Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie générale, spécialité mathématique. Ces sujets dans leur totalité
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Une fonction du second degré f est définie sur par
Pour tout réel x , (x + 2)2 0 (car un carré n'est jamais négatif).
3(x + 2)2 0 (en multipliant les deux membres de l'inégalité précédente par 3 > 0).
3(x + 2)2 + 5 5 (en ajoutant 5 aux deux membres de l'inégalité précédente).
D'où 3(x + 2)2 + 5 > 0, soit f (x ) > 0 pour tout réel x .
Nous en déduisons que la fonction f n'admet pas de racine réelle.
Par conséquent, son discriminant est strictement négatif. La réponse correcte est donc la proposition c.
Nous savons que si l'équation d'une droite est de la forme ax + by + c = 0, alors le vecteur de coordonnées est un vecteur directeur de cette droite.
Par conséquent, un vecteur directeur de la droite d'équation 2x + 3y + 5 = 0 est le vecteur La réponse correcte est donc la proposition b.
La réponse correcte est donc la proposition c.
La réponse correcte est donc la proposition d.
Pour tout réel x , sin(x + ) = - sin x (voir figure)
La réponse correcte est donc la proposition d.
5 points
exercice 2
1. Le bassin contient 80 m3 d'eau après son remplissage.
Chaque semaine, il perd 4% de son volume d'eau par évaporation.
Volume d'eau en m3 après une semaine : 80 - 3,2 = 76,8.
Par conséquent, une semaine après son remplissage, le bassin contient 76,8 m3.
Variante du calcul :
Volume d'eau en m3 après une semaine : 80 - 0,04 80 = (1 - 0,04) 80 = 0,96 80 = 76,8.
Par conséquent, une semaine après son remplissage, le bassin contient 76,8 m3.
2. a. Pour tout entier naturel n , le nombre de m3 d'eau Vn +1 dans la piscine (n +1) semaines après son remplissage est égal au nombre de m3 d'eau Vn dans la piscine n semaines après son remplissage diminué de 4 %.
Or une diminution de 4 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,04 = 0,96.
Par conséquent, pour tout entier naturel n ,
Nous en déduisons que la suite (Vn ) est une suite géométrique de raison q = 0,96 dont le premier terme est V0=80.
2. b. Le terme général de la suite (Vn ) est .
Donc, pour tout entier naturel n ,
2. c. Le rang correspondant une période de 7 semaines est n = 7.
Par conséquent, selon ce modèle, la quantité d'eau contenue dans le bassin au bout de 7 semaines est évaluée à environ 60,1 m3.
3. Soit le programme en Python complété ci-dessous.
L'instruction "nombreJour(70)" renvoie la valeur 10.
Ci-dessous un tableau reprenant les premières valeurs de N et V (arrondies au dixième) en sachant que U = 70.
Dans le contexte de l'exercice, l'exécution de ce programme nous indique qu'à partir de la 10ème semaine, le volume d'eau de la piscine sera inférieur à 70 m3.
5 points
exercice 3
1. Arbre pondéré complété :
2. Nous devons calculer P (NS ).
Par conséquent, la probabilité que le client achète une nappe et un lot de serviettes est égal à 0,14.
3. Nous devons calculer P (S ).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
4. Nous devons calculer
Par conséquent, sachant que le client a acheté une serviette, la probabilité qu'il achète une nappe est égale à soit environ 0,636 (valeur arrondie au millième).
5. Soit la variable aléatoire D donnant la dépense effectuée par un client.
Les diverses valeurs prises par la variable aléatoire D sont : 0, 25, 45 et 70.
D = 0 lorsque le client n'achète rien.
D = 25 lorsque le client n'achète pas de nappe mais achète un lot de serviettes.
D = 45 lorsque le client achète une nappe mais n'achète pas de serviette.
X = 70 lorsque le client achète une nappe et un lot de serviettes.
Nous obtenons ainsi le tableau donnant la loi de probabilité de D .
Calcul de l'espérance E (X ).
Par conséquent, dans ce magasin, un client achète en moyenne pour 14,5 euros.
5 points
exercice 4
Soit la fonction P définie sur l'intervalle [0 ; 5] par
2. A l'aide d'un logiciel de calcul formel, nous obtenons l'expression de la dérivée :
2. a. Etudions le signe de P' (t ) sur [0 ; 5].
Pour tout réel t , 100 e-t > 0.
Donc le signe de P' (t ) est le signe de (1 - t ).
2. b. Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction P sur l'intervalle [0 ; 5].
2. c. En nous aidant du tableau de variations de la fonction P , nous déduisons que cette fonction P admet un maximum pour t = 1.
Ce maximum est égal à environ 37 (arrondi à l'unité).
3. Représentation graphique de la fonction P dans le plan muni d'un repère orthogonal.
La pollution ne représente pas de danger pour la santé si la concentration du polluant est inférieure à 5 mg/L.
Nous observons graphiquement que la concentration du polluant redescend en-dessous du palier de 5 mg/L à partir de l'instant t = 4,5.
Par conséquent, la pollution ne représente plus de danger pour la santé après une durée de 4 heures 30 minutes au-delà du début de l'alerte.
Publié par malou
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=(4-3\,;\,2-(-1))\\\overrightarrow{AC}(x_C-x_A\,;\,y_C-y_A)=(1-3\,;\,1-(-1))\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}(1\,;\,3)\\\overrightarrow{AC}(-2\,;\,2)\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1\times(-2)+3\times2 \\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=-2+6 \\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=4 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=4})
:\ }(2x+3)\,\text{e}^x.}})
=\left(\overset{}{(2x+1)\times\text{e}^x}\right)'\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\red{\text{Remarque :}\ \left(u\times v\right)'=u'\times v+u\times v'}} \\\phantom{f'(x)}=(2x+1)'\times \text{e}^x+(2x+1)\times(\text{e}^x)' \\\phantom{f'(x)}=2\times \text{e}^x+(2x+1)\times\text{e}^x \\\phantom{f'(x)}=(2+2x+1)\times\text{e}^x \\\phantom{f'(x)}=(2x+3)\times\text{e}^x)
:\ }-\sin x.}})
80 = (1 - 0,04) 
.
}:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{N}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{V}=80\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{while }{\red{\text{V}}}>={\red{\text{U}}}:\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \text{N = N + 1}{\ \ \ \ \\\ \ \red{\text{V = 0.96}*\text{V}+2}} \\\text{return {\red{N}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array})
S ). =P(N)\times P_{N}(S) \\\phantom{P(N\cap S)}=0,2\times0,7 \\\phantom{P(N\cap S)}=0,14 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(N\cap S)=0,14})
=P( N\cap S)+P( \overline{N}\cap S) \\\phantom{P(S)}=0,14+P( \overline{N})\times P_{ \overline{N}}(S) \\\phantom{P(S)}=0,14+0,8\times0,1 \\\phantom{P(S)}=0,14+0,08 \\\phantom{P(S)}=0,22 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(S)=0,22})
.)
=\dfrac{P(N\cap S)}{P(S)} \\\\\phantom{P_{S}(N)}=\dfrac{0,14}{0,22}=\dfrac{7}{11} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{S}(N)=\dfrac{7}{11}\approx0,636})
soit environ 0,636 (valeur arrondie au millième).=P(\overline{N}\cap\overline{S})=P(\overline{N})\times P_{\overline{N}}(\overline{S}) \\\phantom{\text{Donc }\ P(D=0)}=0,8\times0,9 \\\phantom{\text{Donc }\ P(D=0)}=0,72 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D=0)=0,72})
=P(\overline{N}\cap S)=P(\overline{N})\times P_{\overline{N}}(S) \\\phantom{\text{Donc }\ P(D=25)}=0,8\times0,1 \\\phantom{\text{Donc }\ P(D=25)}=0,08 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D=25)=0,08})
=P(N\cap \overline{S})=P(N)\times P_{N}(\overline{S}) \\\phantom{\text{Donc }\ P(D=45)}=0,2\times0,3 \\\phantom{\text{Donc }\ P(D=45)}=0,06 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D=45)=0,06})
=P(N\cap S)=0,14\ \ \ \ (\text{voir question 2.}) \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D=70)=0,14})
&\ \ 0,72\ \ &\ 0,08\ \ &\ \ 0,06\ \ &\ \ 0,14\ \ &&&&&\\\hline \end{array})
=0\times P(D=0)+25\times P(D=25)+45\times P(D=45)+70\times P(D=70) \\\phantom{E(X)}=0\times0,72+25\times0,08+45\times0,06+70\times0,14 \\\phantom{E(X)}=14,5\\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=14,5})
=100\,t\,\text{e}^{-t}.)
=100\times0\times\text{e}^{0}=0 \\\phantom{{\red{1.\ }}\ }P(5)=100\times5\times\text{e}^{-5}=500\,\text{e}^{-5}\approx3 \\\\\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}P(0)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\P(5)\approx3\ \ \ \ \ (\text{arrondi à l'unité})\end{matrix}\right.})
=100(1-t)\,\text{e}^{-t}.)
&&+&0&-&&\\&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix})
=0\ \ \ \ (\text{voir question 1.})\\P(1)=100\times1\times\text{e}^{-1}=100\,\text{e}^{-1}\approx37\ \ \ \ (\text{arrondi à l'unité}) \\P(5)\approx3\ \ \ \ (\text{voir question 1.}).\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ t&0&&1&&5&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&P'(t)&&+&0&-&&\\&&&&&&\\\hline&&&{\red{100\,\text{e}^{-1}\approx37}}&&&&P(t)&&\nearrow&&\searrow&&\\&0&&&&500\,\text{e}^{-5}\approx3&\\\hline \end{array})
) = - sin x (voir figure)
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