Fiche de mathématiques
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Triangles : milieux et parallèles, théorème de Thalès

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Fiche relue en 2016

1. Droite passant par les milieux de deux côtés

a ) Parallélisme


Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.



Exemple :
Triangles : milieux et parallèles, théorème de Thalès : image 1

Dans le triangle ABC, sachant que I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC], on déduit que (IJ) est parallèle à (BC). (IJ) // (BC)
Cette propriété peut permettre de montrer que deux droites sont parallèles.

b ) Longueur

Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a une longueur égale à la moitié de celle du troisième côté.

Exemple :
Triangles : milieux et parallèles, théorème de Thalès : image 2

La propriété donne l'égalité IJ=\frac{1}{2} BC
Dans le triangle ABC, sachant que I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC], on déduit que IJ=\frac{1}{2} BC.
Par exemple, si BC = 7 cm, alors IJ = 3,5 cm.
Cette propriété peut permettre de calculer des longueurs.

2. Droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un autre côté

Dans un triangle, la droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu.

Exemple :
On a :
Triangles : milieux et parallèles, théorème de Thalès : image 3

Dans le triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et (d) est la droite passant par I parallèle à (BC), on en déduit que (d) coupe [AC] en un point J qui est le milieu de [AC].
Triangles : milieux et parallèles, théorème de Thalès : image 4

On déduit :
Cette propriété peut permettre de démontrer qu'un point est le milieu d'un segment.


3. Théorème de Thalès

Dans un triangle ABC, si M est un point de [AB] et N est un point de [AC] tels que (MN) // (BC), alors les longueurs vérifient l'égalité de Thalès :

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}

Voir le cours sur le théorême de Thalès


Exemple :
Triangles : milieux et parallèles, théorème de Thalès : image 5

Sachant que (MN) // (BC), on déduit l'égalité \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}
Autrement dit, les longueurs du triangle AMN sont proportionnelles aux longueurs du triangle ABC.

Le théorème de Thalès dans un triangle se généralise dans l'énoncé suivant :
Triangles : milieux et parallèles, théorème de Thalès : image 7
Si deux droites parallèles coupent deux demi-droites de même origine :
l'origine et les points d'intersection vérifient l'égalité :

\frac{OM}{OM'} = \frac{ON}{ON'} = \frac{MN}{M'N'}

Les triangles OMN et OM'N' ainsi formés ont des longueurs proportionnelles.

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