : 75 - 14,50, soit 60,50 euros.
On peut donc écrire $x + 4y = 60,50$ .
Clothilde dépense 73,50 euros pour 2 DVD et 3 bandes dessinées. On peut donc écrire $2x + 3y = 73,50$
On a donc :
$\left\lbrace\begin{array}{l}x+4y=60,50\\2x+3y=73,50\end{array}\right.\\\\ \left\lbrace\begin{array}{l}x=60,5-4y\\2(60,5-4y)+3y=73,5\end{array}\right.\\\\ \left\lbrace\begin{array}{l}x=60,5-4y\\121-8y+3y=73,5\end{array}\right.\\\\ \left\lbrace\begin{array}{l}x=60,5-4y\\-5y=-47,5\end{array}\right.\\\\ \left\lbrace\begin{array}{l}x=60,5-4y\\y=9,5\end{array}\right.\\\\ \left\lbrace\begin{array}{l}x=60,5-4\times9,5\\y=9,5\end{array}\right.\\\\ \left\lbrace\begin{array}{l}x=22,5\\y=9,5\end{array}\right.$
Le prix d'un DVD est donc de 22,50 euros.
Le prix d'une bande dessinée est de 9,50 euros.

ou : $\left\lbrace\begin{array}{l} x + 4y = 60,50 (1)\\2x + 3y = 73,50 (2)\end{array}\right.$
Résolvons ce système par substitution :
A l'aide de l'équation (1), exprimons $x$ en fonction de $y$ : $x = 60,50 - 4y$
Remplaçons $x$ par $60,50 - y$ dans l'équation (2), on obtient :
$2(60,50 - 4y) + 3y = 73,50 \\ 121 - 8y + 3y = 73,50 \\ -5y = 73,50 - 121 \\ -5y = - 47,50 \\ y = \dfrac{-47.50}{-5} \\ y = 9,5$
On sait que $x = 60,50 - 4y$ , donc : $x = 60,50 - 4 \times 9,5 = 60,50 - 38 = 22,50$
D'où : un DVD coûte 22,50 euros et une bande dessinée coûte 9,50 euros.

Activités géométriques

exercice 1

1. $AB^{2}+AO^{2}=3,6^{2}+4,8^{2}=36=6^{2}=BO^{2}$
donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABO est rectangle en A.

2. $\cfrac{OB}{OD}=\cfrac{6}{7,5}=0,8=\cfrac{4,8}{6}=\cfrac{OA}{OC}$
donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(AB)//(CD)$ .

3. D'après le théorème de Thalès, on a :
$\cfrac{OA}{OC}=\cfrac{AB}{CD}$ d'où $CD=\cfrac{OC\timesAB}{OA}=\cfrac{6\times3,6}{4,8}=4,5$ .
$OC^{2}+CD^{2}=6^{2}+4,5^{2}=56,25=7,5^{2}=OD^{2}$
donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, OCD est rectangle en C.

exercice 2

1. F est à 18m du sol, R est à la même hauteur que P soit 1,5m. donc RF = 18-1,5 = 16,5m.

2. FRP est rectangle en R donc $\tan(\widehat{FPR})=\cfrac{FR}{RP}=\cfrac{16,5}{10}=1,65$ donc $\widehat{FPR}=\tan^{-1}1,65\approx59°$

3. Calculons la longueur nécessaire pour atteindre la fenêtre.
FRP est rectangle donc d'après le théorème de Pythagore :
$\begin{array}{rcl}FP^{2}&=&FR^{2}+RP^{2}\\ &=&16,5^{2}+10^{2}\\ &=&372,25\\\\ FP&\approx&19,294\ \rm{m} \end{array}$
19,294<25 donc l'échelle est suffisemment longue.

Problème

Partie 1

1. La proportion de jus d'abricot est donnée par la formule suivante : $\cfrac{\rm{volume\ de\ jus\ d'abricot}}{\rm{volume\ total}}$ soit $\cfrac{8}{8+6+2+2}=\cfrac{4}{9}$ .

2. Pour préparer un pichet de 2,7L de cocktail, il faut prévoir $2,7\times\cfrac{4}{9}=1,2\ \rm{L}$ de jus d'abricot.

Partie 2

1.a) Le verre a un volume de $\cfrac{\pi\times OC^{2}\times OS}{3}=\cfrac{\pi\times5,9^{2}\times6,8}{3}\approx248\ \rm{cm}^{3}$ .
1.b) 248 cm³ environegal

250 cm³. Or 1cm³ = 1mL. Donc 250cm³ = 250mL = 25cL.

2.a) Le volume occupé par le liquide est égal à $\left(\cfrac{4}{5}\right)^{3}\times\rm{volume\ du\ verre}$ soit $\left(\cfrac{4}{5}\right)^{3}\times25\approx13\ \rm{cL}$ .

2.b) Chacune des personnes consommera $13\times3=39\ \rm{cL}$ de cocktail. Il faut donc au moins $39\times43=1677\ \rm{cL}=16,77\ \rm{L}$ de cocktail donc 20 litres suffiront.

3.a) Le volume n'est pas proportionnel à la hauteur de liquide car la représentation graphique du volume de cocktail en fonction de la hauteur n'est pas une droite passant par l'origine.

Diplôme National du Brevet Asie Juin 2010 - troisième : image 8

Remarque : Le graphique n'est pas correct. Pour une hauteur de 7cm, il indique un volume de 20,5 cL or l'énoncé précise bien que la contenance du verre est environ de 25 cL et cela pour une hauteur de 6,8 cm....

3.b) Si le liquide atteint 3 cm de hauteur, le volume est d'environ 1,6 cL (en rouge sur le graphique).
Si le volume servi est 17 cL, le liquide atteint environ 6,6 cm (en vert sur le graphique).

Publié par TP/david9333 le 22-11-2015

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