Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Amérique du Nord - Session Juin 2010

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Durée de l'épreuve : 2 h 00       Coefficient : 1
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.
I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points
12 points

Activités numériques

exercice 1

Les 7 questions suivantes sont indépendantes.

1. Écrire la fraction \dfrac{84}{126} sous forme irréductible en détaillant tous les calculs.

2. Donner l'écriture scientifique du nombre \dfrac{6 \times 10^{12} \times 35 \times 10^{-4}}{14 \times 10^3} (avec au moins une étape de calcul).

3. Écrire l'expression \sqrt{20} - \sqrt{15^2 \times 5} + 2\sqrt{45} sous la forme a\sqrt{5}a est un nombre entier relatif (indiquer toutes les étapes de votre calcul).

4. Voici les tarifs pratiqués dans deux magasins:
    Magasin A : 17,30 € la cartouche d'encre, livraison gratuite.
    Magasin B : 14,80 € la cartouche d'encre, frais de livraison de 15 € quel que soit le nombre de cartouches achetées.
Écrire et résoudre l'équation permettant de déterminer le nombre de cartouches d'encre pour lequel les deux tarifs sont identiques.

5. On rappelle l'identité remarquable suivante : (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
En déduire la forme développée de l'expression (2x- 3)^2.

6. Donner la valeur décimale arrondie au dixième du nombre \sqrt{5+ 3} - 6 \sqrt{11}.

7. On rappelle l'identité remarquable suivante : a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).
En déduire la forme factorisée de l'expression (7x + 2)^2 - 25.




exercice 2

M. Dubois fait construire une maison et aujourd'hui il visite le chantier.
Il observe un électricien.
Il constate que celui-ci a, à coté de lui, 2 boîtes.
Dans la première il y a 40 vis à bout rond et 60 vis à bout plat.
Dans la deuxième il y a 38 vis à bout rond et 12 vis à bout plat.

1. L'électricien prend au hasard une vis dans la première boîte. Quelle est la probabilité que cette vis soit à bout rond ?

2. L'électricien a remis cette vis dans la première boîte. Les deux boîtes sont donc inchangées.
Il prend maintenant, toujours au hasard, une vis dans la première boîte puis une vis dans la deuxième boîte.
    a) Quels sont les différents tirages possibles ?
    b) Montrer qu'il a plus d'une chance sur deux d'obtenir deux vis différentes.


12 points

Activités géométriques

exercice 1

Sur le chantier de sa future maison, M. Dubois croise un maçon qui semble avoir des difficultés à porter une tige d'acier pleine, de forme cylindrique.
Cette tige mesure 1,5 m de long et a un rayon de base de 4 cm.
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2010 - troisième : image 1

1. Calculer le volume de cette tige arrondie au cm3 près.

2. L'acier a une masse volumique de 7,85 g/cm3. Calculer la masse de cette tige arrondie au kg.




exercice 2

Un plaquiste souhaite recouvrir un mur rectangulaire avec des plaques isolantes.
Ce mur mesure 270 cm de haut sur 330 cm de large.
Les plaques isolantes doivent être de forme carrée, les plus grandes possibles et il ne veut pas de chutes.

1. Calculer le PGCD des nombres 330 et 270 en indiquant la méthode utilisée.

2. En déduire les dimensions d'une de ces plaques isolantes et le nombre de plaques nécessaires.




exercice 3

À l'intérieur de la maison, un menuisier étudie une plaque de bois dessinée ci-dessous:
La figure n'est pas aux bonnes dimensions.
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2010 - troisième : image 2
Le menuisier a tracé la perpendiculaire à [EC] passant par A, il a nommé D le point d'intersection de cette perpendiculaire avec [EC].
Il a également tracé [AC].
Il a mesuré AB = 115 cm, BC = 80 cm,
DC = 100 cm, ED=20 cm,
AC = 140 cm et AF=28 cm.

1. Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.

2. Déterminer la mesure de l'angle \widehat{\text{ACD}}.

3. Les droites (AD) et (FE) sont-elles parallèles ? Justifier.


12 points

Problème

Les deux parties sont indépendantes.

Partie 1

M. Dubois réfléchit à son déménagement.
Il a fait réaliser deux devis :

1. L'entreprise A lui a communiqué le graphique présenté en annexe.
Celui-ci représente le coût du déménagement en fonction du volume à transporter.
    a) Quel serait le coût pour un volume de 20 m3 ? Vous laisserez vos tracés apparents.
    b) Le coût est-il proportionnel au volume transporté ? Justifier.
Soit g la fonction qui à x, volume à déménager en m3, associe le coût du déménagement avec cette entreprise. Exprimer g(x) en fonction de x.

2. L'entreprise B lui a communiqué une formule : f(x) = 10x + 800x est le volume \left(\text{en m}^3\right) à transporter et f(x) le prix à payer (en €).
    a) Calculer f(80). Que signifie le résultat obtenu ?
    b) Déterminer par le calcul l'antécédent de 3 500 par la fonction f.
    c) Représenter graphiquement la fonction f sur le graphique présenté ci-dessous.
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2010 - troisième : image 3

3. M. Dubois estime à 60 m3 le volume de son déménagement. Quelle société a-t-il intérêt à choisir? Vous justifierez graphiquement votre réponse en laissant vos tracés apparents.

Partie 2

1. Pour aller visiter le chantier de sa future maison, situé à 442 km de son actuel domicile, M. Dubois part de chez lui à 10 h 00 du matin. Il roule 2 h 30 min, fait une pause de 80 minutes, puis roule à nouveau 1 h 45 min avant d'arriver au chantier.
À quelle heure arrive-t-il au chantier ? Justifier la réponse.

2. Le camion des déménageurs a mis 6 h 30 pour réaliser ce trajet. A quelle vitesse, en moyenne, a-t-il roulé?



Activités numériques

exercice 1

1. \displaystyle\frac{84}{126}=\frac{\cancel{42}\times2}{\cancel{42}\times3}=\fbox{\math\displaystyle\frac{2}{3}}.

2. \displaystyle\frac{6\times10^{12}\times35\times10^{-4}}{14\times10^3}=\frac{\cancel{2}\times3\times\cancel{7}\times5}{\cancel{7}\times\cancel{2}}\times10^{12+(-4)-3}=15\times10^{5}=\fbox{\math 1,5\times10^6}.

3. \sqrt{20}-\sqrt{15^2\times5}+2\sqrt{45}=\sqrt{2^2\times5}-\sqrt{15^2\times5}+2\sqrt{3^2\times5}=2\sqrt{5}-15\sqrt{5}+6\sqrt{5}=\fbox{\math -7\sqrt{5}}.

4. Pour x cartouches d'encre achetées, on paye chez le magasin A : 17,3x €.
Tandis que chez le magasin B, on paye : 14,8x + 15 €.
Ainsi, les deux tarifs sont identiques pour x solution de l'équation : 17,3x = 14,8x + 15.

17,3x = 14,8x + 15\\ (17,3-14,8)x = 15\\ 2,5x = 15\\ \displaystyle x = \frac{15}{2,5}\\ \fbox{\math x=6}.

Les deux tarifs sont identiques pour 6 cartouches d'encre achetées.

5. (2x-3)^2 = (2x)^2-2\times2x\times3+3^2 = \fbox{\math 4x^2-12x+9}.

6. La calculatrice nous donne \sqrt{5+3}-6\sqrt{11}=-17,07... soit -17,1 environ (arrondi au dixième près).

7. (7x+2)^2-25=(7x+2)^2-5^2=(7x+2-5)(7x+2+5)=(7x-3)(7x+7)=\fbox{\math 7(7x-3)(x+1)}.




exercice 2

1. Sur 40 + 60 = 100 vis au total dans la première boîte, 40 sont à bout rond.
Le tirage de chacune des vis étant équiprobable, la probabilité de prendre une vis à bout rond est donc de 40/100 = 0,4.

2. a) Les différents tirages possibles sont :

\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline & 1^{\rm ère}\,{\rm boîte} & 2^{\rm ème}\,{\rm boîte}\\\hline (1) & \rm\sc Rond & \rm\sc Plat\\\hline (2) & \rm\sc Rond & \rm\sc Rond\\\hline (3) & \rm\sc Plat & \rm\sc Plat\\\hline (4) & \rm\sc Plat & \rm\sc Rond\\\hline\end{tabular}

    b) Les deux vis prises sont différentes dans les issues (1) et (4).
La probabilité de tirer deux vis différentes est donc : p=\frac{40}{100}\times\frac{12}{50}+\frac{60}{100}\times\frac{38}{50}=0,4\times0,24+0,6\times0,76=\fbox{\math 0,552>0,5}.
L'électricien a donc plus d'une chance sur deux d'obtenir deux vis différentes.



Activités géométriques

exercice 1

1. Le volume de cette tige est : \mathcal{V}=\pi\times4^2\times150\simeq\fbox{\math7540\, {\rm cm}^3} (arrondi au cm3 près).

2. La masse de cette tige est alors : 7,85\times\mathcal{V}\simeq\fbox{\math59\,{\rm kg}} (arrondi au kg près).




exercice 2

1. On applique le théorème d'Euclide, en effectuant des divisions euclidiennes successives :

330=1\times270+60\\ 270=4\times60+30\\ 60=2\times30+0

Le PGCD étant le dernier reste non nul, on a finalement : PGCD(330;270) = 30.

2. Les plaques devant être carrées et le plaquiste ne voulant pas de chutes, la longueur du côté d'une plaque doit être un diviseur de 330 et de 270.
Les plaques devant en outre être les plus grandes possibles, la longueur du côté d'une plaque est donc en fait le PGCD de 330 et de 270.
Autrement dit, chaque plaque mesure 30 cm de côté. Il faudra alors utiliser 270×330/(30×30) = 99 soit 99 plaques.




exercice 3

1. On a BC = 80 cm < AB = 115 cm < AC = 140 cm, donc le triangle ABC ne peut être rectangle qu'en B.
Calculons séparément :
BC² + AB² = 80² + 115² = 6 400 + 13 225 = 19 625 ;
AC² = 140² = 19 600.
Ainsi, BC^2+AB^2\neq AC^2, donc le triangle ABC n'est pas rectangle d'après la contraposée du théorème de Pythagore.

2. Dans le triangle ACD rectangle en D, on a : \displaystyle \cos\left(\widehat{ACD}\right)=\frac{DC}{AC}=\frac{100}{140}.
D'où ainsi : \fbox{\math \widehat{ACD}\simeq44^\circ} (arrondi au degré près).

3. Les points C, A, F et C, D, E sont respectivement alignés dans cet ordre. Calculons séparément :

\left\lbrace\begin{array}{l} \displaystyle\frac{CA}{CF}=\frac{140}{168}=\frac{5}{6}\\\\ \displaystyle \frac{DC}{CE}=\frac{100}{120}=\frac{5}{6}\end{array}\right.

Les droites (AD) et (FE) sont donc parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.



Problème

Partie 1

1. a) Pour un volume de 20 m3, le coût du déménagement serait de 600 €.

    b) La droite représentée sur le graphique joint passant par l'origine du repère, la fonction associée est une fonction linéaire. Le coût est donc ici proportionnel au volume transporté.
D'après la question précédente, on a : \displaystyle g(x)=\frac{600}{20}x soit \fbox{\math g(x)=30x}.

2. a) f(80)=10\times80+800=1600.
Le résultat obtenu signifie que pour un volume transporté de 80 m3, le coût à payer est de 1600 €.

    b) On résout l'équation suivante :

10x+800=3500\\ 10x = 2700\\ \fbox{\math x=270}

L'antécédent de 3500 par la fonction f est 270.

    c) On obtient le graphique suivant :
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2010 - troisième : image 4

3. Graphiquement (cf. traits de construction en noir), on constate que pour un volume de 60 m3, la société B est plus avantageuse que la société A.

Partie 2

1. La première pause a lieu 2 h 30 min après son départ, soit à 12 h 30. Après 80 minutes de pause, il est 13 h 50. Enfin, après 1 h 45 min de route, M. Dubois arrive finalement à 15 h 35.

2. En 6 h 30 min, le camion des déménageurs a parcouru 442 km.
Ainsi, à la même vitesse moyenne, le camion aurait parcouru 884 km en 13 h, soit une moyenne de 68 km.h-1.
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Porcepic
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