Fiche de mathématiques
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E3C - Epreuve 2 - Voie générale, spécialité mathématiques.

Sujet 63 de la banque nationale

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Durée : 2 heures



Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie générale, spécialité mathématique. Ces sujets dans leur totalité sont consultables dans ce document



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5 points

exercice 1

{\red{\text{Question 1. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c):\ }\text{Concernant son discriminant, on peut dire qu'il est strictement négatif}.}} 
Une fonction du second degré f  est définie sur R par  f(x)=3(x+2)^2+5.
Pour tout réel x , (x  + 2)2 supegal 0 (car un carré n'est jamais négatif).
                                      3(x  + 2)2 supegal 0 (en multipliant les deux membres de l'inégalité précédente par 3 > 0).
                                      3(x  + 2)2 + 5 supegal 5 (en ajoutant 5 aux deux membres de l'inégalité précédente). 
D'où 3(x  + 2)2 + 5 > 0, soit f (x ) > 0 pour tout réel x .
Nous en déduisons que la fonction f  n'admet pas de racine réelle.
Par conséquent, son discriminant est strictement négatif.
La réponse correcte est donc la proposition c.

{\red{\text{Question 2. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b):\ }\overrightarrow{u}(-3\,;\,2).}} 
Nous savons que si l'équation d'une droite est de la forme ax  + by  + c  = 0, alors le vecteur de coordonnées  \overset{\dfrac{}{} }{(-b\,;\,a)}  est un vecteur directeur de cette droite.
Par conséquent, un vecteur directeur de la droite d'équation 2x + 3y + 5 = 0 est le vecteur  \overrightarrow{u}(-3\,;\,2).
La réponse correcte est donc la proposition b.

{\red{\text{Question 3. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c):\ }4.}} 
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=x_{\overrightarrow{AB}}\times x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{AB}}\times y_{\overrightarrow{AC}} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)=(4-3\,;\,2-(-1))\\\overrightarrow{AC}(x_C-x_A\,;\,y_C-y_A)=(1-3\,;\,1-(-1))\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}(1\,;\,3)\\\overrightarrow{AC}(-2\,;\,2)\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1\times(-2)+3\times2 \\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=-2+6 \\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=4 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=4}
La réponse correcte est donc la proposition c.

{\red{\text{Question 4. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ d):\ }(2x+3)\,\text{e}^x.}} 
f'(x)=\left(\overset{}{(2x+1)\times\text{e}^x}\right)'\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\red{\text{Remarque :}\ \left(u\times v\right)'=u'\times v+u\times v'}} \\\phantom{f'(x)}=(2x+1)'\times \text{e}^x+(2x+1)\times(\text{e}^x)' \\\phantom{f'(x)}=2\times \text{e}^x+(2x+1)\times\text{e}^x \\\phantom{f'(x)}=(2+2x+1)\times\text{e}^x \\\phantom{f'(x)}=(2x+3)\times\text{e}^x
La réponse correcte est donc la proposition d.

{\red{\text{Question 5. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ d):\ }-\sin x.}} 
Pour tout réel x , sin(x  + pi) = - sin x  (voir figure)

La réponse correcte est donc la proposition d.
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5 points

exercice 2

1.  Le bassin contient 80 m3 d'eau après son remplissage.
Chaque semaine, il perd 4% de son volume d'eau par évaporation. 
4\%\ \text{de }80=\dfrac{4}{100}\times80=0,04\times80=3,2
Volume d'eau en m3 après une semaine : 80 - 3,2 = 76,8.
Par conséquent, une semaine après son remplissage, le bassin contient 76,8 m3.

Variante du calcul :
Volume d'eau en m3 après une semaine : 80 - 0,04 multiplie 80 = (1 - 0,04) multiplie 80 = 0,96multiplie 80 = 76,8.
Par conséquent, une semaine après son remplissage, le bassin contient 76,8 m3.

2. a.  Pour tout entier naturel n , le nombre de m3 d'eau Vn +1 dans la piscine (n +1) semaines après son remplissage est égal au nombre de m3 d'eau Vn  dans la piscine n semaines après son remplissage diminué de 4 %.
Or une diminution de 4 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,04 = 0,96.
Par conséquent, pour tout entier naturel n , \overset{.}{\boxed{V_{n+1}=0,96\times V_n}}
Nous en déduisons que la suite (Vn ) est une suite géométrique de raison q  = 0,96 dont le premier terme est V0=80.

2. b.  Le terme général de la suite (Vn ) est  V_n=V_0\times q^{n} .
Donc, pour tout entier naturel n ,   \overset{.}{\boxed{V_n=80\times0,96^{n}}}

2. c.  Le rang correspondant une période de 7 semaines est n  = 7. 
 V_{7}=80\times0,96^{7}\Longrightarrow\boxed{V_{7}\approx60,1}
Par conséquent, selon ce modèle, la quantité d'eau contenue dans le bassin au bout de 7 semaines est évaluée à environ 60,1 m3.

3.  Soit le programme en Python complété ci-dessous.

           \begin{array}{|c|}\hline \text{d}\text{e}\text{f}\ \text{nombreJour(U)}:\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{N}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{V}=80\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{while }{\red{\text{V}}}>={\red{\text{U}}}:\ \ \ \ \ \ \ \  \\ \text{N = N + 1}{\ \ \ \ \\\ \ \red{\text{V = 0.96}*\text{V}+2}} \\\text{return {\red{N}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}
L'instruction "nombreJour(70)" renvoie la valeur 10.

Ci-dessous un tableau reprenant les premières valeurs de N  et V (arrondies au dixième) en sachant que U  = 70.

        \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Valeurs de }N&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\cellcolor{green}\\\hline \text{Valeurs de }V&80&78,8&77,6&76,5&75,5&74,4&73,5&72,5&71,6&70,8&69,9\cellcolor{red} \\\hline V\ge70&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\cellcolor{red}{\text{Faux}}\\\hline \end{array}

Dans le contexte de l'exercice, l'exécution de ce programme nous indique qu'à partir de la 10ème semaine, le volume d'eau de la piscine sera inférieur à 70 m3.

5 points

exercice 3

1.  Arbre pondéré complété :

                      
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2.  Nous devons calculer P (N  inter S ).  
P(N\cap S)=P(N)\times P_{N}(S) \\\phantom{P(N\cap S)}=0,2\times0,7 \\\phantom{P(N\cap S)}=0,14 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(N\cap S)=0,14}
Par conséquent, la probabilité que le client achète une nappe et un lot de serviettes est égal à 0,14.

3.  Nous devons calculer P (S ). 
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons : 
P(S)=P( N\cap S)+P( \overline{N}\cap S) \\\phantom{P(S)}=0,14+P( \overline{N})\times P_{ \overline{N}}(S) \\\phantom{P(S)}=0,14+0,8\times0,1 \\\phantom{P(S)}=0,14+0,08 \\\phantom{P(S)}=0,22 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(S)=0,22}

4.   Nous devons calculer P_{S}(N).

P_{S}(N)=\dfrac{P(N\cap S)}{P(S)} \\\\\phantom{P_{S}(N)}=\dfrac{0,14}{0,22}=\dfrac{7}{11} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{S}(N)=\dfrac{7}{11}\approx0,636}
Par conséquent, sachant que le client a acheté une serviette, la probabilité qu'il achète une nappe est égale à  \dfrac{7}{11}, soit environ 0,636 (valeur arrondie au millième).

5.  Soit la variable aléatoire D  donnant la dépense effectuée par un client.
Les diverses valeurs prises par la variable aléatoire D  sont : 0, 25, 45 et 70.

  D  = 0 lorsque le client n'achète rien.  
\text{Donc }\ P(D=0)=P(\overline{N}\cap\overline{S})=P(\overline{N})\times P_{\overline{N}}(\overline{S}) \\\phantom{\text{Donc }\ P(D=0)}=0,8\times0,9 \\\phantom{\text{Donc }\ P(D=0)}=0,72 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D=0)=0,72}

  D  = 25 lorsque le client n'achète pas de nappe mais achète un lot de serviettes.  
\text{Donc }\ P(D=25)=P(\overline{N}\cap S)=P(\overline{N})\times P_{\overline{N}}(S) \\\phantom{\text{Donc }\ P(D=25)}=0,8\times0,1 \\\phantom{\text{Donc }\ P(D=25)}=0,08 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D=25)=0,08}

  D  = 45 lorsque le client achète une nappe mais n'achète pas de serviette.  
\text{Donc }\ P(D=45)=P(N\cap \overline{S})=P(N)\times P_{N}(\overline{S}) \\\phantom{\text{Donc }\ P(D=45)}=0,2\times0,3 \\\phantom{\text{Donc }\ P(D=45)}=0,06 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D=45)=0,06}

  X = 70 lorsque le client achète une nappe et un lot de serviettes.  
\text{Donc }\ P(D=70)=P(N\cap S)=0,14\ \ \ \ (\text{voir question 2.}) \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D=70)=0,14}

Nous obtenons ainsi le tableau donnant la loi de probabilité de D .

           \begin{array}{|>{\columncolor{green}}c|c|c|c|c|}\hline &&&&&d_i&0&25&45&70\\&&&&\\\hline&&&&&P(D=d_i)&\ \ 0,72\ \ &\ 0,08\ \ &\ \ 0,06\ \ &\ \ 0,14\ \ &&&&&\\\hline \end{array}

Calcul de l'espérance E (X ).  
E(X)=0\times P(D=0)+25\times P(D=25)+45\times P(D=45)+70\times P(D=70) \\\phantom{E(X)}=0\times0,72+25\times0,08+45\times0,06+70\times0,14 \\\phantom{E(X)}=14,5\\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=14,5}
Par conséquent, dans ce magasin, un client achète en moyenne pour 14,5 euros.

5 points

exercice 4

Soit la fonction P  définie sur l'intervalle [0 ; 5] par  P(t)=100\,t\,\text{e}^{-t}. 

{\red{1.\ }}\ P(0)=100\times0\times\text{e}^{0}=0 \\\phantom{{\red{1.\ }}\ }P(5)=100\times5\times\text{e}^{-5}=500\,\text{e}^{-5}\approx3 \\\\\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}P(0)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\P(5)\approx3\ \ \ \ \ (\text{arrondi à l'unité})\end{matrix}\right.}

2.  A l'aide d'un logiciel de calcul formel, nous obtenons l'expression de la dérivée :  P'(t)=100(1-t)\,\text{e}^{-t}.

2. a.  Etudions le signe de P' (t ) sur [0 ; 5].
Pour tout réel t , 100 e-t  > 0.
Donc le signe de P' (t ) est le signe de (1 - t ).

          \begin{matrix}{\red{1-t=0}}\Longleftrightarrow {\red{t=1}} \\\\ {\red{1-t>0}}\Longleftrightarrow {\red{t<1}} \\\\ {\red{1-t<0}}\Longleftrightarrow {\red{t>1}} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ t&0&&1&&5&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&1-t&&+&0&-&&\\&&&&&&\\\hline&&&&&&&P'(t)&&+&0&-&&\\&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}

2. b.  Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction P  sur l'intervalle [0 ; 5].

\underline{\text{Calcul préliminaire }}\\\\P(0)=0\ \ \ \ (\text{voir question 1.})\\P(1)=100\times1\times\text{e}^{-1}=100\,\text{e}^{-1}\approx37\ \ \ \ (\text{arrondi à l'unité}) \\P(5)\approx3\ \ \ \ (\text{voir question 1.}).\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ t&0&&1&&5&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&P'(t)&&+&0&-&&\\&&&&&&\\\hline&&&{\red{100\,\text{e}^{-1}\approx37}}&&&&P(t)&&\nearrow&&\searrow&&\\&0&&&&500\,\text{e}^{-5}\approx3&\\\hline \end{array}

2. c.  En nous aidant du tableau de variations de la fonction P , nous déduisons que cette fonction P  admet un maximum pour t  = 1.
Ce maximum est égal à environ 37 (arrondi à l'unité).


3.  Représentation graphique de la fonction P  dans le plan muni d'un repère orthogonal.

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La pollution ne représente pas de danger pour la santé si la concentration du polluant est inférieure à 5 mg/L.
Nous observons graphiquement que la concentration du polluant redescend en-dessous du palier de 5 mg/L à partir de l'instant t  = 4,5.
Par conséquent, la pollution ne représente plus de danger pour la santé après une durée de 4 heures 30 minutes au-delà du début de l'alerte.
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