Pour les exercices 1 à 4, on considère un triangle ABC et on désigne par I,J et K les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].

exercice 1

On suppose que ABC est rectangle en A.

1. Que peut-on dire des droites (IJ) et (AB) ? des droites (IJ) et (AC) ?

2. Préciser la nature du quadrilatère AJIK.

exercice 2

Tracer un triangle ABC sachant que AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 6 cm.

1. Prouver que la droite (BJ) coupe le segment [KI] en son milieu.

2. Calculer les périmètres du triangle IJK et des quadrilatères AKIJ, BKJI et CIKJ.

exercice 3

On suppose que AB = 7 cm, AC = 8 cm et BC = 12 cm. On désigne par L et M les milieux respectifs de [KJ] et [KI].

1. Prouver que la droite (LM) est parallèle à la droite (AB).

2. Calculer le périmètre du triangle KLM.

exercice 4

Soit M le milieu de [AK] et N celui de [KB].

1. Préciser la nature du quadrilatère MJIN.

2. Comment choisir le triangle ABC pour que MJIN soit un rectangle ? un losange ? un carré ?

exercice 5

Tracer un triangle ABC, puis construire les points D, E, F, G, H et I, symétriques respectifs de A par rapport à C, de A par rapport à B, de C par rapport à B, de C par rapport à A, de B par rapport à A et de B par rapport à C.
Comparer les périmètres du triangle ABC et de l'hexagone DEFGHI.

exercice 6 - Les trois parallélogrammes

Dans la figure ci-contre, ABCD et ABEF sont deux parallélogrammes de centres I et J.

1. Montrer que les droites (CE) et (DF) sont parallèles
(indication : on pourra utiliser la droite (IJ)).

2. En déduire la nature du quadrilatère DFEC.

exercice 7

I et J sont les milieux de [BC] et de [CD]. La parallèle à (AB) passant par I et la parallèle à (AD) passant par J se coupent en P.
Montrer que P est le milieu de [AC].

exercice 8 - Le premier tiers

Les données :
ABCD est un parallélogramme ;
D' est le symétrique de D par rapport à A ;
E appartient au segment [AB] et AE = AB ;
(D'E) coupe (DC) en F.
Montrer que CF = CD.

exercice 1

1. On sait que I est le milieu du segment [BC] et que J est le milieu du segment [AC].
Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième.
J'en conclus que les droites (IJ) et (AB) sont parallèles.

On sait que ABC est un triangle rectangle en A, donc les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, ou encore, les droites (AB) et (AJ).
On sait que les droites (AB) et (IJ) sont parallèles.
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
J'en conclus que les droites (AC) et (IJ) sont perpendiculaires.

2. (IJ) et (AB) sont parallèles, [AK] appartient à [AB]. AK vaut la moitié de AB, ainsi que IJ.
On a donc un quadrilatère qui a un angle droit, et deux côtés opposés qui sont parallèles de même mesure. Ce quadrilatère est un rectangle.
AKIJ est donc un rectangle.

exercice 2

1. D'après le théorème des milieux, si un segment coupe l'un des trois côtés d'un triangle en son milieu, et parallèlement à un autre côté de ce triangle, ce segment coupera le troisième côté du triangle en son milieu, et la longueur du segment sera égale à la moitié du côté auquel il est parallèle.
Soit H le point d'intersection entre la droite (BJ) et la droite (KI).
On sait que les segments [AJ] et [KI] ont la même longueur, et sont parallèles d'après le théorème des milieux.
Puisque (KH) est parallèle à (AJ), et que [KH] coupe [AB] dans son milieu, alors KH vaut la moitié de AJ.
Donc H est bien le milieu de [KI]

2. Le périmètre de IJK vaut : IJ + IK + JK.
IJ vaut la moitié de AB, soit 2 cm
IK vaut la moitié de AC, soit 2,5 cm
KJ vaut la moitié de BC, soit 3 cm
Périmètre de IJK = 2 + 2,5 + 3 = 7,5 cm

Périmètre de AKIJ = AK + KI + IJ + JA
AK = JI = 2 cm
KI = JA =2,5 cm
Périmètre de AKIJ = AK + KI + IJ + JA = 2 + 2 + 2,5 + 2,5 = 9cm

Périmètre de BKIJ = BK + KJ + JI + IB
BK = AK = IJ = 2 cm
BI = KJ = 3 cm
Périmètre de BKIJ = BK + KJ + JI + IB = 2 + 2 + 3 + 3 = 10 cm

Périmètre de CIKJ = CI + IK + KJ + JC
CI = BI = KJ = 3 cm
JC = JA = IK = 2,5 cm
Périmètre de CIKJ = CI + IK + KJ + JC = 3 + 3 + 2,5 + 2,5 = 11 cm

exercice 3

1.D'après le théorème des milieux, (AB) et (IJ) sont parallèles, et IJ vaut la moitié de [AB].
[ML] coupe [KI] et [KJ] respectivement dans leurs milieux, donc d'après le théorème des milieux, (ML) est parallèle à (IJ) et la longueur ML vaut la moitié de la longueur IJ. Puisque (ML) est parallèle à (IJ), et que (IJ) est parallèle à (AB), alors (ML) est parallèle à (AB).

2. Ainsi, puisque IJ vaut la moitié de AB, et que ML vaut la moitié de ML, alors ML vaut la moitié de la moitié de AB, soit le quart de AB.
Il en est de même pour KL qui vaut le quart de BC, et KM qui vaut le quart de AC, donc le périmètre de KLM vaut le quart du périmètre de ABC.
Périmètre de ABC = 7 + 8 + 12 = 27 cm
Périmètre de KLM = 27/4 = 6,75 cm

exercice 4

1. (IJ) est parallèle à (MN), et la longueur de IJ, vaut la moitié de la longueur de AB.
KN = NB = KM = MA. Donc MN = KM + KN. Donc MN vaut la moitié de AB, soit la même longueur que le segment [IJ].
Puisque (IJ)//(MN) et que [IJ] et [MN] ont la même longueur, alors MJIN est un parallélogramme.

2. MJIN est un rectangle, si (NI) et (JI) sont perpendiculaires, et donc si ABC est isocèle en C.
MJIN est un losange si NI = IJ , et donc si la médiane issue de C soit égale à AB. Il faut donc que ABC soit inscrit dans un cercle de centre K, et de rayon AB.
MJIN est un carré si MJIN est un losange et un rectangle, donc si les deux conditions ci dessus sont vérifiées. Ce qui nous donne un triangle tel que CK = AB, avec CK une hauteur du triangle ABC.

exercice 5

Le périmètre de DEFGHI vaut le triple du périmètre de ABC.
En effet, EF = AC ,FG = 2 × AB , GH = BC , HI = 2 × AC , ID = AB , et ED = 2 × BC
DE + EF + FG + GH + HI + ID = périmètre de DEFGHI.
2 × BC + AC + 2 × AB + BC + 2 × AC + AB = 3 × BC + 3 × AB + 3 × AC
= 3 × (BC + AB + AC) = 3 × Périmètre de ABC

exercice 6

1. Puisque I et J sont les centres respectifs des parallélogrammes ABCD et ABEF , alors , I et J sont les milieux de [AE], [AC] , [BD] et [BF].
En se plaçant dans le triangle ACE, (IJ) coupe les segments [AC] et [AE] dans leurs milieux respectifs. (IJ) est donc, d'après le théorème des milieux, parallèle à (CE).
En se plaçant dans le triangle BDF, (IJ) coupe les segments [BD] et [BF] dans leurs milieux respectifs. (IJ) est donc, d'après le théorème des milieux, parallèle à (DF).
Puisque (IJ) est parallèle à (CE) et à (DF) , (CE) et (DF) sont parallèles.

2. D'après le théorème des milieux, IJ vaut la moitié de CE, mais IJ vaut aussi la moitié de DF. IJ étant constant, [CE] et [DF] ont la même mesure.
De plus, (CE)//(DF) donc CDFE est un parallélogramme.

exercice 7

Dans le triangle CAD,la parallèle à (AD) passant par J coupe [CA] dans son milieu, d'après le théorème des milieux.
Dans le triangle CAB,la parallèle à (AB) passant par I coupe [CA] dans son milieu, d'après le théorème des milieux.
Le milieu de [CA] étant unique, la parallèle à (AB) passant par I, et la parallèle à (AD) passant par J, se coupent dans le milieu du segment [CA]. L'intersection de ces deux droites étant le point P, P est le milieu de [CA].

exercice 8

Puisque ABCD est un parallélogramme, et que E appartient à [AB], on a (AE) qui est parallèle à (DC). Or F appartient à [DC] donc (AE) est parallèle à (DF).
Dans le triangle D'DF ,puisque (AE)//(DF) et que A est le milieu de [D'D] , on a alors, d'après le théorème des milieux, DF = 2×AE.
Or AE = AB, donc DF = 2 × AB.
Étant donné que DC = AB, et que DF = 2 × AB, DF = 2 × CD, et donc CF = CD - DF = CD - 2 × CD
CF = CD