Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Pondichéry - Session Avril 2010

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Durée de l'épreuve : 2 h 00       Coefficient : 1
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.
I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points
12 points

Activités numériques

exercice 1

Une classe de 3ème est constituée de 25 élèves.
Certains sont externes, les autres sont demi-pensionnaires.
Le tableau ci-dessous donne la composition de la classe.

 GarçonFilleTotal
Externe...3...
Demi-pensionnaire911...
Total......25

1. Recopier et compléter le tableau.

2. On choisit au hasard un élève de cette classe.
    a) Quelle est la probabilité pour que cet élève soit une fille ?
    b) Quelle est la probabilité pour que cet élève soit externe ?
    c) Si cet élève est demi-pensionnaire, quelle est la probabilité que ce soit un garçon ?




exercice 2

On donne :
\text{A} = \dfrac{6}{5} - \dfrac{17}{14}\div  \dfrac{5}{7} \qquad \text{B} = \dfrac{8 \times 10^8 \times 1,6}{0,4 \times 10^{-3}}\qquad \text{C} = \left(\sqrt{5} + \sqrt{10}\right)^2 - 10\sqrt{2}.

1. Écrire A sous la forme d'une fraction irréductible.

2. Donner l'écriture scientifique de B.

3. Montrer que C est un nombre entier.




exercice 3

Pour chaque question, écrire la lettre correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.
1. Quelle expression est égale à 6 si on choisit la valeur x =-1 ?
      A. -3x^2
      B. 6(x + 1)
      C. 5x^2+ 1

2. Le développement de (x + 3)(2x + 4) -2(5x + 6) est :
      A. 2x^2
      B. 2x^2 + 20x + 24
      C. 2x^2+ 24

3. La factorisation de 9x^2-16 est :
      A. (3x - 4)^2
      B. (3x + 4)(3x - 4)
      C. (3x + 4)^2

4. Les solutions de l'équation (x - 5)(3x + 4) = 0 sont :
      A. \dfrac{4}{3} et 5
      B. - \dfrac{4}{3} et 5
      C. \dfrac{4}{3} et -5


12 points

Activités géométriques

exercice 1

1. Construire un triangle ABC tel que : AB = 7,5 cm ; BC = 10 cm et AC = 12,5 cm.

2. Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.

3. a) Construire le point F appartenant au segment [AC] tel que CF = 5 cm.
    b) Construire le point G appartenant au segment [BC] tel que CG = 4 cm.

4. Montrer que les droites (AB) et (FG) sont parallèles.

5. Montrer que la longueur FG est égale à 3 cm.

6. Les droites (FG) et (BC) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.




exercice 2

En travaux pratiques de chimie, les élèves utilisent des récipients, appelés erlenmeyers, comme celui schématisé ci-dessous.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2010 - troisième : image 1
Le récipient est rempli d'eau jusqu'au niveau maximum indiqué sur le schéma par une flèche.
On note :
C_{1} le grand cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon OB.
C_{2} le petit cône de sommet S et de base le disque de centre O' et de rayon O'B'.
On donne : SO = 12 cm et OB = 4 cm

1. Le volume V d'un cône de révolution de rayon R et de hauteur h est donné par la formule :
 V = \dfrac{1}{3}\times \pi \times R^2 \times h
Calculer la valeur exacte du volume du cône C_{1}.

2. Le cône C_{2} est une réduction du cône C_{1}. On donne SO' = 3 cm.
    a) Quel est le coefficient de cette réduction ?
    b) Prouver que la valeur exacte du volume du cône C_{2} est égale à \pi cm3.

3. a) En déduire que la valeur exacte du volume d'eau contenue dans le récipient, en cm3, est 63\pi.
    b) Donner la valeur approchée de ce volume d'eau arrondie au cm3 près.

4. Ce volume d'eau est-il supérieur à 0,2 litres ? Expliquer pourquoi.


12 points

Problème

Les trois parties sont indépendantes

Partie 1

Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique.
    Offre A : 1,20 € par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site.
    Offre B : 0,50 € par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 35 €.

1. Calculer, pour chaque offre, le prix pour 30 morceaux téléchargés par an.

2. a) Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l'offre A.
    b) Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l'offre B.

3. Soit f et g les deux fonctions définies par :
f : x \longmapsto 1,2x et g : x \longmapsto 0,5x+35.

    a) L'affirmation ci-dessous est-elle correcte ? Expliquer pourquoi.
«f et g sont toutes les deux des fonctions linéaires».
    b) Représenter sur la feuille de papier millimétré, dans un repère orthogonal les représentations graphiques des fonctions f et g. On prendra 1 cm pour 10 morceaux en abscisse et 1 cm pour 10 € en ordonnée.

4. Déterminer le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes.

5. Déterminer l'offre la plus avantageuse si on achète 60 morceaux à l'année.

6. Si on dépense 80 €, combien de morceaux peut-on télécharger avec l'offre B ?

Partie 2

On admet qu'un morceau de musique représente 3 Mo de mémoire. (1 Mo = 1 méga-octet)

1. Combien de morceaux de musique peut-on télécharger sur une clé USB d'une capacité de stockage de 256 Mo ?

La vitesse de téléchargement d'un morceau de musique sur le site est de 10 Mo/s. (méga-octet par seconde)

2. Combien de morceaux peut-on télécharger en deux minutes ?

Partie 3

Les créateurs du site réalisent une enquête de satisfaction auprès des internautes clients.
Ils leur demandent d'attribuer une note sur 20 au site.
Le tableau suivant donne les notes de 50 internautes.
Note681012141517
Effectif15781298

1. Calculer la note moyenne obtenue par le site. Arrondir le résultat à l'unité.

2. L'enquête est jugée satisfaisante si 55 % des internautes ont donné une note supérieure ou égale à 14. Est-ce le cas? Expliquer pourquoi.



Activités numériques

exercice 1

1. Composition de la classe :
 GarçonFilleTotal
Externe235
Demi-pensionnaire91120
Total111425


On choisit au hasard un élève de cette classe.

2. a) Il y a 14 filles parmi 25 élèves au total.
Donc la probabilité que l'élève choisi au hasard soit une fille est \dfrac{14}{25}.

2. b) Il y a 5 élèves externes parmi 25 élèves au total.
Donc la probabilité que l'élève choisi au hasard soit externe est \dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5}.

2. c) Il y a 9 garçons parmi les 20 demi-pensionnaires.
Donc si cet élève est demi-pensionnaire, la probabilité que l'élève soit un garçon est \dfrac{9}{20}.




exercice 2

1. Écrivons A sous la forme d'une fraction irréductible :
A = \dfrac{6}{5} - \dfrac{17}{14} \div \dfrac{5}{7} \\\\ A = \dfrac{6}{5} - \dfrac{17}{14} \times \dfrac{7}{5} \\\\ A = \dfrac{6}{5} - \dfrac{17 \times 7}{7 \times 2 \times 5}\\\\ A = \dfrac{6}{5} - \dfrac{17}{2 \times 5}\\\\ A = \dfrac{6 \times 2}{5 \times 2} - \dfrac{17}{10}\\\\ A = \dfrac{12}{10} - \dfrac{17}{10}\\\\ A = \dfrac{12 - 17}{10}\\\\ A = - \dfrac{5}{10}\\\\ A = - \dfrac{5 \times 1}{5 \times 2}\\\\ A = - \dfrac{1}{2}

2. Donnons l'écriture scientifique de B :
B = \dfrac{8 \times 10^8 \times 1,6}{0,4 \times10^{-3}}\\\\ B = \dfrac{8 \times 1,6 \times 10^8}{0,4 \times10^{-3}}\\\\ B = \dfrac{8 \times 16 \times 10^{-1} \times 10^8}{4 \times 10^{-1} \times10^{-3}}\\\\ B = \dfrac{8 \times 4 \times 4 \times 10^{-1+8}}{4 \times 10^{-1+(-3)}}\\\\ B = \dfrac{8 \times 4 \times 10^{7}}{10^{-4}}\\\\ B = 32 \times 10^{7 - (-4)}\\ B = 32 \times 10^{11}\\ B = 3,2 \times 10^{1} \times 10^{11}\\ B = 3,2\times10^{12}

3. Montrons que C est un nombre entier :
C = \eft(\sqrt{5} + \sqrt{10} \right)^{2} - 10\sqrt{2}\\ C = \left( \sqrt{5} \right)^2 + 2\sqrt{5} \times \sqrt{10} + \left( \sqrt{10} \right)^2 - 10 \sqrt{2} \\ C = 5 + 2 \sqrt{5 \times 10} + 10 - 10 \sqrt{2}\\ C = 15 + 2 \sqrt{50} - 10 \sqrt{2}\\ C = 15 + 2\sqrt{5^{2} \times 2} - 10 \sqrt{2}\\ C = 15 + 2 \times 5 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2}\\ C = 15 + 10 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} \\ C = 15
C est bien un nombre entier.




exercice 3

1. Réponse C.
car : Pour x = -1, \, 5x^2 + 1 = 5 \times (-1)^{2} + 1 = 5 \times 1 + 1 = 6

2. Réponse A.
car : (x+3)(2x+4) - 2(5x+6) = x \times 2x + x \times 4 + 3 \times 2x + 3 \times 4 - 2 \times 5x - 2 \times 6
= 2x^{2} + 4x + 6x + 12 - 10x - 12\\ = 2x^{2} + 10x + 12 - 10x - 12\\ = 2x^{2}

3. Réponse B.
car :9x^{2} - 16 = (3x)^{2} - 4^{2} = (3x - 4)(3x + 4)

4. Réponse B.
car : (x-5)(3x+4) = 0
Un produit de facteurs est nul si au moins l'un des facteurs est nul, et réciproquement.
\begin{array}{lcr} x-5 = 0 & \text{ ou } & 3x+4 = 0\\ x = 5 & & 3x = -4 \\ && x = -\dfrac{4}{3} \end{array}
Les solutions de l'équation sont -\dfrac{4}{3} et 5.


Activités géométriques

exercice 1

1.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2010 - troisième : image 2

2. Dans le triangle ABC, le côté le plus long est [AC].
On a : AC² = 12,5² = 156,25       et       AB² + BC² = 7,5² + 10² = 156,25
Donc AC² = AB² + BC².
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

3. a) et 3. b) voir figure ci-dessus.

4. Les points C, F, A d'une part et les points C, G, B d'autre part sont alignés dans le même ordre.
On a : \dfrac{CF}{CA} = \dfrac{5}{12,5} = \dfrac{50}{125} = \dfrac{2 \times 25}{5 \times 25} = \dfrac{2}{5}     et     \dfrac{CG}{CB} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}
Donc \dfrac{CF}{CA} = \dfrac{CG}{CB}
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CG) sont parallèles.

5. Les droites (AF) et (BG) sont sécantes en C, les droites (FG) et (AB) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{CF}{CA} = \dfrac{CG}{CB} = \dfrac{FG}{AB}
Donc \dfrac{5}{12,5} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{FG}{7,5}
De \dfrac{4}{10} = \dfrac{FG}{7,5}, on déduit que : FG = \dfrac{4 \times 7,5}{10} = 3
D'où : FG = 3 cm.

6. On sait que ABC est un triangle rectangle en B, donc (AB)\perp(BC). et on sait que les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
Or si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Donc les droites (FG) et (BC) sont perpendiculaires.




exercice 2

1. Volume du cône C1 :
V_{1} = \dfrac{1}{3} \times \pi r^{2} \times h \\ V_{1} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times OB^2 \times SO \\ V_1 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 12 V_1 = 64 \pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}
Le volume du cône C1 est 64 \pi cm³.

2. a) Le coefficient de cette réduction est k = \dfrac{SO'}{SO} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}.

2. b) Volume du cône C2 :
V_{2} = k^3 \times V_1 = \left( \dfrac{1}{4} \right)^3 \times 64 \pi = \dfrac{1}{64} \times 64 \pi = \pi
Le volume du cône C2 est \pi cm³.

3. a) Volume d'eau contenue dans le récipient :
L'erlenmeyer est rempli jusqu'à la base du cône C2 donc le volume d'eau présent dans l'erlenmeyer est V_1 - V_2 = 64\pi - \pi = 63 \pi.
Le volume d'eau contenue dans le récipient est 63 \pi cm³.

3. b) 63 \pi \text{ cm}^3 \approx 198 \text{ cm}^3 (valeur approchée arrondie au cm³ près).
Il y a donc environ 198 cm3 d'eau.

4. 198 \text{ cm}^3 = 0,198 \text{ dm}^3 = 0,198 L
Or, 0,198 < 0,2, donc le volume d'eau n'est pas supérieur à 0,2 L.


Problème

Partie 1

1. Prix pour 30 morceaux téléchargés par an :
Avec l'offre A : 1,20 × 30 = 36
Avec l'offre A, le prix est de 36 €.
Avec l'offre B : 0,5 × 30 + 35 = 50
Avec l'offre B, le prix est de 50 €.

2. a) Avec l'offre A, le prix de x morceaux téléchargés est 1,20 \times x €.

2. b) Avec l'offre B, le prix de x morceaux téléchargés est 0,50 \times x + 35 €.

3. a) Pour tout nombre x on peut écrire f(x) = a x avec a = 1,20.
f est donc une fonction linéaire.
Pour tout nombre x, on peut écrire g(x) = a x + b, avec a = 0,50 et b = 35.
g est donc une fonction affine.
L'affirmation est donc fausse.

3. b) f est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
On a : f(60) = 1,2 \times 60 = 72
La droite C_f passe par les points de coordonnées (0 ; 0) et (60 ; 72).

    g est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite C_g.
On a : g(10) = 0,5 \times 10 + 35 = 40     et     g(60) = 0,5 \times 60 + 35 = 65
Cette droite C_g passe par les points de coordonnées (10 ; 40) et (60 ; 65).

Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2010 - troisième : image 3

4. Le nombre de morceaux x pour lequel les prix sont les mêmes vérifie l'équation :
1,2 x = 0,5 x + 35 \\ 1,2 x - 0,5 x = 35 \\ 0,7 x = 35 \\ x = \dfrac{35}{0,7} \\ x = 50
Pour 50 morceaux téléchargés, les prix de l'offre A et de l'offre B sont les mêmes.

Remarque : Les droites C_f et C_g se coupent au point d'abscisse 50 (cf pointillés rouges), donc :
pour 50 morceaux téléchargés, les prix de l'offre A et de l'offre b sont les mêmes.

5. On a : f(60) = 72 et g(60) = 65 (cf calculs de la question 3. b)).
Donc : si on achète 60 morceaux à l'année, l'offre B est la plus avantageuse.
Remarque : Graphiquement, cf pointillés jaunes.

6. Si on dépense 80 € avec l'offre B, déterminons le nombre x de morceaux que l'on peut télécharger :
0,5 x + 35 = 80 \\ 0,5 x = 80 - 35 \\ 0,5 x = 45 \\ x = \dfrac{45}{0,5}\\ x = 90
Avec l'offre B, on peut télécharger 90 morceaux pour 80 euros.
Remarque : Graphiquement, cf pointillés verts.

Partie 2

1. On a : 256 : 3 \approx 85,3
Donc, sur une clé USB d'une capacité de stockage de 256 Mo, on peut stocker 85 morceaux de musique.

2. En une seconde, on peut télécharger 10 Mo de musique.
Donc en deux minutes, soit 120 secondes, on peut télécharger 120 × 10 = 1 200 Mo de musique.

Un morceau de musique représente 3 Mo de mémoire. On a : 1200 : 3 = 400.
En 2 minutes, on peut télécharger 400 morceaux de musique.

Partie 3

1. On a :
\dfrac{6\times1+8\times5+10\times7+12\times8+14\times12+15\times9+17\times8}{1+5+7+8+12+9+8}=\dfrac{651}{50}= 13,02.
La note moyenne obtenue par le site est de 13 (note arrondie à l'unité).

2. On a : 12 + 9 + 8 = 29
Donc 29 internautes parmie les 50 interrogés ont donné une note supérieur ou égale à 14.
\dfrac{29}{50} \times 100 = 58, donc 58% des internautes ont donné une note supérieure ou égale à 14.
Or, 58 > 55, donc l'enquête est jugée satisfaisante.
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