Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Polynésie Française - Session Septembre 2010

Durée de l'épreuve : 2 h 00 Coefficient : 1
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.

I - Activités numériques	12 points
II - Activités géométriques	12 points
III - Problème	12 points
Qualité de rédaction et de présentation	4 points

12 points

Activités numériques

exercice 1

pour chaque question, choisir une réponse et la reporter sur la copie double. Aucune justification n'est demandée

	Questions	Réponse A	Réponse B	Réponse C
1.	Combien vaut 8 % de 1 200 F ?	150 F	80 F	96 F
2.	Quelle est l'écriture scientifique de 0,00567 ?	$567 \times 10^{-5}$	$5,67 \times 10^{-3}$	$5,67 \times 10^{-4}$
3.	Quelle est la vitesse moyenne d'un coureur qui court le 400 m en 1 minute ?	40 m/s	24 km/h	4 km/h
4.	Donner le résultat de $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5}{4}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{5}{12}$	$- \dfrac{1}{3}$
5.	Quel est le nombre égal à $\sqrt{18}$ ?	9	4,24	$3\sqrt{2}$

exercice 2

Sur la figure dessinée ci-dessous, ABCD est un carré et ABEF est un rectangle. On a AB = BC $= 2x + 1$ et AF $= x + 3$ où $x$ désigne un nombre supérieur à deux. L'unité de longueur est le centimètre.

Diplôme National du Brevet Polynésie Française Septembre 2010 - troisième : image 1

Partie A : Étude d'un cas particulier $x = 3$ .

1. Pour $x = 3$ , calculer AB et AF.

2. Pour $x = 3$ , calculer l'aire du rectangle FECD.

Partie B : Étude du cas général :

$x$ désigne un nombre supérieur à deux.

1. Exprimer la longueur FD en fonction de $x$ .

2. En déduire que l'aire de FECD est égale à $(2x + 1)(x - 2)$ .

3. Exprimer en fonction de $x$ , les aires du carré ABCD et du rectangle ABEF.

4. En déduire que l'aire du rectangle FECD est : $(2x + 1)^2 - (2x + 1)(x + 3)$ .

5. Les deux aires trouvées aux questions 2 et 4 sont égales et on a donc : $(2x + 1)^2 - (2x + 1)(x + 3) = (2x + 1)(x - 2 )$ Cette égalité traduit-elle un développement ou une factorisation?

exercice 3

Avec un projecteur de cinéma, une image sur un film est projetée sur un écran. Sur le film, une image rectangulaire de 70 mm de long et 52,5 mm de large peut être agrandie sur un écran jusqu'à 588 m².

1. On appelle format de l'image le rapport : $\dfrac{\text{longueur de l'image}}{\text{largeur de l'image}}$ .
Montrer que l'image sur le film est au format $\dfrac{4}{3}$ . Justifier.

2. Calculer en mm² l'aire de l'image sur le film. Convertir en m².

3. Pour obtenir un image de 588 m² sur l'écran, la longueur et la largeur de l'image sur le film ont été multipliées par un coefficient. Le format $\dfrac{4}{3}$ de l'image est conservé. Quelles sont les dimensions sur l'écran ? Justifier votre démarche.
L'évaluation de cet exercice tiendra compte des observations et étapes de recherche même incomplètes.

12 points

Activités géométriques

exercice 1

La formule d'Al-Kashi permet de calculer le troisième côté d'un triangle connaissant deux côtés et un angle. Pour un triangle ABC, on a :
$\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2 - 2\text{AC} \times \text{AB} \times \cos \left(\widehat{\text{BAC}}\right)$ .

On considère pour tout l'exercice que : AB = 6 cm, AC = 12 cm et $\widehat{\text{BAC}} = 60$ °.

1. Construire un triangle ABC vérifiant les conditions précédentes.

2. Donner la valeur de $\cos \left(\widehat{\text{BAC}}\right)$ .
En déduire avec la formule d'Al-Kashi que l'on a BC² = AC² + AB² - AC × AB.
Montrer que BC = $\sqrt{108}$ cm.

3. En déduire que le triangle ABC est rectangle en B.

exercice 2

Thalès de Millet (624 - 547 av JC) se rendit célèbre en donnant la hauteur de la plus grande pyramide d'Egypte. Nous allons utiliser son théorème pour calculer la hauteur de cette pyramide représentée ci-dessous.
KEOP est un carré de centre H et de côté 230 m. [SH] est la hauteur de cette pyramide.

Diplôme National du Brevet Polynésie Française Septembre 2010 - troisième : image 2

1. Soit I le milieu de [OE]. Calculer HI.

2. On se place à l'extérieur de la pyramide et on plante verticalement un bâton représenté par le segment [AB] de 2 m de façon à ce que les points M, B, S et M, A, H soient alignés.
On sait que MA = 2,4 m et MH = 165 m

Diplôme National du Brevet Polynésie Française Septembre 2010 - troisième : image 3

    a) Justifier que (HS) et (AB) sont parallèles.
    b) Écrire l'égalité des rapports provenant de la propriété de Thalès dans le triangle MHS.
    c) En déduire que la hauteur SH de la pyramide mesure 137,5 m.

3. Calculer le volume de cette pyramide. Arrondir le résultat au m³.

Volume d'une pyramide : $V = \dfrac{1}{3} B \times h$ .
$B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide

12 points

Problème

Dans ce problème, on lance deux dés de couleurs différentes. Les dés sont équilibrés et les faces sont numérotées de 1 à 6. On s'intéresse à la somme des valeurs obtenues par les dés.

Partie 1 :

On lance 25 fois les deux dés et on note les valeurs dans un tableur.
Les résultats sont représentés dans le tableau ci-dessous.
La colonne A indique le numéro de l'expérience.
Les colonnes B et C donnent les valeurs des dés.
La somme des deux dés est calculée dans la colonne D.

	A	B	C	D
1	N^o	dé 1	dé 2	Somme
2	1	5	1	6
3	2	1	1	2
4	3	1	4	5
5	4	1	6	7
6	5	4	4	8
7	6	6	4	10
8	7	6	3	9
9	8	5	6	11
10	9	5	3	8
11	10	5	6	11
12	11	3	6	9
13	12	2	5	7
14	13	3	5	8
15	14	1	6	7
16	15	6	5	11
17	16	2	3	5
18	17	2	5	7
19	18	3	4	7
20	19	2	4	6
21	20	6	5	11
22	21	1	1	2
23	22	2	1	3
24	23	1	4	5
25	24	5	1	6
26	25	1	6	7

1. La somme peut-elle être égale à 1 ? Justifier.

2. La somme 12 n'apparaît pas dans ce tableau. Est-il toutefois possible de l'obtenir? Justifier.

3. Pour le 11^ème lancer des deux dés, quelle formule a-t-on marquée dans la cellule D12 pour obtenir le résultat donné par l'ordinateur ?

4. Dans cette expérience, combien de fois obtient-on la somme 7 ?
En déduire la fréquence de cette somme en pourcentage.

5. Quelle est la médiane de cette série de sommes (colonne D) ?

6. Tracer le diagramme en bâtons de la série des sommes obtenues (colonne D).

Partie 2 :

On fait une simulation de 1 000 expériences avec un tableur. Les résultats sont représentés dans le diagramme en bâtons suivant. Effectifs des sommes obtenues

Diplôme National du Brevet Polynésie Française Septembre 2010 - troisième : image 4

1. Quelles sont les deux sommes les moins fréquentes ?

2. Paul, un élève de troisième joue avec Jacques son petit frère de CM2. Chacun choisit une somme à obtenir avec 2 dés. Paul prend la somme 9 et Jacques la somme 3.
Expliquer pourquoi Paul a plus de chances de gagner que son petit frère.

3. Quel est, pour cette simulation, le nombre de lancers qui donne la somme 7 ? En déduire la fréquence en pourcentage représentée par ces lancers.

4. Compléter le tableau suivant et trouver les différentes possibilités d'obtenir une somme égale à 7 avec deux dés. Calculer la probabilité d'obtenir cette somme.

Somme des 2 dés		Valeur 2^ème dé
		1	2	3	4	5	6
Valeur 1^er dé	1	2	3	4
	2		4
	3
	4
	5
	6						12

5. Que peut-on dire de la valeur de la fréquence obtenue à la question 3 et de celle de la probabilité obtenue à la question 4 ? Proposer une explication.

Correction

Activités numériques

exercice 1

Les justifications ne sont pas demandées.

1. Réponse C.
$1200\times\dfrac{8}{100}=96$

2. Réponse B.
Dans 0,00567 le premier chiffre différent de zéro est situé en troisième place après la virgule, donc l'écriture scientifique de ce nombre est $5,67\times10^{-3}$ .

3. Réponse B.
$\dfrac{400\ \text{m}}{1\ \text{min}}=\dfrac{0,4\times60\ \text{km}}{1\ \text{h}}=\dfrac{24\ \text{km}}{1\ \text{h}}$

4. Réponse A.
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{12}=\dfrac{8-5}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$

5. Réponse C.
$\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=\sqrt{3^{2}\times2}=3\sqrt{2}$

exercice 2

Partie A : Étude d'un cas particulier $x=3$

1. $AB=2x+1=2\times3+1=7\ \text{cm}$
$AF=x+3=3+3=6\ \text{cm}$

2. Calculons la longueur FD :
$FD=AD-AF=7-6=1\ \text{cm}$
L'aire de FECD est égale à $FD\times DC=1\times7=7\ \text{cm}^{2}$

Partie B : Étude du cas général

1. $FD=AD-AF=(2x+1)-(x+3)=2x+1-x-3=x-2$

2. L'aire de FECD est égale à $DC\timesFD=(2x+1)(x-2)$

3. L'aire de ABCD est égale à $AB^{2}=(2x+1)^{2}$
L'aire de ABEF est égale à $AF\times AB=(x+3)(2x+1)$

4. L'aire de FECD est égale à l'aire de ABCD dont on enlève l'aire de ABEF, soit $(2x+1)^{2}-(2x+1)(x+3)$

5. Cette égalité traduit une factorisation par $(2x+1)$ .

exercice 3

1. Le format de ce film est $\dfrac{70}{52,5}=\dfrac{17,5\times4}{17,5\times3}=\dfrac{4}{3}$ .

2. L'aire de l'image sur le film est égale à $70\times52,5=3\ 675\ \text{mm}^{2}=3,675\times10^{-3}\ \text{m}^{2}$ .

3. Appelons $x$ le coefficient par lequel la longueur et la largeur de l'image ont été multipliées.
70mm=70 multiplie

10^-3m et 52,5mm=52,5 multiplie

10^-3m
On a $70\times10^{-3}x\times52,5\times10^{-3}x=588$ étant donné qu'on obtient une image de 588 m².
Soit $3\ 675x^{2}\times10^{-6}=588$ . Résolvons cette équation :

$\begin{array}{rcl} x^{2}&=&\dfrac{588}{3\ 675\times10^{-6}}\\ &=&0,16\times10^{6} \end{array}$
D'où
$\begin{array}{rcl} x=\sqrt{0,16\times10^{6}}&\text{ou}&x=-\sqrt{0,16\times10^{6}}\\x=400&\text{ ou }&x=-400\end{array}$

Or on sait que l'image a été agrandie donc le coefficient doit être positif. Il est donc égal à 400.

Activités géométriques

exercice 1

Diplôme National du Brevet Polynésie Française Septembre 2010 - troisième : image 5

2. $\cos(\widehat{BAC})=\cos 60°=\dfrac{1}{2}$
D'après la formule d'Al-Kashi, on a :
$\begin{array}{rcl} BC^{2}&=&AB^{2}+AC^{2}-2AC\times AB\times\cos(\widehat{BAC}) \\ &=&AB^{2}+AC^{2}-2AC\times AB\times\dfrac{1}{2} \\ &=&AB^{2}+AC^{2}-AC\times AB \\ &=&36+144-12\times6 \\ &=&108 \\ BC&=&\sqrt{108} \end{array}$

3. Dans le triangle ABC, le côté le plus long est [AC].
On a : AB² + BC² = 36 + 108 = 144
et AC² = 12² = 144
Donc AB² + BC² = AC².
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

exercice 2

1. Calculons OH² :
H est le centre du carré KEOP, donc OHE est rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore, on a :
$\begin{array}{rcl} OE^{2}&=&OH^{2}+HE^{2}\\ OE^{2}&=&2OH^{2}\\ OH^{2}&=&\dfrac{OE^{2}}{2}\\ OH^{2}&=&26\ 450\\ \end{array}$

Calculons HI :
OIH est un triangle rectangle en I donc d'après le théorème de Pythagore, on a :
$\begin{array}{rcl} OH^{2}&=&HI^{2}+OI^{2}\\ HI^{2}&=&OH^{2}-OI^{2}\\ HI^{2}&=&26\ 450-\left(\dfrac{230}{2}\right)^{2}\\ HI^{2}&=&13\ 225\\ HI&=&115\ \text{m} \end{array}$

2. a) On sait que $(SH)\bot(MH)$ et $(AB)\bot(MH)$ .
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles.
Donc $(SH)//(AB)$ .

2. b) Les droites (BS) et (AH) sont sécantes en M. Les droites (SH) et (AB) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :
$\dfrac{MB}{MS}=\dfrac{MA}{MH}=\dfrac{BA}{SH}$

2. c) De l'égalité $\dfrac{MA}{MH} = \dfrac{BA}{SH}$ on déduit : $SH=\dfrac{MH\times BA}{MA}=\dfrac{165\times2}{2,4}=137,5\ \text{m}$

3. $V=\dfrac{OE^{2}\times SH}{3}=\dfrac{52\ 900\times137,5}{3}\approx2\ 424\ 583\ \text{m}^{3}$

Problème

Partie 1

1. La somme ne peut pas être égale à 1 car on lance deux dés. Ces deux dés ont chacun pour valeur minimale 1. La somme minimale est donc 1+1=2

2. La somme 12 n'apparaît pas mais on peut l'obtenir en ayant deux fois 6.

3. Dans la cellule D12 on a entré la formule "B12+C12".

4. On obtient 6 fois la somme 7.
La fréquence en pourcentage est donnée par la formule suivante : $\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif\ total}}\times100$ soit, ici, $\dfrac{6}{25}\times100=24\%$ .

5. On a une série de 25 résultats. Après avoir trié dans l'ordre croissant cette série, la médiane se trouvera à la 13e position.
Série des sommes : $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline2&2&3&5&5&5&6&6&6&7&7&7&\ \ 7\ \ \ &7&7&8&8&8&9&9&10&11&11&11&11\\ \hline\end{array}$
La médiane de la série est 7.
6.

Diplôme National du Brevet Polynésie Française Septembre 2010 - troisième : image 6

Partie 2

1. Les sommes les moins fréquentes sont le 2 et le 12.

2. Pour obtenir 3, il faut faire la combinaison 1+2 ou 2+1. Pour obtenir 9, il faut faire la combinaison 6+3 ou 3+6 ou 4+5 ou 5+4. On a donc plus de possibilités pour faire 9 que pour faire 3.

3. Dans cette simulation, 170 lancers ont donné la somme 7. Cela représente $\dfrac{170}{1\ 000}\times100=17\%$ des lancers.

4.

Somme des 2 dés		Valeur 2^ème dé
		1	2	3	4	5	6
Valeur 1^er dé	1	2	3	4	5	6	7
	2	3	4	5	6	7	8
	3	4	5	6	7	8	9
	4	5	6	7	8	9	10
	5	6	7	8	9	10	11
	6	7	8	9	10	11	12

Pour obtenir un 7, on peut faire 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 ou 6+1.
On compte dans le tableau qu'il y a 36 combinaisons possibles des deux dés. La probabilité d'avoir pour somme 7 est donc égale à $\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\approx0,1666\dots$

5. On constate que cette probabilité est très proche de la fréquence observée à la question 3. En effet, la fréquence d'un résultat, quand on augmente le nombre de répétition d'une expérience (ici, le lancer deux dés), tend vers la probabilité de ce résultat. A la question 3, on avait répété 1 000 fois l'expérience, il est donc normal que la fréquence soit très proche de la probabilité.

Publié par TP/david9333 le 23-11-2015

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