Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Polynésie Française - Session Juin 2010

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Durée de l'épreuve : 2 h 00       Coefficient : 1
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.
I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points
12 points

Activités numériques

exercice 1

1. Déterminer le PGCD de 120 et 144 par la méthode de votre choix. Faire apparaître les calculs intermédiaires.

2. Un vendeur possède un stock de 120 flacons de parfum au tiare et de 144 savonnettes au monoï.
Il veut écouler tout ce stock en confectionnant le plus grand nombre de coffrets «Souvenirs de Polynésie» de sorte que :
    le nombre de flacons de parfum au tiare soit le même dans chaque coffret;
    le nombre de savonnettes au monoï soit le même dans chaque coffret;
    tous les flacons et savonnettes soient utilisés.
Trouver le nombre de coffrets à préparer et la composition de chacun d'eux.

L'évaluation de cette question tiendra compte des observations et étapes de recherche, même incomplètes; les faire apparaître sur la copie.

3. L'algorithme des soustractions successives permet de trouver le PGCD de deux entiers donnés.
Il utilise la propriété suivante :
«a et b étant deux entiers positifs tels que a supérieur à b,
PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a - b)
Sur un tableur, Heiarii a créé cette feuille de calcul pour trouver le PGCD de 2 277 et 1 449.
 ABC
1aba - b
22 2771 449828
31 449828621
4828621207
5621207414
6414207207
72072070

    a) En utilisant sa feuille de calcul, dire quel est le PGCD de 2 277 et 1 449.
    b) Quelle formule a-t-il écrite dans la cellule C2 pour obtenir le résultat indiqué dans cette cellule par le tableur ?




exercice 2

Sur le manège «Caroussel», il y a quatre chevaux, deux ânes, un coq, deux lions et une vache.
Sur chaque animal, il y a une place. Vaite s'assoit-au hasard sur le manège.

1. Quelle est la probabilité qu'elle monte sur un cheval ? Exprimer le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

2. On considère les évènements suivants :
    A : «Vaite monte sur un âne.»
    C : «Vaite monte sur un coq.»
    L : «Vaite monte sur un lion.»
    a) Définir par une phrase l'évènement non L puis calculer sa probabilité.
    b) Quelle est la probabilité de l'évènement A ou C.




exercice 3

Hiti et Kalu sont deux entreprises de cent personnes qui ont fait paraître les informations suivantes :
Salaire moyen en francsEntreprise HitiEntreprise Kalu
Hommes168 000180 000
Femmes120 000132 000

 
Effectif Hommes/ FemmesEntreprise HitiEntreprise Kalu
Hommes5020
Femmes5080

Kévin dit à sa sœur: «En moyenne, on est mieux payé chez Kalu.»
Qu'en pensez-vous ?
L'évaluation de cet exercice tiendra compte des observations et étapes de recherche, même incomplètes ; les faire apparaître sur la copie.


12 points

Activités géométriques

exercice 1

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur. L'unité de longueur est le centimètre.
Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2010 - troisième : image 1
Dans le triangle ABC, on inscrit un rectangle EFGH où H est sur [AB], G sur [AC], E et F sur [BC].
Dans le triangle ABC, L est sur [BC] et (AL) est la hauteur issue de A. (AL) coupe [GH] en K.
On donne BC = 14 cm, AL = 6 cm et AK = x cm où x désigne un nombre positif.

Partie 1 :

Dans cette partie, on se place dans le cas particulier ou BL = 4,8 cm et x = 1 cm.

1. Construire la figure en vraie grandeur.

2. Calculer l'aire en cm2 du triangle BLA.

3. On souhaite justifier que les droites (HG) et (BC) sont parallèles.
Parmi les propriétés suivantes, choisir et recopier sur votre feuille celle(s) qui permette(nt) cette justification.
    a) Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
    b) Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.
    c) Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles.
    d) La réciproque du théorème de Thalès.

4. Calculer la longueur HK.

Partie 2 :

Dans cette partie, on se place dans le cas général où BL et x ne sont pas connus.

1. Exprimer la longueur KL en fonction de x.

2. On déplace le point K sur le segment [AL]. L'utilisation d'un tableur a permis d'obtenir les longueurs KL et HG pour différentes valeurs de x.
x0,61,51,82,14,24,55,1
KL5,44,54,23,91,81,50,9
HG1,43,54,24,99,810,511,9

Sans aucune justification, répondre aux questions suivantes :
    a) Quelles sont les longueurs KL et HG pour x égal à 4,5 cm ?
    b) Pour quelle valeur de x a-t-on l'égalité KL = HG ?
Dans ce cas, que peut-on dire du quadrilatère EFGH ?




exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, mais une seule est exacte.
Écrire sur votre copie le numéro de la question et la réponse exacte A, B, C ou D choisie.
 Réponse ARéponse BRéponse CRéponse D
1.IJK est un triangle rectangle en I tel que :
IK = 2,7 cm et KJ = 4,5 cm.
Quelle est la longueur du côté [IJ] ?
12,96 cm3,6 cm1,8 cm5,2 cm
2.(*) Le volume exact en cm3 d'une balle de tennis de 3,3 cm de rayon est :13,2\pi15047\pi47,916\pi
3.Dans le cube ABCDEFGH, le quadrilatère ADGF est un :
Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2010 - troisième : image 2
losangecarrérectangleparalléparallélépipède rectangle
(*) : On rappelle la formule du volume d'une boule de rayon r : V = \dfrac{4}{3}\times \pi \times r^3.


12 points

Problème

Partie A

Une compagnie de transport maritime met à disposition deux bateaux appelés CatamaranExpress et FerryVogue pour une traversée inter-îles de 17 kilomètres.

1. Le premier départ de CatamaranExpress est à 5 h 45 min pour une arrivée à 6 h 15 min.
Calculer sa vitesse moyenne en km/h.

2. La vitesse moyenne de FerryVogue est de 20 km/h.
À quelle heure est prévue son arrivée s'il quitle le quai à 6 h ?

Partie B

On donne en document joint les représentations graphiques \mathcal{C}_{1} et \mathcal{C}_{2} de deux fonctions.
Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2010 - troisième : image 3
L'une d'entre elles est la représentation graphique d'une fonction affine g définie par :
g(x) = 1 000 x + 6 000
À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes en faisant apparaître les tracés nécessaires à la lecture graphique.

1. Lire les coordonnées du point E.

2. Quelles sont les abscisses des points d'intersection des deux représentations graphiques ?

3. Laquelle de ces représentations est celle de g ? Justifier.

4. Quelle est l'image de 12 par la fonction g ? Vérifier la réponse par ua calcul.

5. Quel est l'antécédent de 15 000 par la fonction g ? Retrouver ce résultat en résolvant une équation.

Partie C

La compagnie de transport maritime propose trois tarifs pour un voyage quel que soit le bateau choisi :
    Tarif M : on paie 2 500 francs chaque voyage.
    Tarif N : on paie une carte mensuelle à 6 000 francs auquel s'ajoute 1 000 francs pour chaque voyage.
    Tarif P : on paie 3 000 francs par voyage jusqu'au septième voyage puis on effectue gratuitement les autres traversées jusqu'à la fin du mois.

1. Les prix à payer en fonction du nombre de voyages, avec deux de ces tarifs, sont représentés par les courbes \mathcal{C}_{1} et \mathcal{C}_{2}. Indiquer sur votre copie pour chaque courbe, le tarif associé. (Aucune justification attendue)

2. Sur le document annexe (à rendre avec la copie) où figurent \mathcal{C}_{1} et \mathcal{C}_{2}, construire la représentation graphique de la fonction f définie par : f :  x \longmapsto 2 500 x.

3. Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles sur le document annexe, trouver pour combien de voyages le tarif N est plus avantageux que les deux autres.



Activités numériques

exercice 1

1. Déterminons le PGCD de 120 et 144 en utilisant l'algorithme d'Euclide.
144=120\times1+24\\ 120=24\5+0
Le dernier reste non nul est 24, donc PGCD(144,120) = 24.

2. Le nombre maximum de coffrets est égal au PGCD du nombre de flacons et du nombre de savonnettes.
Il y aura donc 24 coffrets composés chacun de \dfrac{120}{24}=5 flacons de parfum au tiare et de \dfrac{144}{24}=6 savonnettes au monoï.

3. a) D'après la feuille de calcul de Heiarii, PGCD(2277,1449)=207.
3 .b) La formule en C2 était : "=A2-B2".




exercice 2

1. La probabilité que Vaite monte sur un cheval est donnée par la formule : \dfrac{\text{nombre\ de\ cas\ favorables}}{\text{nombre\ de\ cas}}. Soit \dfrac{4}{4+2+1+2+1}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}

2. a) L'évènement non L est défini par la phrase : "Vaite ne monte pas sur un lion".
Sa probabilité est \dfrac{4+2+1+1}{4+2+1+2+1}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}.
2. b) Les évènements A et C sont disjoints (ils ne peuvent pas se réaliser en même temps) donc la probabilité de "A ou C" (A\cup C) est égale à la probabilité de A plus la probabilité de C.
Soit p(A\cup C)=\dfrac{2}{4+2+1+2+1}+\dfrac{1}{4+2+1+2+1}=\dfrac{3}{10}.




exercice 3

Calculons le salaire moyen d'un employé de chaque entreprise (sans distinction de sexe).
Pour cela, on effectue une moyenne pondérée selon la formule :
\dfrac{\text{nombre\ d'hommes}\times\text{salaire\ homme}+\text{nombre\ de\ femmes}\times\text{salaire\ femme}}{\text{nombre\ d'hommes\ et\ de\ femmes}}

Le salaire moyen d'un employé de Hiti est \dfrac{50\times168\ 000+50\times120\ 000}{50+50}=144\ 000 francs.

Le salaire moyen d'un employé de Kalu est \dfrac{20\times180\ 000+80\times132\ 000}{20+80}=141\ 600 francs.

En moyenne, on est donc mieux payé chez Hiti, la phrase de Kévin est donc fausse.


Activités géométriques

exercice 1

Partie 1

1.
Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2010 - troisième : image 4


2. \mathcal{A}_{BAL}=\dfrac{AL\times BL}{2}=\dfrac{6\times4.8}{2}=14,4 cm2.

3. a) si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. ((HG) est donc parallèle à (EF) et donc à (BC))


4. EFGH est un rectangle donc (HK)//(BL). Les droites (BH) et (LK) sont sécantes en A.
D'après le théorème de Thalès appliqué dans le triangle ALB : \dfrac{HK}{BL}=\dfrac{AK}{AL}
D'où HK=\dfrac{AK\times BL}{AL}=\dfrac{4,8}{6}=0,8 cm.

Partie 2

1. KL = AL-AK = 6-x.

2.a) On lit que pour x=4,5 cm, KL=1,5 cm et HG=10,5 cm.
2.b) Pour x=1,8 cm on a KL=HG. Dans ce cas, EFGH est un carré.




exercice 2

1. Réponse B.
IJK est rectangle donc d'après le théorème de Pythagore : KJ^{2}=IJ^{2}+IK^{2}
D'où IJ^{2}=KJ^{2}-IK^{2}=20,25-7,29=12,96 d'où IJ=3,6

2. Réponse D
V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=\dfrac{4}{3}\pi\times 3,3^{3}=47,916\pi

3. Réponse C
ABCDEFGH est un cube donc AD=GF et AF=DG donc ADGF est un rectangle.
Ce n'est pas un carré car AD est la longueur une arrête alors que AF est la longueur des diagonales de chaque face donc AD\neq AF.


Problème

Partie A

1. Le ferry de CatamaranExpress a une vitesse de v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{17\ \text{km}}{30\ \text{min}}=\dfrac{17\ \text{km}}{0,5\ \text{h}}=34\ \text{km/h}.

2. Le trajet dure t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{17}{20}=0,85\ \mathrm{h} soit 51 minutes. L'arrivée de FerryVogue est prévue à 6h51.

Partie B

graphique 1
Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2010 - troisième : image 5


1. Par lecture graphique, on a : E (7 ; 21 000) (en vert foncé sur le graphique 1).

2. On lit que les abscisses des points d'intersection de C1 et C2 sont 3 et 15 (en rouge sur le graphique 1).

3. g est une fonction affine donc elle ne passe pas par l'origine. Sa courbe représentative est donc C2.

4. On lit que l'image de 12 par g est 18 000 (en violet sur le graphique 1).
En effet, g(12) = 1\ 000\times12+6\ 000=18\ 000.

5. L'antécédent de 15 000 par g est 9 (en bleu ciel sur le graphique 1).
Retrouvons ce résultat en résolvant l'équation g(x)=15\ 000 soit :
1\ 000x+6\ 000=15\ 000 si et seulement si 1\ 000x=9\ 000 ssi x=9.

Partie C

1. La courbe C1 représente le tarif P. La courbe C2 représente le tarif N.
2.
graphique 2
Diplôme National du Brevet Polynésie Française Juin 2010 - troisième : image 6
La fonction f est représentée en noir (représentant le tarif M) sur le graphique 2.

3. On lit en rouge sur le graphique 2 que pour 3 à 15 voyages, le tarif N est plus avantageux que le tarif P. Il est plus avantageux que le tarif M à partir de 4 voyages (en vert sur le graphique 2).
En résumé, le tarif N est plus avantageux que les deux autres tarifs pour effectuer de 4 à 15 voyages.
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