Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Liban - Session Juin 2010

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Durée de l'épreuve : 2 h 00       Coefficient : 1
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.
I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points
12 points

Activités numériques

exercice 1

On propose deux programmes de calcul
Programme A
Choisir un nombre.
Ajouter 5.
Calculer le carré du résultat obtenu.

 
Programme B
Choisir un nombre.
Soustraire 7.
Calculer le carré du résultat obtenu.

1. On choisit 5 comme nombre de départ. Montrer que le résultat du programme B est 4.

2. On choisit -2 comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A ?

3. a) Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit 0 ?
    b) Quels nombres faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit 9 ?

4. Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ?




exercice 2

Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune de ces boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard.

1. Calculer la probabilité pour que cette boule soit rouge.

2. Calculer la probabilité pour que cette boule soit noire ou jaune.

3. Calculer la somme des deux probabilités trouvées aux deux questions précédentes.
Le résultat était-il prévisible ? Pourquoi ?

4. On ajoute dans ce sac des boules bleues. Le sac contient alors 10 boules rouges, 6 boules noires, 4 boules jaunes et les boules bleues.
On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une boule bleue est égale à \dfrac{1}{5}, calculer le nombre de boules bleues.




exercice 3

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM.) Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.


Pour chaque question, indiquer sur la copie son numéro et recopier la réponse exacte.
Soit f la fonction définie par f(x) = - 2x + 3
1. f(x) est de la forme ax + b. La valeur de a est :3-22
2. L'image de 0 par f est :11,53
3. La droite qui représente la fonction f passe par le pointA (-1 ; 1)B (-1 ; 5)C(1 ; -18)
4. L'antécédent de 4 par la fonction f est :-5\dfrac{7}{2}- \dfrac{1}{2}
5. La droite qui représente la fonction f coupe l'axe des ordonnées enD(1,5 ; 0)E(0 ; 3)F(0 ; 2)



12 points

Activités géométriques

exercice 1

Compléter le tableau donné ci-dessous.
Diplôme National du Brevet Centres Étrangers Juin 2010 - troisième : image 1

Figure 1
Diplôme National du Brevet Centres Étrangers Juin 2010 - troisième : image 2

Figure 2
Diplôme National du Brevet Centres Étrangers Juin 2010 - troisième : image 3

Figure 3
Diplôme National du Brevet Centres Étrangers Juin 2010 - troisième : image 4

BCDE est un losange de centre A
Figure 4


 Figure 1Figure 2Figure 3Figure 4
Le triangle ABC est rectangle en A ? Oui
Non
Oui
Non
Oui
Non
Oui
Non
Numéro(s) de la ou des propriétés permettant de le prouver    
Liste des propriétés :

1. Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires.

2. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

3. Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle.

4. Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.

5. Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l'une, alors elle est perpendiculaire à l'autre.

6. Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c'est un losange.

7. Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.

8. Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés, alors ce triangle est rectangle et l'angle droit est l'angle opposé au plus grand côté.






exercice 2

Rappel :
Volume d'une pyramide = \dfrac{(\text{aire  de  la  base}) \times \text{hauteur}}{3}



ABCDEFGH est un cube d'arête AB = 12 cm.
I est le milieu du segment [AB] ;
J est le milieu du segment [AE] ;
K est le milieu du segment [AD]·
Diplôme National du Brevet Centres Étrangers Juin 2010 - troisième : image 5

1. Calculer l'aire du triangle AIK.

2. Calculer le volume de la pyramide AIKJ de base AKI.

3. Quelle fraction du volume du cube représente
le volume de la pyramide AIKJ ? Écrire le résultat sous forme d'une fraction de numérateur 1.

4. Tracer le patron de la pyramide AIKJ.


12 points

Problème : Questions enchaînées

On pourra utiliser les résultats donnés à certaines questions pour continuer le problème

Dans tout l'exercice, l'unité de longueur est le centimètre.

ABC est un triangle tel que AB = 6 cm, BC = 10 cm et ABC = 120 °.
La hauteur issue de A coupe la droite (BC) au point H.
La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.
Diplôme National du Brevet Centres Étrangers Juin 2010 - troisième : image 6

1. Tracer la figure en vraie grandeur.

2. a) Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{ABH}}. En déduire que BH = 3.
    b) Prouver que AH = 3\sqrt{3}, puis calculer l'aire du triangle ACH (on donnera la valeur exacte).
    c) Prouver que AC = 14.

3. M est un point du segment [BC] tel que CM = 6,5.
La parallèle à (AH) passant par M coupe le segment [AC] en N.
    a) Compléter la figure.
    b) Prouver que NM = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}.
    c) Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

Déterminer l'aire du trapèze AHMN. Donner une valeur approchée à l'unité près de cette aire.



Activités numériques

exercice 1

1. On effectue le programme B avec 5 pour nombre de départ.
On soustrait 7 à 5 : 5 - 7 = -2
On élève au carré : (-2)2 = 4
On obtient bien 4.

2. On effectue le programme A avec -2 comme nombre de départ.
On ajoute 5 : -2 + 5 = 3
On élève au carré : 32 = 9
On obtient 9.

3.a) Appelons x le nombre de départ.
En effectuant le programme A, on obtient pour résultat (x+5)^{2}.
Résolvons (x+5)^{2}=0
x+5=0\\ x=-5
En prenant -5 comme nombre de départ, on obtient 0 en effectuant le programme A.
3.b) En effectuant le programme B, on obtient pour résultat (x-7)^{2}.
Résolvons (x-7)^{2}=9
(x-7){2}-9=0\\ \ [(x-7)-3]\times [(x-7)+3]=0\\ (x-10)(x-4)=0\\ \begin{array}{rcl} x-10=0&\rm{ou}&x-4=0\\ x=10&\rm{ou}&x=4 \end{array}
En prenant 4 ou 10 comme nombre de départ, on obtient 9 en effectuant le programme B.

4. Résolvons (x+5)^{2}=(x-7)^{2}
(x+5)^{2}-(x-7)^{2}=0\\ \ [(x+5)-(x-7)][(x+5)+(x-7)]=0\\ (x+5-x+7)(x+5+x-7)=0\\ 12(2x-2)=0\\ 24(x-1)=0\\ x-1=0\\ x=1
En prenant 1 comme nombre de départ, on obtient le même résultat en effectuant les deux programmes.




exercice 2

1. Les probabilités sont données par la formule suivante : \dfrac{\text{nombre\ de\ cas\ favorables}}{\text{nombre\ de\ cas}}.

La probabilité que la boule tirée soit rouge est \dfrac{10}{10+6+4}=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}.

2. La probabilité que la boule soit noire ou jaune est égale à la somme de la probabilité que la boule soit noire et de la probabilité qu la boule soit jaune, soit : \dfrac{6}{20}+\dfrac{4}{20}=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}.

3. La somme des deux probabilités précédentes est égale à 1.
Le résultat était prévisible car en effectuant cette somme, on calcule la probabilité que la boule soit rouge, noire ou jaune. Or cet événement se réalise toujours (on l'appelle événement certain) et sa probabilité est donc 1.

4. Appelons x le nombre de boules bleues. La probabilité que la boule tirée soit bleue est \dfrac{x}{20+x}
Résolvons \dfrac{x}{20+x}=\dfrac{1}{5}
5x=20+x\\ 4x=20\\ x=5
On a donc ajouté 5 boules bleues.




exercice 3

Les justifications ne sont pas nécessaires mais simplement indicatives.
1. -2

2. 3
f(0)=-2\times0+3=0+3=3

3. B(-1;5)
f(-1)=-2\times(-1)+3=2+3=5 donc la droite représentative de f passe par le point B(-1;5).

4. \bold{-\dfrac{1}{2}}
-2x+3=4\\ -2x=1\\ x=-\dfrac{1}{2}

5. E(0;3)
-2\times 0+3=3
donc la droite représentative de f coupe l'axe des ordonnées en E(0;3).



Activités géométriques

exercice 1


  Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 4
Le triangle ABC est rectangle en A ?
Oui
Non
Non
Oui
Numéro(s) de la ou des propriétés pernettant de le prouver
5
7 et 4
3
1

Justifications :
Figure 1 : (AC)//(DE) or (DE)\bot(AB) donc (AC)\bot(AB) donc le triangle ABC est rectangle en A.
Figure 2 : \widehat{ABC} et \widehat{AEC} sont deux angles inscrits dans le cercle et interceptent tous les deux l'arc AC, ils sont donc égaux. D'où : \widehat{ABC}=60°.
    De plus, la somme des angles d'un triangle est égale à 180° donc \widehat{BAC}=180-(60+20)=100° donc le triangle ABC n'est pas rectangle en A.
Figure 3 : AC^{2}+AB^{2}=5,5^{2}+4,5^{2}=50,5 or BC^{2}=7,5^{2}=56,25 donc le triangle ABC est n'est pas rectangle en A.
Figure 4 : BCDE est un losange de centre A donc (AB)\bot(AC) donc le triangle ABC est rectangle en A.




exercice 2

1. I est le milieu de [AB] donc AI=6cm, K est le milieu de [AD] donc AK=6cm.
\mathcal{A}_{AIK}=\dfrac{AI\times AK}{2}=\dfrac{6\times6}{2}=18\ \text{cm}^{2}

2. J est le milieu de [AE] donc AJ=6cm.
\mathcal{V}_{AIKJ}=\dfrac{\mathcal{A}_{AIK}\times AJ}{3}=\dfrac{18\times6}{3}=36\ \text{cm}^{3}.

3. Le cube a un volume de AB^{3}=12^{3}=1728\ \text{cm}^{3}.
Le volume de la pyramide représente \dfrac{36}{1728}=\dfrac{1}{48} du volume du cube.

4.
Patron de la pyramide AIKJ :
Diplôme National du Brevet Centres Étrangers Juin 2010 - troisième : image 7




Problème : questions enchaînées

1.
Diplôme National du Brevet Centres Étrangers Juin 2010 - troisième : image 9


2.a) \widehat{ABH} et \widehat{ABC}=120° sont supplémentaires donc \widehat{ABH}=180-120=60°.
Dans le triangle ABH, rectangle en H,
\cos(\widehat{ABH})=\dfrac{BH}{AB} d'où BH=AB\cos(\widehat{ABH})=6\cos(60°)=6\times\dfrac{1}{2}=3.
2.b) ABH est rectangle en H donc \sin(\widehat{ABH})=\dfrac{AH}{AB} d'où AH=\sin({\widehat{ABH})\times AB=\sin(60°)\times6=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times6=3\sqrt{3}.
\mathcal{A}_{ACH}=\dfrac{CH\times AH}{2}=\dfrac{13\times3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{39\sqrt{3}}{2}\ \text{cm}^{2}.

2. c) ACH est rectangle en H donc d'après le théorème de Pythagore, on a :
\begin{array}{rcl} AC^{2}&=&AH^{2}+CH^{2}\\ AC^{2}&=&AH^{2}+(CB+BH)^{2}\\ AC^{2}&=&(3\sqrt{3})^{2}+13^{2}\\ AC^{2}&=&196\\ AC&=&\sqrt{196} = 14\\ \end{array}

3. a)
Diplôme National du Brevet Centres Étrangers Juin 2010 - troisième : image 8

3. b) Les droites (AN) et (MH) sont sécantes en C, les droites (NM) et (AH) sont parallèles. Donc d'après le théorème de Thalès :
\dfrac{CM}{CH}=\dfrac{NM}{AH} d'où NM=\dfrac{CM\times AH}{CH}=\dfrac{6,5\times3\sqrt{3}}{13}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}

3. c) Calculons l'aire du triangle CMN.
\mathcal{A}_{CMN}=\dfrac{CM\times NM}{2}=\dfrac{6,5\times\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{19,5\sqrt{3}}{4}=\dfrac{39\sqrt{3}}{8}\ \text{cm}^{2}.
L'aire du trapèze AHMN est égale à l'aire du triangle ACH moins l'aire du triangle CMN soit : \mathcal{A}_{AHMN}=\dfrac{39\sqrt{3}}{2}-\dfrac{39\sqrt{3}}{8}=\dfrac{117\sqrt{3}}{8}\approx25\ \text{cm}^{2}.
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